Warum werden zur Ableitung von Phononen periodische Randbedingungen verwendet? [Duplikat]

Ich lese gerade „Quantenfeldtheorie für begabte Amateure“. In Kapitel 2 werden Phononen als Lösungen (im k-Raum) eines gekoppelten harmonischen Oszillators eingeführt. Im realen Raum ist der Oszillator gekoppelt, aber anscheinend nicht im k-Raum (nach Durchführung einer Fourier-Transformation an den x,p-Operatoren). Während der Lösung hat der Autor periodische Randbedingungen verwendet , aber ich sehe nicht ein, warum sie einen endlichen Kristall, der nicht wie ein Ring geformt ist, genau beschreiben sollten. In einem anderen Buch wurde die Lösung auch mit periodischen Randbedingungen erhalten.

Sind realistischere Randbedingungen nicht lösbar? Ich hätte vermutet, dass wir davon ausgehen, dass die Wellenfunktion (der Phononen) außerhalb des Gitters Null sein soll, anstatt dieses unendlich periodische Verhalten.

Ein endlicher Kristall kann sich sehr von einem unendlichen Kristall unterscheiden (Interpretation der periodischen Grenze). Sie scheinen zwei völlig unterschiedliche Systeme zu sein. Warum verwenden wir periodische Randbedingungen und wie genau sind diese?

Antworten (1)

In der thermodynamischen Grenze (lineare Größe des Systems L bis unendlich), Randbedingungen spielen keine Rolle, und die meisten physikalischen Observablen sind für alle Randbedingungen gleich.

Die Verwendung von periodischen Randbedingungen hat hauptsächlich praktische Gründe, insbesondere wird die Translationssymmetrie beibehalten, was wirklich hilfreich ist. Man könnte im Prinzip die Berechnung mit anderen Randbedingungen durchführen, wie z. B. strengen BC, wie Sie vorschlagen, aber dies macht die Berechnung normalerweise schmerzhafter, als sie sein muss.

Wenn Sie sich für die Auswirkung von Grenzen auf das System interessieren, müssen Sie natürlich die richtigen verwenden.

Wenn sie (unterschiedliche Bedingungen) also nur in der thermodynamischen Grenze übereinstimmen, wie rechtfertigt man ihre Verwendung?
@ThomasElliot: Wir interessieren uns normalerweise für die thermodynamische Grenze, und wir kümmern uns nicht wirklich um endliche Größeneffekte, die subdominant sein werden. Wenn dies der Fall ist, können Sie dann den von Ihnen bevorzugten BC verwenden, der normalerweise die Berechnung am einfachsten macht, nämlich PBC.
@ThomasElliot - Nimm ein 1 M 3 Würfel aus Siliziumkristall - wie viele Atome gibt es? Wie viele Atome befinden sich an den Grenzflächen? Wie wäre es mit einer 1 M M 3 Kristall? Okay, wie wäre es mit a 1 μ M 3 Kristall? Wenn Sie es mit einer Milliarde Atomen zu tun haben, befinden Sie sich immer noch weit im thermodynamischen Limit und weit entfernt von signifikanten Randeffekten.
OK. Nun, ich wusste, dass es viele Atome in einem Kristall gibt, aber in der Mathematik liefert Unendlich oft seltsame Ergebnisse, also habe ich mich nur gefragt, wie sicher ein Ergebnis ist, das man erhält, wenn man Unendlich verwendet, ohne dass es wirklich vorhanden ist.
@ThomasElliot: In der Physik bedeutet unendlich nur groß genug. Typischerweise verschwinden diese endlichen Größenkorrekturen als Kehrwert des Volumens, dh sehr schnell, und sind normalerweise nicht der Hauptfehler, der sich aus Ihrer Modellierung ergibt (sprich, fast nie). Es gibt sehr wenige Fälle (wie den BKT-Übergang), in denen die endliche Größe des Systems die Physik wirklich verändert. (In diesem Fall wurde argumentiert, dass man ein System der Größe von Texas benötigen würde, um die BKT-Phase richtig zu sehen (verschwindende Magnetisierung). Aber das ist ein ziemlich fortgeschrittenes Thema im Vergleich zu einfachen Vanilla-Phononen.
Warum werden zur Ableitung von Phononen periodische Randbedingungen verwendet? [Duplikat]
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