Warum kann iℏ∂∂tiℏ∂∂ti\hbar\frac{\partial}{\partial t} nicht als Hamiltonoperator betrachtet werden?

1. Wenn man a priori fälschlicherweise erklärt, dass der Hamilton-Operator$\hat{H}$ ist die zeitliche Ableitung$i\hbar \frac{\partial}{\partial t}$, dann die Schrödinger-Gleichung

   $$\hat{H}\Psi~=~i\hbar \frac{\partial\Psi}{\partial t}\tag{1}$$ würde eine Tautologie werden. Eine solche triviale Schrödinger-Gleichung könnte nicht verwendet werden, um die zukünftige (oder vergangene) zeitliche Entwicklung der Wellenfunktion zu bestimmen$\Psi({\bf r},t)$.

2. Im Gegensatz dazu der Hamilton-Operator$\hat{H}$ist typischerweise eine Funktion der Operatoren$\hat{\bf r}$und$\hat{\bf p}$, und die Schrödinger-Gleichung

   $$\hat{H}\Psi~=~i\hbar \frac{\partial\Psi}{\partial t}\tag{2}$$ ist eine nicht triviale Voraussetzung für die Wellenfunktion$\Psi({\bf r},t)$.

3. Man kann sich dann fragen, warum es dann in Ordnung ist, den Impulsoperator als Gradienten zuzuweisen

   $$\hat{p}_k~=~ \frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial r^k}~?\tag{3}$$ (Dies ist als Schrödinger-Darstellung bekannt.) Die Antwort liegt an den kanonischen Kommutierungsbeziehungen $$[\hat{r}^j, \hat{p}_k]~=~i\hbar~\delta^j_k~\hat{\bf 1}.\tag{4}$$

4. Andererseits die entsprechende Vertauschungsrelation für die Zeit$t$ist

   $$[\hat{H}, t]~=~0, \tag{5}$$ weil zeit$t$ist ein Parameter und kein Operator in der Quantenmechanik, siehe auch this & this Phys.SE posts. Beachten Sie das im Gegensatz $$\left[i\hbar \frac{\partial}{\partial t}, ~t\right]~=~i\hbar,\tag{6}$$ was auch zeigt, dass man sich nicht identifizieren sollte$\hat{H}$und$i\hbar \dfrac{\partial}{\partial t}$.

Sie können die Wellenfunktion in der Schrödinger-Gleichung nicht "kürzen", weil die Wellenfunktion die Hauptvariable davon ist. Es ist eine Gleichung für die Wellenfunktion.

Die Zeitableitung kann nicht als Operator betrachtet werden, da ein Operator per Definition eine wohldefinierte eindeutige Abbildung ist

Es gibt keine Analogie zwischen Newtons$F=ma$und die Schrödinger-Gleichung, außer dass beide Gleichungen sind. Ein besseres Quantengegenstück zu Newtons Gleichungen wären eher die Heisenberg-Gleichungen für die Operatoren als die Schrödinger-Gleichung. Nun, eine sehr milde Analogie – die wahrscheinlich in jeder Gleichung existieren würde – ist, dass man ein bestimmtes haben muss$x,p$-abhängige Formel für Kraft$F$eine bestimmte zu berechnen$x(t)$; ebenso benötigt man zur Berechnung eine bestimmte Wahl des Hamilton-Operators$|\psi(t)\rangle$. Aber es gilt für jede Gleichung: Alle Abkürzungen müssen vollständig erklärt werden, damit die Gleichung einen wirklich klar definierten Sinn ergibt und speziell auf ein bestimmtes System zutrifft.

Mathematisch$i\hbar\frac{\partial}{\partial t}$ist ein Differentialoperator. Nennen wir es$\hat{E}$:

Aber das zu sagen$\hat{E}\psi=i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\psi$sagt das nur$\hat{E}\psi\equiv i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\psi$und es ist noch keine Gleichung (es ist eine Tautologie, wie Qmechanic betonte). Aus Differentialgleichungen kennt man das zum Beispiel z$\hat{L}:= \frac{d}{dx}$,$\hat{L}\psi(x)\equiv \frac{d\psi(x)}{dx}$ist keine Gleichung. Stattdessen,$\hat{L}\psi(x)=0=0\cdot \psi$ist eine Gleichung und das bedeutet es natürlich nicht$\frac{d}{dx}= 0$. Oder besser, nehmen Sie den Lapalacian in zwei Dimensionen$\nabla^2\equiv\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}$. Dann ist die Laplace-Gleichung

Sie können es umschreiben als

Offensichtlich bedeutet es das nicht$\frac{\partial^2}{\partial x^2}= -\frac{\partial^2}{\partial y^2}$, es bedeutet, dass Handeln durch$\hat{L}_1:=\frac{\partial^2}{\partial x^2}$an$\psi$gibt Ihnen die gleiche Funktion wie Handeln auf$\psi$durch$\hat{L}_2:=-\frac{\partial^2}{\partial y^2}$:

dh$\hat{L}_1\equiv\hat{L}_2$, aber nicht allgemein, sondern nur auf einem bestimmten Funktionenraum von Funktionen$\psi$so dass$\hat{L}_1\psi=\phi=\hat{L}_2\psi$.

Im Fall der zeitabhängigen Schrödinger-Gleichung haben wir zwei Operatoren$\hat{E}$und$\hat{H}$(wie$\hat{L}_1$und$\hat{L}_2$in unserem vorherigen Beispiel) wirken auf$\psi$führt zum gleichen Ergebnis$\phi$:

Der Zweck des Hamiltonoperators besteht darin, die Zeitentwicklung zu bestimmen$\frac{\partial}{\partial t}$, und dafür verwenden$\frac{\partial}{\partial t}$selbst als Hamilton-Operator ist „ unbrauchbar “, zumal alle Systeme unabhängig von der zugrunde liegenden Physik denselben Hamilton-Operator haben würden.

Was Sie wollen, ist ein Ausdruck, der abhängig von der jeweiligen Physik die Zeitentwicklung anhand von Größen vorhersagt, die bereits bekannt sind, bevor die Zeitentwicklung tatsächlich stattfindet.

Gruß Hans

Obwohl dies nicht direkt mit der vorliegenden Frage zusammenhängt, möchte ich anmerken, dass der Impulsoperator nicht unbedingt durch das Auferlegen eines Kommutators entsteht. Es ergibt sich wie folgt:

Beginnen Sie mit der Definition eines Übersetzungsoperators, der auf ein Feld wirkt (betrachten Sie zuerst den einfachen Fall):

$\hat{T}_a\psi(x)=\psi(x+a)$

Erweitern als:

$\hat{T}_a\psi(x)=\psi(x)+a\psi'(x)+ \frac{a^2\psi''(x)}{2!}+...$

=$[I+a\psi'(x)+ \frac{a^2\psi''(x)}{2!}+...]\psi(x)$

Rufen Sie den Ableitungsoperator auf$\hat{D}$. Unter Verwendung der Notation für ein Exponential können wir das schreiben als:

$\hat{T}_a\psi(x)=e^{a\hat{D}}\psi(x)$

Jetzt haben wir, dass der Differentialoperator der infinitesimale Generator der Übersetzung ist.

Um den Übersetzungsoperator Hermitian beizubehalten, definieren wir einen neuen Operator$\hat{p}=i\hat{D}$.

Diese wird dann mit der physikalischen Größe „Impuls“ identifiziert, wenn die Variable x „Ort“ beschreibt. Es gibt noch viel mehr dazu und vielleicht werde ich diesen Beitrag bearbeiten, wenn ich Zeit habe.

Darauf möchte ich hinweisen$i$'s werden nicht ad hoc von Hand eingefügt, aber es gibt einen Zweck, solche Ersetzungen vorzunehmen.

Ich war lange unzufrieden mit der Herangehensweise der QM-Lehrbücher an das Thema Operatoren. Das hat mir niemand in der Intro-QM-Klasse gesagt. Ich hatte das große Glück, einen hervorragenden Lehrer für mathematische Physik zu haben, der mir das erklärte. Tolle Klasse und ein toller Lehrer!

Die Schrödinger-Gleichung ist nicht wirklich eine PDE. Es ist eine ODE. Die Schrödinger-Gleichung ist$i\hbar \frac{d}{dt} | \psi\rangle = \hat H | \psi\rangle$. Hier der Zustandsvektor$| \psi\rangle$ist ein$\mathcal H$-bewertete Funktion einer einzelnen unabhängigen Variablen$t$und$\mathcal H$ist ein Hilbert-Raum und$\hat H$ein Operator in diesem Hilbert-Raum ist. Es gibt nur eine unabhängige Variable, also ist es eine ODE.

Jetzt der Betreiber$\hat H$ist normalerweise eine Funktion von Operatoren$\hat x, \hat p$das befriedigt$[\hat x, \hat p] = i\hbar$(und auch andere Operatoren wie der Spin und möglicherweise auch$t$). Aufgrund des Stone-von-Neumann-Theorems können solche Operatoren immer in eine Form gebracht werden, wo Eigenzustände des Operators sind$\hat x$, sagen$|x\rangle$,

Wie auch immer, wenn Sie (1) verwenden, können Sie die Schrödinger-Gleichung oft wie schreiben

Viele Antworten gaben Ihnen die ausführlichen Erklärungen, die gut sind. Es gibt jedoch auch einfache Gründe. Im Gegensatz zu dem, was gesagt wurde, denke ich, dass Sie Ihre Analogie auf den richtigen Weg bringt.

So wie Sie das zweite Newtonsche Gesetz erwähnen, ist es nicht beabsichtigt, es zu finden$F$. Still,$F$sollte nicht gleichgesetzt werden mit $ma$.$F$ist eine Abstraktion von etwas anderem , das dort eingesteckt werden sollte, das die Menge an Wechselwirkungen oder Störungen darstellt, die externe Elemente auf das Teilchen ausüben. Je nach Setup,$F$wird durch die korrekte Funktion ersetzt$f(x, \dot x,t)$. Wenn zum Beispiel jemand elastisch ist, würde die Gleichung des zweiten Newtonschen Gesetzes mit dem Hookeschen Gesetz verbunden werden. Dasselbe passiert, wenn die Wechselwirkung gravitativ, elektrisch usw. ist. Also,$F$viele unterschiedliche Geschmacksrichtungen haben könnte, manchmal so grundlegend unterschiedlich wie Schwerkraft und Elektromagnetismus (zumindest vorerst), abhängig von Ihrem Experiment.

Jetzt in$\hat{H}\Psi~=~i\hbar \frac{\partial\Psi}{\partial t}$, Die rechte Seite dieser Gleichung sollte nicht mit der linken Seite dieser Gleichung gleichgesetzt werden.$\hat H$ist eine Abstraktion von etwas anderem , das dort ebenfalls eingesteckt werden sollte . Wenn man sich zum Beispiel mit nicht-relativistischen einfachen Teilchen beschäftigt,$\hat H$sollte durch den Hamiltonoperator von Schrödinger ersetzt werden. Für ein nicht-relativistisches elektromagnetisches Feld ersetzt man es durch den Pauli-Operator, das gleiche gilt für den Dirac-Hamilton-Operator.

In jedem Formalismus, in dem ein Hilbert-Zustandsraum mit einer raumähnlichen Hyperebene verbunden ist, was sicherlich in Ihrem Beispiel der Schrödinger-Gleichung der Fall ist, ist die Zeit ein Parameter, der einen Hilbert-Raum auswählt$\mathcal{H}_t$. In diesem Fall beschreiben die Antworten von Lubos und Qmechanic die Situation ziemlich gut.

In der Quantenfeldtheorie, sicherlich in den am weitesten verbreiteten Formalismen, ist der Hilbert-Zustandsraum immer noch mit einer raumähnlichen Hyperebene verbunden (und die Lorentz-Kovarianz dieser Formalismen ist etwas gestört), so dass die Zeit wieder und wieder ein Parameter ist die Antworten von Lubos und Qmechanic sind gut. Es ist jedoch möglich , Formalismen zu konstruieren, in denen ein Hilbert-Raum mit der gesamten Raumzeit assoziiert ist, wobei in diesem Fall zeitähnliche und raumähnliche Übersetzungen viel direkter vergleichbar sind. Es gibtein Unterschied zwischen zeitähnlichen und raumähnlichen Übersetzungen aufgrund des unterschiedlichen Vorzeichens der Metrik für die beiden Fälle, jedoch kann die zeitähnliche Übersetzung als ein Operator dargestellt werden, der auf einen Hilbert-Raum wirkt, genau wie raumähnliche Übersetzungen. Es kann jedoch argumentiert werden, dass es in solchen Formalismen keine Schödinger-Gleichung gibt, die eher über Ihre Frage hinausgeht (und daher wird dies nur ein verwirrender Exkurs sein - aber, wenn Sie sich fragen, diese Mathematik ist da draußen ...).

Das ist alles schön genug als Mathematik, und ich hoffe, dass es helfen wird, den Kontrast zu sehen, aber die alternative Konstruktion, wie ich sie oben umreiße, hat im Wesentlichen keine nützliche Anwendung als physikalische Beschreibung gefunden.

Das tiefere Problem bei dieser Annahme ist, dass sie eine konzeptionelle Identität zwischen den Begriffen Hamiltonian und Energie annimmt, und diese Identität ist nicht korrekt. Das heißt, Unterscheidungsvermögen muss angewendet werden, um diese beiden Dinge zu trennen.

Konzeptionell ist Energie eine physikalische Größe, die gewissermaßen das „Geld der Natur“ ist – die „Währung“, die Sie aufwenden müssen, um physikalische Veränderungen in der Welt hervorzurufen. Auf einer etwas tieferen Ebene ist Energie für die Zeit, was Impuls für den Raum ist. Dies ist in vielen Bereichen zu sehen, wie z. B. im Satz von Noether, der den Energieerhaltungssatz damit in Beziehung setzt, dass die Geschichte eines Systems zeitlich hin und her übersetzt werden kann und dennoch auf die gleiche Weise funktioniert, dh dass es keine gibt bevorzugter Zeitpunkt in den Gesetzen der Physik, und ebenso für den Impuls, der im Raum herum übersetzt wird und immer noch auf die gleiche Weise funktioniert. Es kommt auch in der Relativitätstheorie vor, in der der "Vier-Impuls" Energie als zeitliche Komponente enthält.

Der Hamilton-Operator hingegen ist eine mathematisch modifizierte Version des Lagrange-Operators durch die sogenannte Legendre-Transformation. Der Lagrange-Operator ist eine Möglichkeit zu beschreiben, wie diese Kräfte die zeitliche Entwicklung eines physikalischen Systems in Form eines Optimierungsprozesses beeinflussen, und der Hamilton-Operator wandelt dies direkt in einen oft nützlicheren/intuitiveren Differentialgleichungsprozess um. In vielen Fällen ist der Hamilton -Operator gleich , der gesamten mechanischen Energie des Systems$E_\mathrm{mech}$, dh$K + U$, aber das ist selbst in der klassischen Hamiltonschen Mechanik nicht immer so , eine Tatsache, die die grundlegende begriffliche Trennung zwischen den beiden anzeigt und unterstreicht.

In der Quantenmechanik manifestiert sich das Konzept „Energie ist für die Zeit, was Impuls für den Raum ist“, darin, dass sie der Generator der zeitlichen Übersetzung oder der Generator der Evolution ist, genauso wie der Impuls der Generator der räumlichen Übersetzung ist . Genauso wie wir einen "Impulsoperator" haben

die eine Positionsraum-Wellenfunktion (hier der Einfachheit halber mit einer Dimension) übersetzt (mathematische Darstellung eingeschränkter Informationen bezüglich der Partikelposition seitens eines Agenten)$\psi$über die etwas lockere "Infinitesimalgleichung"

für die Übersetzung durch einen winzigen Schubs nach vorne$dx$, ebenso würden wir uns einen Energiebetreiber wünschen

was dasselbe tut, aber für die Übersetzung in Bezug auf die Zeit (der Vorzeichenwechsel liegt daran, dass wir normalerweise einen zeitlichen Fortschritt von berücksichtigen$t$zu$t + dt$, im Gegensatz zu psychologisch [vielleicht auch psychokulturell] bevorzugten räumlichen Bewegungen, die in unseren Beschreibungen von Dingen nach rechts gerichtet sind.). Das Problem dabei ist, dass Wellenfunktionen im Allgemeinen keinen Zeitparameter enthalten und zumindest die nicht-relativistische Quantenmechanik Raum und Zeit getrennt behandelt, sodass das Obige kein echter Operator für den Systemzustandsraum sein kann. Vielmehr handelt es sich eher um einen „Pseudo-Operator“, den wir „gern“ hätten, aber aus diesem Grund „eigentlich“ nicht können. Man beachte, dass dies der Ausdruck ist, der rechts von der Schrödinger-Gleichung erscheint, die wir also „besser“ so schreiben könnten

wo$\psi$ist jetzt eine zeitliche Folge von Wellenfunktionen (nämlich eine "Curry-Funktion", die zu einer "gewöhnlichen" Funktion wird, wenn Sie die Wellenfunktionen als basisunabhängige Hilbert-Vektoren betrachten). Der Hamilton-Operator$\hat{H}$ ist ein echter Operator, der nur auf die "gegenwärtigen" Konfigurationsinformationen für das System einwirkt. Was diese Gleichung "wirklich" aussagt, ist, dass der Hamiltonian, damit eine solche Zeitreihe eine gültige physikalische Entwicklung darstellt, auch in der Lage sein muss, sie durch die Zeit zu übersetzen. Der Unterschied zwischen Hamiltonoperator und Energie manifestiert sich darin, dass der Hamiltonoperator nicht jede Zeitsequenz übersetzt, während der Energie-Pseudooperator genau wie der Impulsoperator jede räumliche Wellenfunktion übersetzt. Darüber hinaus können viele Hamiltonoperatoren möglich sein, die zu demselben Energiespektrum führen.

Da diese beiden Dinge unterschiedlich sind, macht es keinen Sinn, sie wie vorgeschlagen mit Operatoren gleichzusetzen. Das können und sollten Sie haben$\hat{H}[\psi(t)] = [\hat{E}\psi](t)$, aber Sie sollten nicht haben$\hat{H} = \hat{E}$!

Die kurze Antwort ist, weil es identisch Null ist.

Wenn Sie «Operator» sagen, müssen Sie angeben können, ¿ auf welchem ​​Raum operiert er?

Um die Antwort von Peter Morgan ein wenig zu vereinfachen, soll der Hamiltonian hier ein Operator auf dem Hilbert-Raum der Zustandsvektoren (oder Wellenfunktionen) des Systems sein. In Ihrem Fall ist dieser Hilbert-Raum ein Raum von Funktionen von drei Variablen.$x$,$y$, und$z$. Sie könnten bezeichnet werden$\psi(x,y,x)$, zum Beispiel,

Die Antwort auf die oberste Frage ist eigentlich sehr kurz. Zeit ist im klassischen QM ein externer Parameter; Parametrisierung einer einheitlichen Evolution. Es, sowie$i\partial_t$, hat nichts mit Operatoren, Observablen usw. zu tun. Mit anderen Worten$t$in$\psi(t)$zählt einige Basisvektoren eines beobachtbaren Likes nicht auf$x$tut in$\psi(x)$.

Fragen warum

Ich denke, deine Antwort ist richtig. Die Definition ist egal. Der Hamiltonoperator ist per Definition ein totaler Energieoperator. Vorausgesetzt$i\hbar\frac{\partial}{\partial t}$ein Hamilton-Operator ist, führt zu Problemen, da dieser Ausdruck keine Information über die Energie des Systems enthält, die sich je nach Konfiguration des Systems aus kinetischen und potentiellen Anteilen zusammensetzt.

Da die Zeit im QM keine dynamische Variable ist$x$oder$p$. Daher gibt es keinen zeitlichen Spektralsatz. Der „Operator“$i\hbar \partial_t$ist eine gerade postulierte Methode, um die Gesamtenergie als Mittelwert abzuziehen. Sicherlich gibt es für jeden Satz von Eigenzuständen einen Satz von Energien, aber diese Energien werden durch den Hamilton-Operator bestimmt.

Obwohl bereits in anderen Antworten implizit enthalten, dachte ich, ich würde meine Ansicht hier nur explizit darlegen.

Der Zustand eines Teilchens wird durch einen Zustandsvektor charakterisiert . Beobachtbare Größen werden durch lineare Operatoren auf den Vektoren dargestellt, und die messbaren Werte sind die Eigenwerte der linearen Operatoren. Das Studium der Quantenmechanik soll bestimmen, wie sich der Zustandsvektor und damit die messbaren Werte im Laufe der Zeit ändern . Insbesondere ist die Zeit keine Observable, dh man kann von der Zeit eines Teilchens nicht so sprechen wie von seinem Ort oder seinem Impuls, denn ein Zustandsvektor sollte für alle Zeiten existieren.

Nun, wenn wir sagen$\hat x = x$und$\hat p = -i\hbar \partial_x$, sprechen wir über Operationen, die Vektoren in andere Vektoren umwandeln. Wenn wir davon sprechen$\partial_t$In der Quantenmechanik vergleichen wir jedoch denselben Vektor mit sich selbst , nur zu unterschiedlichen Zeiten. Aus diesem Grund kann eine Zeitableitung überhaupt nicht als Operator betrachtet werden.