Warum ist es nach der Verwendung des Vernichtungsoperators im Vakuumzustand 000 anstelle von Vakuum?

Betrachten wir den einfachsten Fall eines harmonischen Quantenoszillators mit Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren$a^{\dagger}$und$a$beziehungsweise. Der Grundzustand unseres Systems ist$\lvert 0 \rangle$der Energie hat,

$$E_0 = \frac{1}{2}\hbar \omega$$

Jedes Mal, wenn ein Erstellungsoperator agiert, wird der Zustand$\lvert n \rangle \to \lvert n+1 \rangle$, modulo einige Konstanten. In ähnlicher Weise verringern die Vernichtungsoperatoren die ganze Zahl$n$. Daher, wenn wir uns bewerben$a$zum Grundzustand gelangen wir$n=-1$, was nicht erlaubt ist,$^{\dagger}$andernfalls wäre unser Hamiltonoperator nach unten unbeschränkt. Der Zustand muss also komplett vernichtet, also Null sein.

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Angenommen , wir haben Ihren Vorschlag angenommen,

$$a \lvert 0 \rangle = \lvert 0 \rangle$$

Man kann zeigen, dass eine solche Annahme zu einem Widerspruch führt. Wir können die Norm des Grundzustands berechnen,

$$\left( \lvert 0 \rangle \right)^{\dagger} \left(\lvert 0 \rangle \right) = \left( a\lvert 0 \rangle \right)^{\dagger} \left(a\lvert 0 \rangle \right) = \langle 0 \lvert a^\dagger a \rvert 0 \rangle$$

Nun, da durch die Annahme$a\lvert 0 \rangle = \lvert 0 \rangle$, wir können den Tausch wieder machen,

$$\langle 0 \lvert a^\dagger a \rvert 0 \rangle = \langle 0 \lvert a^\dagger \rvert 0 \rangle = \langle 0 \lvert 1 \rangle$$

was ein Widerspruch ist, es sei denn, wir akzeptieren$\vert 0 \rangle = \lvert 1 \rangle$, was eindeutig nicht sinnvoll ist.

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$\dagger$Einer der Gründe$n=-1$nicht erlaubt ist, lautet wie folgt: Erinnern Sie sich daran, dass für den harmonischen Quantenoszillator die Standardabweichungen von Impuls und Ort der Unschärferelation gehorchen müssen,

$$\sigma_x \sigma_p = \hbar\left( n + \frac{1}{2}\right) \geq \frac{\hbar}{2}$$

Der niedrigste Wert$n$nehmen kann, um der Ungleichheit zu gehorchen$n=0$; niedriger und es wird verletzt.