Warum ist die Zeitentwicklung einheitlich?

Ist der Grund, warum der Zeitentwicklungsoperator auf der Grundlage rein physikalischer Argumente einheitlich ist, dh dass die physikalischen Prozesse, die ein isoliertes System durchläuft, nicht von einem bestimmten Zeitpunkt abhängen sollten (Homogenität der Zeit); also sollten zwei Experimentatoren, die dasselbe Experiment ausgehend von demselben Anfangszustand, aber zu unterschiedlichen Zeiten durchführen, dieselbe Wahrscheinlichkeitsamplitude für diesen Zustand haben?! Oder gibt es auch ein mathematisches Argument?

Dies ist auch der Grund, warum der Zeitentwicklungsoperator linear ist, was durch das Überlagerungsprinzip impliziert wird (da ein beliebiger Zustand als lineare Kombination von Basiszuständen ausgedrückt werden kann, sollte der Operator linear agieren, da sich sonst der Zustand als Ganzes anders als die Überlagerung entwickeln würde der Staaten, von denen es ursprünglich vertreten wurde)?!

Während es ein physikalisches Standardargument gibt, siehe die Antwort von ACuriousMind, denke ich, dass der Begriff der Zeitentwicklung grundlegend fehlerhaft ist. Angenommen, es existiert ein Multiversum von Unversen, die durch dieselben QM-Gesetze beschrieben werden, sodass nur die Anfangsbedingungen unterschiedlich sind. Dann können Sie immer eine alternative Zeitentwicklung in Betracht ziehen, die Anfangszustände aus einem Universum auf Endzustände aus einem anderen Universum oder willkürliche Überlagerungen dieser abbildet. Der Begriff der Zeitentwicklung ist also mehrdeutig. Dass die Zeitentwicklung einheitlich ist, ist eine Tautologie.
Das liegt daran, dass Informationen konserviert werden sollten, dh Erhaltung von Informationen, Sie können es sehen, indem Sie feststellen, dass die Einheitlichkeit der Zeitentwicklung zu einer Konstanz der feinkörnigen Entropie führt, und die Konstanz der feinkörnigen Entropie bedeutet, dass die Menge an Informationen, die wir über das System haben, nicht Wenn sich die Zeit nicht ändert, könnte man die Erhaltung von Informationen das nullte Gesetz der Physik nennen,

Antworten (2)

Die Zeitentwicklung ist die Exponentialfunktion des Hamilton-Operators, da der Hamilton-Operator der Generator der Zeittranslation ist (äquivalent: Energie ist die Ladung der Zeittranslation).

Als physikalische Observable, die der Energie entspricht, muss der Hamiltonoperator selbstadjungiert sein.

Das Exponential eines selbstadjungierten Operators ist nach dem Satz von Stone einheitlich .

Ein "physikalisches" Argument ist, dass die Zeitevolution jede Normalisierung bewahren sollte, die wir für unsere Zustände gewählt haben (weil die Wahrscheinlichkeit, den Zustand zu finden ψ In ϕ bei T 0 sollte dasselbe sein wie das Finden des entwickelten Zustands ψ im entwickelten Zustand ϕ bei T 1 ), dh es soll das innere Produkt erhalten, dh es soll einheitlich sein.

Beachten Sie, dass das physikalische Argument
N Ö R M A l ich S A T ich Ö N ⇒ u N ich T A R ich T j
setzt Linearität voraus. Man könnte sich kompliziertere nichtlineare Entwicklungen vorstellen, die die Normalisierung bewahren. Dies würde jedoch das Überlagerungsprinzip für Wahrscheinlichkeitsamplituden verletzen, wie im OP angegeben.
„Als physikalische Observable, die der Energie entspricht, muss der Hamiltonoperator selbstadjungiert sein.“ liegt das daran, dass er als physikalische Observable reelle Eigenwerte haben sollte?! ist der Exponentialausdruck nicht nur für einen zeitunabhängigen Hamiltonoperator gültig?!Folgt schließlich die Identifikation des Hamiltonoperators als Generator der Zeittranslation aus der Anwendung des Satzes von Noether auf eine Zeittranslation eines Quantenzustands?!
@MarkMitchison (normal) Zustände sind Dichtematrizen, dh positive Operatoren der Spurklasse mit Spur eins (in einem gewissen Hilbert-Raum). Auf den Dichtematrizen gibt es positivitätserhaltende, spurerhaltende lineare Halbgruppen, die nicht einheitlich implementiert sind (z. B. die Lindbladians). Aus rein mathematischen Gründen bedarf es also keiner Einheitlichkeit, damit die Normalisierung des Staates erhalten bleibt.
@Will: Observables müssen eine Eigenbasis im Raum haben und sollten echte Eigenwerte haben - das ist in der Tat das, was Selbstadjointness tut. Dass der Hamiltonoperator der Generator der Zeittranslation ist, liegt in der Formulierung aller Quantisierungsverfahren, von denen das einfachste die heuristische Ersetzung der klassischen Poisson-Klammer durch den Kommutator ist. Sie können "Noethers Theorem" nicht auf normales QM anwenden, die Quantenversion der Erhaltungsgesetze sind die Ward-Takahashi-Identitäten .
Kann man also beispielsweise aus der Schrödinger-Gleichung schließen, dass der Hamiltonoperator eine Zeittranslation erzeugt, da seine Wirkung auf einen Zustandsvektor proportional zur zeitlichen Ableitung des Zustandsvektors ist? Es tut mir leid, weiter darauf einzugehen, aber ist es gültig zu behaupten, dass das Überlagerungsprinzip der Quantenzustände impliziert, dass der Evolutionsoperator linear sein sollte, da er jeden Zustand auf einheitliche Weise entwickeln sollte (wenn er nicht linear wäre, würde dies implizieren diese Zeit ist inhomogen)?!
@Will: Ja, die Schrödinger-Gleichung ist eine Möglichkeit zu sagen, dass der Hamiltonian Zeitverschiebungen erzeugt - es ist jedoch in der äquivalenten Heisenberg-Bewegungsgleichung offensichtlicher. Und in der Tat muss Zeitentwicklung ein linearer Operator sein, denn es sollte keine Rolle spielen, ob wir einen Zustand als Ganzes entwickeln oder eine bestimmte Basis wählen, jeden Zustand in die Basis zerlegen, die Basis entwickeln und die Zustände wieder zusammensetzen.
Ok danke für deine Hilfe. Wäre es auch richtig zu sagen, dass dies der Grund dafür ist U ( T 2 , T 0 ) = U ( T 2 , T 1 ) U ( T 1 , T 0 ) Denn es sollte keine Rolle spielen, ob man in einem bestimmten Bundesland anfängt T = T 0 , | ψ ( T 0 ) ⟩ entwickle es weiter T = T 2 , | ψ ( T 2 ) ⟩ und dann messen,
oder wenn man mit einem Zustand bei beginnt T = T 1 , | ψ ( T 1 ) ⟩ die gleich dem gewachsenen Urzustand ist T = T 1 , dh | ψ ( T 1 ) ⟩ = U ( T 1 , T 0 ) | ψ ( T 0 ) ⟩ , und entwickeln Sie dies dann weiter zu T = T 2 und die gleiche Messung durchführen. In beiden Fällen sollten wir das gleiche Ergebnis erhalten. Liegt dies daran, dass wir das System als isoliert betrachten und es daher keinen äußeren Einfluss hat, sollte es sich gemäß internen Wechselwirkungen entwickeln, und die Art und Weise, wie solche Wechselwirkungen die Entwicklung des Systems beeinflussen, sollte nicht davon abhängen, wann wir damit beginnen Verfahren?!
@Will: Dies ist in der Tat die physikalische Intuition dahinter, aber wir müssen diese Eigenschaft nicht postulieren - sie folgt direkt aus der Funktionsweise des Exponentials, und dass es das Exponential ist, folgt direkt aus der Aussage, dass es als linearer Operator generiert wird durch den Hamiltonian.
Ah ok, ich habe mich nur gefragt, ob man es motivieren könnte, bevor man seine funktionale Form bestimmt.
Dies setzt voraus, dass ein Hamiltonoperator existiert, was nicht der Fall sein muss. Zum Beispiel ist in (klassischem und höchstwahrscheinlich Quanten-) GR der Lagrangian keine konvexe Funktion der ersten Ableitungen, daher gibt es keine Legendre-Transformation in eine Hamilton-Formulierung, und die Zeitübersetzung ist nicht genau definiert. QFTs werden im Allgemeinen von Lagrangianern verabreicht, und eine ähnliche Situation kann im Allgemeinen auftreten.
Man könnte auch eine Theorie in Betracht ziehen, in der der Zustandsvektor im Laufe der Zeit "kontinuierlich renormiert" wird, sodass die probabilistische Interpretation auch bei nicht einheitlicher (aber immer noch linearer) Zeitentwicklung noch Sinn macht. Wie hier diskutiert , hat diese Theorie einige "böse" physikalische Konsequenzen, ist aber immer noch vollkommen logisch konsistent.
Ist die Argumentation nicht umgekehrt? Wir postulieren einfach die Zeit-Translations-Symmetrie und der Satz von Wigner diktiert dann, dass die Entwicklung eines Zustands durch einen einheitlichen Operator beschrieben werden muss. Dies stellt sicher, dass der Erzeuger dieser Evolution hermitesch wäre und macht sie zu einer beobachtbaren.
@FeynmansOutforGrumpyCat Es gibt keinen eindeutigen Satz von Axiomen, keine "Argumentation". Man kann in der Tat genauso gut postulieren, dass die Zeitübersetzung eine Symmetrie ist, anstatt dass der Hamiltonoperator Zeitübersetzungen erzeugt.
@ACuriousMind Ok, ich verstehe. Vielen Dank für Ihre Antwort.

Es ist eine Folge der Erhaltung der Gesamtwahrscheinlichkeit, das heißt, dass 1 = ⟨ A | A ⟩ , Sein | A ⟩ der Zustand, in dem sich Ihr System befindet. Wenn sich der Zustand mit der Zeit entwickelt, muss auch der Endzustand auf diese Weise normalisiert werden, sodass die Wahrscheinlichkeit, ihn in dem Zustand zu finden, in dem er sein wird, eins ist. Eine einfache mathematische Rechnung führt dazu, dass der Adjunkt von U mal U ( U ist der Zeitentwicklungsoperator ) Entfernungen erhalten müssen. Daraus, dass es jedes Skalarprodukt erhalten muss, und daher die Einheitlichkeit. Sie können dies detailliert in Leonard Susskinds frei verfügbarem Video seines Vortrags 9 über Quantenverschränkungen sehen.

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