Warum ist es nicht E≈27,642×mc2E≈27,642×mc2E \approx 27,642 \times mc^2?

Es ist ein Nebeneffekt der unvernünftigen Effektivität der Mathematik . Sie befinden sich in guter Gesellschaft und denken, dass es ein wenig seltsam ist.

Viele Größen in der Physik können durch ein paar Zeilen Algebra miteinander in Beziehung gesetzt werden. Dies sind in der Regel die Modelle, die wir als „hübsch“ empfinden. Terme, die durch reine Algebra manipuliert werden, neigen dazu, ganzzahlige Faktoren oder Faktoren aufzunehmen, die ganze Zahlen sind, die zu ganzzahligen Potenzen erhoben werden; Wenn nur wenige algebraische Manipulationen beteiligt sind, sind die ganzen Zahlen und ihre Potenzen tendenziell klein.

Andere Größen können durch ein paar Rechenzeilen in Beziehung gesetzt werden. Aus der Analysis erhält man die transzendenten Zahlen, die nicht durch Lösen einer algebraischen Gleichung auf die ganzen Zahlen bezogen werden können. Aber es gibt viele algebraische Transformationen, die Sie durchführen können, um ein Integral mit einem anderen in Beziehung zu setzen, und so viele dieser transzendentalen Zahlen können durch Faktoren kleiner ganzer Zahlen, die zu kleinen ganzzahligen Potenzen erhoben werden, miteinander in Beziehung gesetzt werden. Deshalb verbringen wir viel Zeit damit, darüber zu reden$\pi$,$e$, und manchmal Bernoullis$\gamma$, haben aber nicht wirklich eine ganze Bibliothek irrationaler Konstanten, die sich die Leute merken können.

Die meisten Konstanten mit vielen signifikanten Stellen stammen aus Einheitenumrechnungen und sind im Wesentlichen historische Unfälle. Carl Witthoft gibt das Beispiel von$E=mc^2$mit einem numerischen Faktor, wenn Sie die Energie in BTU wollen. Die BTU ist die Wärme, die benötigt wird, um die Temperatur eines Pfund Wasser um ein Grad Fahrenheit zu erhöhen, also ist sie zusätzlich zu dem völlig historischen Unterschied zwischen Kilogramm und Pfund und Rankine und Kelvin mit der Wärmekapazität von Wasser verbunden. Es ist eine großartige Einheit, wenn Sie einen Kessel entwerfen! Aber es hat keinen Platz in der Einstein-Gleichung, weil$E\propto mc^2$ist eine Tatsache der Natur, die viel einfacher und grundlegender ist als das Rotations- und Schwingungsspektrum des Wassermoleküls.

Es gibt mehrere Orte, an denen es reale, dimensionslose Naturkonstanten gibt, die, soweit bekannt, keine kleinen ganzen Zahlen und bekannte transzendente Zahlen sind, die zu kleinen ganzzahligen Potenzen erhoben werden. Am bekanntesten ist wohl die elektromagnetische Feinstrukturkonstante$\alpha \approx 1/137.06$, definiert durch die Beziehung$\alpha \hbar c = e^2/4\pi\epsilon_0$, wo dies$e$ist die elektrische Ladung eines Protons. Die Feinstrukturkonstante ist die "Stärke" des Elektromagnetismus und die Tatsache, dass$\alpha\ll1$ist ein großer Teil dessen, warum wir behaupten können, die Quantenelektrodynamik zu „verstehen“. "Einfache" Wechselwirkungen zwischen zwei Ladungen, wie der Austausch eines Photons, tragen mit einem Faktor von zur Energie bei$\alpha$vorne, vielleicht multipliziert mit einem Verhältnis von kleinen ganzen Zahlen zu kleinen Potenzen. Die Wechselwirkung des Austauschs zweier Photonen "auf einmal", die im Feynman-Diagramm eine "Schleife" bildet, trägt mit einem Faktor von zur Energie bei$\alpha^2$, ebenso wie alle anderen Interaktionen in einer Schleife. Wechselwirkungen mit zwei "Schleifen" (drei Photonen gleichzeitig, zwei Photonen und eine Teilchen-Antiteilchen-Fluktuation usw.) tragen im Maßstab von bei$\alpha^3$. Seit$\alpha\approx0.01$, trägt jede "Reihenfolge" von Interaktionen ungefähr zwei weitere signifikante Ziffern zu der Menge bei, die Sie berechnen. Erst in der sechsten oder siebten Ordnung gibt es Tausende von topologisch zulässigen Feynman-Diagrammen, die so viele Hunderte von Beiträgen auf der Ebene von beitragen$\alpha^{n}$dass es anfängt, die Berechnung zu schlagen$\alpha^{n-1}$. Ein Einstieg in die Literatur .

Die mikroskopische Theorie der starken Kraft, die Quantenchromodynamik, ist im Wesentlichen identisch mit der mikroskopischen Theorie des Elektromagnetismus, außer mit acht geladenen Gluonen anstelle eines neutralen Photons und einer anderen Kopplungskonstante$\alpha_s$. Leider für uns,$\alpha_s \approx 1$, so dass für Systeme mit nur leichten Quarks die Berechnung einiger "einfacher" Quark-Gluon-Wechselwirkungen und das Stoppen Ergebnisse liefert, die völlig unabhängig von der starken Kraft sind, die wir sehen. Wenn ein schweres Quark involviert ist, ist QCD wieder störend, aber nicht annähernd so erfolgreich wie Elektromagnetismus.

Es gibt keine Theorie, die erklärt, warum$\alpha$ist klein (obwohl es Bemühungen gab ), und es gibt keine Theorie, die erklärt, warum$\alpha_s$ist groß. Es ist ein Mysterium. Und es wird sich weiterhin wie ein Rätsel anfühlen, bis ein Modell entwickelt wird, wo$\alpha$oder$\alpha_s$kann mit anderen Konstanten multipliziert mit transzendentalen Zahlen und kleinen ganzen Zahlen, die zu kleinen Potenzen erhoben werden, berechnet werden, und an diesem Punkt wird es wieder ein Rätsel sein, warum Mathematik so effektiv ist.

Ist α nicht bereits durch physikalische Konstanten ausdrückbar oder meinten Sie mathematische Konstanten wie π oder e?

Das stimmt sicherlich

Es hängt alles davon ab, wie Sie die Einheiten definieren.$E = mc^2$in schönen MKSA-Einheiten; aber dann wandeln Sie Energie in BTUs um und Sie brauchen den allseits liebenswerten "Fudge-Faktor" darin.

Die Leute verbrachten viel (naja, einige) Zeit damit, selbstkonsistente Sätze von Einheiten zu entwickeln, hauptsächlich um Gleichungen einfach zu halten, obwohl es, wie Rijul betonte, auch viel verbirgt, bekannten Konstanten hässliche Zahlen zuzuweisen.

Ich würde nicht sagen, dass ich die Antwort kenne, aber meiner Meinung nach neigen wir dazu, die hässlichen Zahlen zu verbergen.

Siehe Rydbergs Gleichung

Beachten Sie in ähnlicher Weise Bohrs zweites Postulat

Es könnte noch viele weitere Beispiele geben, aber ich denke, das reicht aus, um meinen Standpunkt zu verdeutlichen!

Hinweis: Die Zahlen, die Sie vielleicht als hässlich bezeichnen, könnten andere für extrem schön halten, so wie manche Leute die Plancksche Konstante als göttliche Schönheit betrachten!

Nachtrag: die Zahl der Gleichungen mit und ohne solche Zahlen sollte man beachten, ich glaube es gäbe keine schöneren Relationen als die hässlichen!

Außerdem müssen Sie anfangen, alle Zahlen, sogar einfache natürliche Zahlen wie 1 und 2, in die Liste der hässlichen Zahlen aufzunehmen! Dann versteckt sich nach dieser Definition sogar in der Gleichung der Zeitdilatation eine "1"!

In Bezug auf den Kommentar hinzugefügt: Die Zahlen, die Sie in Ihrer Frage als hässlich bezeichnet haben, waren ungewöhnlich und kompliziert. Ich habe ziemlich viel Schönheit in der vollständigen und teilweisen Symmetrie gefunden. Ich habe irgendwo gelesen, dass Pflanzen und alle wegen der teilweisen Symmetrie ästhetisch ansprechend sind! Vielleicht macht die Einfachheit rationaler Zahlen und die Vertrautheit mit Konstanten sie weniger hässlich als andere.

Mir scheint, dass es zwei Sichtweisen auf diese Frage gibt, je nachdem, was Sie als grundlegend ansehen. Am Ende des Tages hängt alles mit der überraschenden Kraft der Dimensionsanalyse zusammen .

In der klassischen Dynamik gibt es 3 unabhängige Dimensionsgrößen. Diese sind einfach Masse ($M$), Länge ($L$) und Zeit ($T$). Sobald Sie für jede dieser Größen eine Standardeinheit ausgewählt haben, werden alle anderen Dimensionsgrößen eindeutig durch eine Zahl und entsprechende Einheiten dargestellt.

Zum Beispiel hat Energie Einheiten$ML^2T^{-2}$. Das heißt, sobald Sie Standardgrößen für Masse, Länge und Zeit festgelegt haben, können Sie eindeutig von Energie sprechen. Wir verwenden normalerweise SI-Einheiten, wo Energie mit der Einheit Joule kommt ($\mathrm J$) und

Aus dieser Perspektive ist es dann sehr verwirrend$E = mc^2$klappt genau richtig. Anders gesagt, die Menge$E/mc^2$ist dimensionslos - also hat das Ändern Ihrer Standarddefinitionen von Masse, Länge und Zeit keinen Einfluss darauf! Also warum um alles in der Welt sollten wir das finden

eher als die weniger eleganten

Die Antwort liegt in einem detaillierteren Verständnis von Einsteins spezieller Relativitätstheorie. Was Einstein im Wesentlichen erreichte, war die Versöhnung der folgenden Ideen

1. Die Physik sieht gleich aus, egal mit welcher Geschwindigkeit Sie unterwegs sind
2. Die Lichtgeschwindigkeit ist eine universelle Konstante

Einsteins Lösung verlangt genau das$E/mc^2=1$. Tatsächlich können Sie diese Gleichung ableiten, indem Sie die Lorentz-Symmetrie und Einsteins Begriff der Eigenzeit annehmen. Es gibt ein paar gute Konten, die online verfügbar sind – hier und hier .

Aber man hätte es vielleicht ahnen können$E=mc^2$war wahr, nur von Ihrem Wissen über Dimensionen. Denken Sie an einen zerfallenden Kern. Diese verliert Masse und gibt Energie in Form von elektromagnetischen Wellen ab. Die drei beteiligten Größen sind also (naiv)$E$,$m$und$c$.

Die Dimensionsanalyse besagt, dass sie durch eine Gleichung in Beziehung gesetzt werden müssen

wo$K$ist eine dimensionslose Zahl. Das sagt ein starkes philosophisches Prinzip namens Natürlichkeit$K$muss grob sein$1$. Im Laufe der Jahre haben Physiker festgestellt, dass Natürlichkeit ein unglaublich guter Leitfaden für unser Verständnis ist. Wenn Formeln natürlich sind, wie$E=mc^2$es ist normalerweise ein Zeichen dafür, dass die zugrunde liegende Theorie solide ist.

Dies passt gut zu Robs Antwort. Er erwähnt ein paar dimensionslose Größen, die nicht in der Nähe sind$1$. Einige Physiker glauben, dass dies zeigt, dass unsere Modelle unvollständig sind. Es gibt viele Lösungsvorschläge, die diese unnatürlichen Mengen erklären. Nicht wenige könnten ausgeschlossen werden, wenn der LHC beim Wiedereinschalten im nächsten Jahr keine neuen Teilchen sieht. Vielleicht verzichten wir also bis 2016 auf die Natürlichkeit als Richtschnur!

Ich habe erwähnt, dass es eine andere Möglichkeit gibt, die Frage zu betrachten. Angenommen, wir nehmen unsere Grundeinheiten als Masse ($M$), Energie ($E$) und Geschwindigkeit ($V$). Jetzt natürlich$E/mc^2$ist keine dimensionslose Größe mehr. Es hat Einheiten von$EM^{-1}V^{-2}$und wir können unsere Standardmaße so anpassen, dass wir genau hinkommen

Genau darüber haben Carl und Rijul gesprochen. In einer Welt, in der Ihre Einheiten grundlegend sind$M$,$E$und$V$Es gibt kein Geheimnis - die Formel ist nur eine nützliche Eselsbrücke für eine experimentelle Tatsache.

Lassen Sie mich wissen, wenn Sie weitere Details wünschen!

Gute Frage!
Die meisten Symbole, die in physikalischen Formeln verwendet werden, beziehen sich auf physikalische Größen, die gemessen werden können. Daher die Namensmenge. Sie werden in Einheiten gemessen. Wenn die Symbole in den Formeln in einem bestimmten Verhältnis zueinander stehen, sollten dies auch die Messwerte sein. Wenn in Ihrem Beispiel die Masse ein Kilogramm beträgt (man kann dies messen) und wenn diese Masse (also der Wert , nicht das Symbol) mit der Lichtgeschwindigkeit zum Quadrat multipliziert wird (Sie können diese Geschwindigkeit messen), dann können Sie die berechnen Wert der Energie der Masse. Um zu sehen, ob die durch die Formel vermutete Beziehung zwischen den Symbolen korrekt ist, kann man eine Energiemessung durchführen (obwohl es ziemlich schwierig ist, den Wert der Ruheenergie einer bestimmten Masse zu messen). Auf dieser Grundlage können Sie eine Formel annehmen oder ablehnen.
In der mathematischen Physik (wo Symbole ständig manipuliert werden) beziehen sich die meisten Symbole nicht auf messbare Größen. Zum Beispiel in der Quantenfeldtheorie. Natürlich muss sich das Endergebnis all dieser Manipulationen auf messbare Größen beziehen (in der Quantenfeldtheorie sind diese Größen meist Querschnitte von Teilchenreaktionen und Zerfallsraten von Teilchen), um festzustellen, ob sich die ganze Manipulation gelohnt hat, es sei denn, Sie interessieren sich für völlig imaginäre Situationen.
Ich denke, es ist jetzt klar, warum physikalische Theoreme (Formeln) nicht immer genau sein müssen. Nur wenn die Beziehung zwischen den Symbolen durch Messungen bestätigt wird, gilt dies.
Die Formeln sind sauber, die entsprechenden Zusammenhänge zwischen den Messwerten, auf die sich die Symbole in den Formeln beziehen, nicht. Nun, je sauberer das letzte, desto genauer werden die Formeln bestätigt.
Wir können auch sehen, dass die Formeln der Physik unabhängig von den verwendeten Einheiten gelten. Die Formeln sind objektive Manipulationen von Symbolen (natürlich manipulieren wir diese), während die Maßeinheiten von uns erfunden werden. Man kann sagen, dass die Entfernungseinheit ein Parsec oder eine Planck-Länge ist. Dies ändert nichts an der Gültigkeit von$E=mc^2$. Wenn wir die Einheit (das Maß) einer der Größen auf einer Seite der mathematischen Formel ändern (in diesem Fall das Maß von$c$), ändert sich das Maß der Einheit auf der anderen Seite entsprechend ($E$in diesem Fall).