Warum ist die Zeitentwicklung einheitlich (die Fortsetzung)?

Ein grundlegendes Postulat von QM ist, dass ein geschlossenes physikalisches System zu einem bestimmten Zeitpunkt, sagen wir T , wird vollständig durch eine Wellenfunktion beschrieben ψ ∈ S 1 ⊂ H (Wo H ist ein Hilbertraum und S 1 seine Einheitskugel). Ein weiteres grundlegendes Postulat ist, dass sich die Wellenfunktion eines geschlossenen Systems deterministisch entlang einer Umlaufbahn entwickeln sollte T ↦ ψ ( T ) . Es ist daher möglich, einen Zeitentwicklungsoperator zu definieren U ( T , T ' ) : S 1 ⊂ H → S 1 ⊂ H : ψ ( T ' ) ↦ ψ ( T ) = U ( T , T ' ) ψ ( T ' ) . Aus den bisherigen Überlegungen benötigen wir noch die Linearitätseigenschaft für U (nach Erweiterung seiner (Co-)Domain auf H ), um zu dem Schluss zu kommen, dass U ( T , T ' ) einheitlich sein (für alle T ).

Einige würden vorschlagen, dass die Linearität von U ist einfach selbst grundlegend und ein experimentell falsifizierbarer Teil von QM, der sich nicht auf eine tiefere philosophische Untermauerung stützt.

Viele Texte (siehe auch Weinbergs „Vorlesungen in QM“) vertreten jedoch den Standpunkt, dass Zeit-Translation eine Symmetrie à la Wigner ist und alle Übergangswahrscheinlichkeiten T ↦ | ⟨ ψ ( T ) , ϕ ( T ) ⟩ | 2 sollte also zeitlich konstant sein. Der Satz von Wigner sagt uns das dann U ( T , T ' ) sollte entweder einheitlich oder anti-einheitlich sein. Ein sehr plausibles Kontinuitätsargument schließt die anti-unitäre Option aus.

Welcher Weg trägt also die größere Wahrheit? Oder ist der Unterschied zwischen den beiden Standpunkten nur scheinbar?

Ich persönlich habe Schwierigkeiten, den zweiten Standpunkt zu verstehen. Sollen Wellenfunktionen nicht das System zu einem bestimmten Zeitpunkt beschreiben und keine Raumzeitbeschreibung sein? zB fordert Sie das Skalarprodukt in gewöhnlichen QM-Hilbert-Räumen auf, bestimmte Summen bezüglich der Wellenfunktion zu einem solchen Zeitpunkt zu integrieren oder auszuführen. Daher scheint es mir nicht einleuchtend, dass Zeitübersetzung eine Symmetrie im Sinne von Wigner sein soll. Erzwingt die Lorentz-Invarianz irgendwie die Konstanz von T ↦ | ⟨ ψ ( T ) , ϕ ( T ) ⟩ | 2 ?

Es gibt eine sehr schöne Erklärung des 2. Standpunkts in Fonda & Ghirardy, "Symmetry Principles in Quantum Physics", Abschnitt 1.4, ab Seite 23 unten, scribd.com/doc/30539019/… . Sehen Sie, ob dies Ihre Frage beantwortet.
@udrv leider nicht: die Konstanz von T ↦ | ⟨ ψ ( T ) , ϕ ( T ) ⟩ | wird uns in diesem Text wie üblich aufgezwungen.
Ich verstehe, was Sie meinen, und in diesem Fall ist das Problem tatsächlich nicht trivial. Das verfeinerte Argument, das mir bekannt ist, lautet wie folgt: 1) Angesichts der üblichen QM-Darstellung von Zuständen und Observablen, aber ohne Annahmen über ihre Zeitentwicklung, 2) Die Relativitätstheorie erzwingt eine lineare Entwicklung durch das No-Signaling-Theorem, das die Geschwindigkeit anruft Lorentz-Transformationen begrenzen, aber nicht ausdrücklich, und 3) Zeitumkehrung (nicht Zeitumsetzung) Einheitlichkeit erzwingt.
Das ist ein interessanter Kommentar, thx. 2) ist neu für mich und sehr interessant (einiges googeln scheint Papiere/Ausstellungen zu ergeben, die diese Ansicht bestätigen). Ich verstehe jedoch nicht, was Sie mit 3) meinen: Es ist eine der grundlegenden Betriebsannahmen, dass Zustände durch Wellenfunktionen der Einheitsnorm dargestellt werden. Also sollte die Zeitentwicklung die Einheitssphäre besser invariant lassen und der einzige nicht triviale Teil der Einheitlichkeit ist (per Definition dann) die Linearität, oder? Es muss keine Physik herangezogen werden, um die Erhaltung der Norm zu rechtfertigen.
Punkt (3) wird benötigt, weil QM-Zustände auch gemischte Zustände sein können, die durch Dichtematrizen gegeben sind, von denen die reinen Zustände ein besonderer Fall sind. Die allgemeinsten linearen Entwicklungen auf der konvexen Menge gemischter Zustände, die i) nicht nur positiv definit, sondern auch vollständig positiv (auch bekannt als positiv, lokal und trennbar), ii) homogen (unempfindlich gegenüber Zustandsnormalisierung) und iii) die Wahrscheinlichkeit erhalten ( die Dichtematrix-Spur), sind die im Allgemeinen irreversiblen Entwicklungen mit Generatoren vom Lindblad-Typ. Das Erfordernis einer Zeitumkehr beschränkt die Menge akzeptabler Entwicklungen auf die einheitlichen.
Ein Punkt, der oft verwechselt wird: Sobald QM auf dem Hilbert-Zustandsraum mit der zugehörigen konvexen Menge gemischter Zustände und Dichtematrizen und der Algebra der Observablen definiert ist, ist das Superpositionsprinzip fest verankert und völlig unabhängig von einer bestimmten Zeitentwicklung , linear oder nichtlinear. Mit anderen Worten, es gibt nichtlineare Entwicklungen, die perfekt mit dem Superpositionsprinzip kompatibel sind, obwohl sie sich überschneiden | ⟨ ϕ ( T ) | ψ ( T ) ⟩ | werden nicht mehr zeitlich konserviert, und das ist keine große Sache.
Das Hauptproblem bei nichtlinearen Entwicklungen besteht darin, dass sie zwischen gemischten Zuständen als statistischen Ensembles reiner Zustände und gemischten Zuständen als lokale Zustände unterscheiden sollen, die beispielsweise aus einem verschränkten Zustand entstehen, der mit anderen nicht wechselwirkenden Systemen geteilt wird. Dies ist bisher unter dem No-Signaling-Theorem unhaltbar.
Sind „Superpositionsprinzip“ und „Linearität“ (oder vielleicht „Invarianz unter Linearkombinationen“) nicht Synonyme? Um es klarzustellen, ich meine das im dynamischen Sinne: Die Koeffizienten in der relevanten Linearkombination dürfen nicht von der Zeit abhängen. Haben Sie Ratschläge, wo Sie diese Themen gut lesen können (insbesondere die Beziehung zwischen dem No-Signaling-Theorem und Linearität)?
Eine Entwicklung nach Lindblad-Art e L T ist auf Dichtematrizen im regulären Sinne linear e L T ( λ 1 ρ 1 ( 0 ) + λ 2 ρ 2 ( 0 ) ) → λ 1 e L T ρ 1 ( 0 ) + λ 2 e L T ρ 2 ( 0 ) (In der Regel nimmt man λ ich > 0 Positivität in Schach zu halten, und λ 1 + λ 2 = 1 zur Normalisierung).
Aber da es im Allgemeinen reine Zustände in gemischte Zustände bringt, dauert es nicht | Ψ ( 0 ) ⟩ = C 1 | ψ 1 ( 0 ) ⟩ + C 2 | ψ 2 ( 0 ) ⟩ hinein C 1 | ψ 1 ( T ) ⟩ + C 2 | ψ 2 ( T ) ⟩ , Aber | Ψ ( 0 ) ⟩ ⟨ Ψ ( 0 ) | → e L T | Ψ ( 0 ) ⟩ ⟨ Ψ ( 0 ) | ≠ | Ψ ( T ) ⟩ ⟨ Ψ ( T ) | , obwohl Überlagerungen im Hilbert-Raum wie gewohnt funktionieren.
In Bezug auf die Referenzen ist das Originalpapier arxiv.org/abs/quant-ph/0102125 , und es gibt eine alte Liste von Papieren zu Linearität/Nichtlinearität in QM, arxiv.org/abs/quant-ph/0410036 . aber ich muss mit etwas neuerem zurückkommen.
Ok, ein neuerer Ausgangspunkt könnte lanl.arxiv.org/pdf/1411.1768v2 sein , und siehe auch lanl.arxiv.org/pdf/quant-ph/0508092v4 . Für das statistische Mischungsproblem, das in Linearitätsdiskussionen auftaucht, siehe das nette Intro in lanl.arxiv.org/pdf/quant-ph/0402094v2 .
@udrv was meinst du genau mit "Zeitumkehr erforderlich" (3)? Dass die Zeit-Evolution ein umkehrbarer Prozess sein muss? Ich habe den Artikel über Linearität und die Bedingung ohne Signalisierung gelesen und er war sehr aufschlussreich. Kennen Sie ähnliche Arbeiten zum Thema Unitarität?

Antworten (1)

Zunächst einmal entsprechen reine Zustände in der Quantenmechanik nicht den Elementen der "Einheitssphäre" des Hilbert-Raums; sie entsprechen Elementen des projektiven Hilbert-Raums (der für einen endlichdimensionalen Hilbert-Raum ein komplexer projektiver Raum ist ), was nicht dasselbe ist. Zustandsvektoren, die sich durch eine globale Phase unterscheiden (die denselben physikalisch reinen Zustand darstellen), entsprechen unterschiedlichen Elementen der "Einheitskugel" des Hilbert-Raums, aber demselben Element seines projektiven Hilbert-Raums. (Auch unter Verwendung der Notation S 1 sich auf eine beliebige Hypersphäre zu beziehen, ist äußerst verwirrend, da sich diese Notation fast immer speziell auf einen Kreis bezieht.)

Um Ihre Frage zu beantworten: Verschiedene Physiker werden unterschiedlich antworten, aber ich persönlich bin sehr im ersten Lager, dass die Einheitlichkeit der Quanten-Zeit-Evolution einfach ein experimentell verifiziertes Postulat ist, das nicht aus grundlegenderen Prinzipien (außer der Schrödinger-Gleichung) abgeleitet werden kann selbst). Ich denke, dass die Grundlage der Unitaritätsannahme auf der Zeittranslationsinvarianz des Hamilton-Operators eine unglückliche Voreingenommenheit (hauptsächlich von Hochenergietheoretikern) zu der Idee widerspiegelt, dass die Quantenmechanik immer "fundamentale" Gesetze der Physik beschreibt. In praktisch allen Bereichen der Physik ist es oft sehr nützlich, Hamiltonoperatoren zu betrachten, die explizit von der Zeit abhängen. In diesen Fällen fällt das Argument der Translationssymmetrie sofort auseinander, aber die Zeittranslation ist immer noch vollkommen einheitlich. Deshalb,

Und wenn ich ein bisschen etwas redigieren könnte, ist jeder, der einwendet, dass diese zeitabhängigen Hamiltonianer nur "besondere Grenzfälle" des Standardmodells sind, voll von sich selbst - schließlich ist das Standardmodell selbst wahrscheinlich nur ein Grenzfall von noch mehr fundamentale Theorie, und wir haben keine Ahnung, ob diese einschränkendere Theorie zeittranslational invariant ist oder ob diese Idee überhaupt Sinn macht.

Auf den Seiten 4-6 dieses Papiers werden einige unangenehme Implikationen der nicht-einheitlichen Zeitentwicklung erörtert - zB würde sie eine schnellere als Lichtsignalisierung und eine effiziente Lösung von PP -vollständigen Problemen ermöglichen. Aber die häufige Behauptung, dass die probabilistische Interpretation von QM eine einheitliche Zeitentwicklung erfordert, ist falsch; Die nichteinheitliche Zeitevolution hat Folgen, die mit unserer Welt nur sehr schwer in Einklang zu bringen scheinen, aber es ist eine vollkommen logisch konsistente Theorie.

"Nicht einheitliche Zeitentwicklung hat Konsequenzen, die mit unserer Welt nur sehr schwer in Einklang zu bringen scheinen, aber es ist eine vollkommen logisch konsistente Theorie" - Um dies konsistent zu machen, müsste man die Art und Weise ändern, wie Wahrscheinlichkeiten in QM berechnet werden?
@Quantumwhisp Nein. Man könnte sich eine nicht einheitliche Zeitentwicklungskarte vorstellen, die nicht linear, aber normbewahrend ist. In diesem Fall müssten Sie überhaupt nichts ändern. Selbst wenn die nicht unitäre Zeitentwicklungskarte die Norm ändert, muss man nur die Tatsache ausnutzen, dass der Erwartungswert einer quantenmechanischen Observablen ist Ö ^ Ist
⟨ ψ ( T ) | Ö ^ | ψ ( T ) ⟩ | ψ ( T ) | 2
(auf dem Schrödinger-Bild). Wenn die Zeitentwicklungskarte nicht normerhaltend ist, wird der Nenner zu einer nicht konstanten Normalisierungsfunktion. Dies wird manchmal als "manuell ...
... Renormalisierung.“
Ich sehe den Punkt über die Linearität (die benötigt wird, damit die normerhaltende Karte einheitlich ist). Über die Option (manuelle Renormierung) würde ich mir vorstellen, dass ich für jeden linearen, nicht einheitlichen Zeitentwicklungsoperator einen einheitlichen finden kann, der für jeden Operator die gleichen Erwartungswerte liefert, was eine nicht einheitliche Zeitentwicklung mit manuell macht Normalisierung gleich Einheitszeitentwicklung mit Standardnormalisierung.
@ChiralAnomaly Ich verstehe Ihre Behauptung nicht, dass das Heisenberg-Bild Raum und Zeit symmetrischer behandelt. Ich würde sagen, dass in der nicht-relativistischen QM weder Zustände noch Operatoren in beiden Bildern durch den Raum parametrisiert werden. Denken Sie über die Quantenfeldtheorie nach?
@ChiralAnomaly Außerdem bin ich anderer Meinung, dass Vorschläge für nichtlineares QM nur im Schrödinger-Bild formuliert wurden. Nichtlineares QM postuliert einfach eine nichtlineare Form für die Zeittranslationskarte und ist als solche unabhängig von Ihrer Bildwahl - wie üblich können Sie die Klammern frei setzen, wo immer Sie möchten.
@tparker (1) Ja, ich denke an die Quantenfeldtheorie. Das Betrachten von Modifikationen von QM, die nicht auf Modifikationen von QFT erweitert werden können, ist wie das Betrachten von Begründungen von QM, die nicht auf Fälle mit zeitabhängigen Hintergrundfeldern erweitert werden können. Ich denke, was Ihre Antwort an letzterem zu Recht kritisiert, gilt auch für ersteres. (2) Vielleicht habe ich falsch verstanden, was mit nichtlinear gemeint ist. Ich dachte an Modifikationen des Schr. Gleichung, die höhere Potenzen der Wellenfunktion enthält, und mir ist nicht klar, wie eine Heisenberg-Bildversion davon überhaupt definiert werden würde.
@tparker Ich stimme Ihrer Aussage zu, dass die Annahme einer einheitlichen Zeitentwicklung nicht auf Zeitübersetzungssymmetrie beruhen sollte. Mein erster Kommentar sollte einen anderen Grund nennen, einen, der einen noch größeren Satz empirisch erfolgreicher Anwendungen der Quantentheorie berücksichtigt.
@ChiralAnomaly Wenn wir einfach davon ausgehen, dass die Zeitentwicklung vor der Messung deterministisch ist, können wir schreiben | ψ ( T ) ⟩ = U ( T ) | ψ 0 ⟩ für eine (nicht unbedingt lineare) Karte U . Dann alle Zeit Differentialoperatoren an | ψ ( T ) ⟩ kann trivial als Handeln umgeschrieben werden U stattdessen. Dies führt zur „bildunabhängigen“ Version der Schrödinger-Gleichung ich ℏ D U / D T = H U , was in den Schrödinger- und Heisenberg-Bildern gleichermaßen gilt. Eine nichtlineare Version von QM bedeutet einfach, dass diese Gleichung so modifiziert wird, dass sie nichtlinear ist U . Es ist genauso gut definiert in ...
... der Heisenberg wie im Schrödinger-Bild.
Sie haben Recht: Nichtlinearität verhindert nicht unbedingt die Definition eines Heisenberg-Bildes. Wenn U ( T ) invertierbar ist, auch wenn nichtlinear, dann können wir definieren A ( T ) von A ( T ) := U − 1 ( T ) A U ( T ) . Vielleicht werden nichtlineare Mods von QM entwickelt, um dies sicherzustellen U ist invertierbar; Ich war nicht motiviert, sie so sorgfältig zu studieren. Aber auf jeden Fall war mein ursprünglicher Kommentar an @Quantumwhisp fehlerhaft, also habe ich ihn gelöscht.
@ChiralAnomaly Obwohl ich darüber auch nicht viel nachgedacht habe, denke ich das U muss nicht einmal invertierbar sein; der Heisenberg-Bildoperator ist A ( T ) = U † A U , nicht U − 1 A U . Die Adjungierte einer beliebigen Abbildung auf Vektoren ist definiert durch ⟨ ψ | U † := | U ψ ⟩ † wie üblich (diese Definition geht nicht von Linearität aus, sondern nur von einem Skalarprodukt).
LOL, ich wollte gerade zurückkommen, um meinen kaputten Kommentar zu ersetzen, als ich sah, dass Sie bereits geantwortet hatten. Natürlich hast du wieder Recht: So sollte es sein U † A U . Aber in diesem Fall, wenn U nichtlinear ist, dann sehe ich keinen Grund zu erwarten ( U † A U ) ( U † B U ) = U † A B U , weil ich nicht sehe, warum wir erwarten sollten U U † = 1 . ... also sehe ich wieder keinen Weg, das Heisenberg-Bild im nichtlinearen Fall sinnvoll zu machen. Scheint seltsam, wenn die Zeitübersetzung von A ( 0 ) B ( 0 ) waren nicht dasselbe wie A ( T ) B ( T ) . Wie auch immer, gute Antwort (+1) und Entschuldigung für meine durcheinandergebrachten Kommentare.
Warum ist die Zeitentwicklung einheitlich (die Fortsetzung)?
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