Warum müssen wir eine intuitionistische Erklärung einer parakonsistenten vorziehen, wenn sie doch dual sind?

Angesichts der anti-intuitiven Ergebnisse der Quantenmechanik ist es nicht verwunderlich, dass Physiker nach einem tieferen Grund in der Struktur der Theorie suchen würden, um zu erklären, was damals (und immer noch) verblüffende Phänomene waren.

Von Neumann & Birkhoff wiesen darauf hin, dass Aussagen über ein klassisches physikalisches System in seinem Phasenraum kodiert seien. Jeder Satz bestimmte eine Teilmenge dieses Raums. Und die ganze Propositionsfamilie beschreibt eine boolesche Algebra. Das heißt, wir haben die klassische Aussagenlogik.

Obwohl sich die Quantenmechanik dramatisch von der klassischen Mechanik unterscheidet, gibt es breite Merkmale, die von der klassischen zur Quantenmechanik korrespondieren – wie es sein sollte – da die Quantenmechanik zur klassischen Mechanik hin konvergieren sollte, da man Plancks konstant gegen Null nimmt. Dies ist beim Phasenraum der Fall – es gibt einen Quantenphasenraum.

Die Frage ist dann, welche Art von Logik dieser Quantenphasenraum unterstützt. Von Neumann & Birkhodd zeigten, dass dies ein nicht-distributiver Verband ist, und indem sie die Verknüpfung als oder und die Begegnung als interpretierten, hatten sie eine Logik, die sie Quantenlogik tauften. Seine Hauptnachteile bestehen darin, dass es aufgrund des Versagens der Distributivität schwer als Logik zu interpretieren ist :

  • es wurde kein zufriedenstellender Implikationsoperator gefunden;

  • es bleibt nur eine Aussagensprache: Eine Verallgemeinerung einer Prädikatsform dieser Logik ist nicht gefunden worden.

  • physikalisch, weil es nicht einfach eine erkenntnistheoretische Frage ist, dass wir nicht wissen, ob eine Aussage p gilt oder nicht, können wir nicht sagen, dass p oder ~p = 1 gilt. Das ist das Gesetz des ausgeschlossenen Dritten suspekt.

Dies sind trotz der Attraktivität der Idee wesentliche Nachteile. Es wurde auch argumentiert, dass reine Zustände Wahrheit nicht im üblichen binären Modus (wahr, falsch) zuweisen; so wird die Wahrheit selbst dunkel und muss neu gedacht werden. In letzter Zeit gab es einige Versuche, die Theorie in intuitionistischer Logik zu begründen, für die das Gesetz der ausgeschlossenen Mitte und der Wahl nicht gilt.

Nun, ich habe erst kürzlich verstanden, dass das Dual der intuitionistischen Logik parakonsistent ist. Es erscheint mir a priori nicht plausibel, dass wir die Logik dieser Neukonstruktionen intuitionistisch interpretieren müssen, warum nicht parakonsistent?

Tatsächlich kann ein Physiker wie Doering aufgrund der Formalisierung parakonsistenter Logik sagen, dass er seine Angst vor Widersprüchlichkeit verloren hat.

Wenn nun ein physikalisches System intuitionistisch modelliert wird, und angenommen, dass jedes physikalische Ereignis intuitionistisch modelliert wird; dann muss es dual auch parakonsistent modelliert werden.

Die Frage ist: Sind wir in unserer präventiven Wahl der intuitionistischen Logik voreingenommen? Gibt es Bedingungen, die wir fordern können, damit eine parakonsistente Interpretation eines physikalischen Ereignisses einer intuitionistischen vorgezogen wird?

Könnte man zum Beispiel eine Überlagerung von Wahrheitswerten annehmen? In den frühen Tagen der Quantentheorie war es überraschend zu entdecken, dass ein Teilchen sowohl Partikel- als auch Welleneigenschaften hatte, da diese Phänomene sich gegenseitig auszuschließen schienen. Endlich wurde verstanden, dass ein Teilchen ein Feld ist; und die Fragen, die man stellte, bestimmten, ob man ein Teilchen oder eine Welle sah. Gibt es eine ähnliche Möglichkeit für die Wahrheit?

NB: Es ist einfach, die Quantenlogik von Birkhoff und von Neumann propositional zu interpretieren. Betrachtet man das einfache Modell des Gitters als Gitter von Unterraumeinschließungen im Hilbert-Raum, kann jeder Unterraum als Satz betrachtet werden, der einen Vektor enthält. Für einen Unterraum A⊆ℋ und einen reinen Zustandsvektor |ψ⟩ können wir |ψ⟩∈A als die Aussage ansehen, die A von |ψ⟩ hält. Die Objekte sind somit maximal präzise (nicht-leere) Zusammenkünfte von Aussagen. In diesem Modell ist die Verbindung die direkte Summe von Leerzeichen, und die logische Negation ist Orthokomplement; dann ist |ψ⟩∈(A v ¬A) eine Tautologie.
Sie sind insofern dual, als LEM zum Prinzip des Widerspruchs wird, aber das Prinzip des Widerspruchs existiert auch im Intuitionismus, und was würde es in einer parakonsistenten Logik werden? Inutitionismus muss also stärker sein als das Dual eines normalen parakonsistenten Setups, oder? Es hat noch einen ziemlich mächtigen Aspekt, die Möglichkeit des Beweises durch Widerspruch, solange es sich um einen konstruktiven Beweis handelt. Sie müssten irgendwie eine begrenzte Form von LEM injizieren, die nur unter Bedingungen eines Wellenkollaps oder so etwas angewendet wird.
Ein Widerspruch in der gewöhnlichen Logik erfordert, dass eines von A/nicht-A falsch und das andere wahr ist. Wo beides oder keines wahr ist, gibt es keinen Widerspruch, denn es ist kein Fall von A/nicht-A. Diese logischen Rätsel, die Sie erwähnen, werden normalerweise durch eine falsche Anwendung der Regeln von Aristoteles für widersprüchliche Paare verursacht. Wenn wir sie richtig anwenden, wird parakonsistente Logik normalerweise unnötig. Ich würde vermuten, dass es dieses einfache Missverständnis der Logik ist, das Graham Priest dazu veranlasst, den Buddhismus so misszuverstehen und Physiker zu glauben, dass die Welt der gewöhnlichen Logik widerspricht.

Antworten (1)

Grundsätzlich ja, wobei die Details noch ausgearbeitet werden.

Zum Beispiel geben da Costa und Ronde in „The Paraconsistent Logic of Quantum Superpositions“ eine parakonsistente Axiomatisierung . Einige zusätzliche Diskussionen finden Sie hier .

Abgesehen davon denke ich, dass wir in Richtung Intuitionismus voreingenommen sind. Aber das ist vielleicht gar nicht so schlecht; Ausgewachsener Diathismus ist eine bittere Pille! Aber das ist eine andere Geschichte, die Beziehung zwischen Intuitionismus, Diaethismus und parakonsistenter Logik hat eine riesige und ständig wachsende Literatur.

Eigentlich ist es vernünftig, einfach zu sagen, dass Diathismus unsinnig ist. Es wird oft vergeblich versucht, die Unvollständigkeitstheoreme zu umgehen, aber tatsächlich macht der Diathismus die Sache noch viel schlimmer ! Darüber hinaus gelten die verallgemeinerten Unvollständigkeitssätze für jedes grundlegende System, unabhängig davon, wie verrückt seine Logik ist. Die Unvollständigkeitstheoreme können nur umgangen werden, wenn es kein reales Modell von PA gibt (siehe hier ).
PA steht für Peano-Axiome oder Peano-Arithmetik (ich bin mir nicht sicher, was, aber ich glaube nicht, dass das wichtig ist).
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