Betrachten Sie ein Vielkörperproblem eines kleinen Clusters, z. B. des 'Hubbard-Clusters' (obwohl die Frage möglicherweise auch für andere Hamiltonianer relevant ist):
Es ist gut verständlich, dass, wenn ein solcher Operator mit einer Observablen wie der Dichte pendelt und/oder das magnetische Moment dies sind gute Quantenzahlen und unter einer geeigneten Sortierung von Fock-Zuständen die Hamilton-Matrix
zerfällt in Blöcke mit konstanter Teilchenzahl und magnetischem Moment. In den meisten Literaturstellen wird jedoch auch erwähnt, dass der Cluster unter einer Symmetrieoperation invariant ist das Problem kann weiter vereinfacht werden, dh der Hamiltonoperator kann durch eine unitäre Transformation in noch kleinere Blöcke zerlegt werden. Hier nun meine Fragen:
Gibt es ein systematisches Verständnis dieser Vereinfachung? Symmetrie gegeben , was ist die unitäre Transformation, die den Hamiltonoperator vereinfacht?
Wie klein sind die resultierenden Blöcke, nachdem eine Symmetrieoperation gefunden wurde? Lässt sich ihre Größe vorhersagen?
Wenn mehrere Symmetrieoperationen zur Verfügung stehen, welche führt zur größten Vereinfachung des Problems?
Wie können exakte Lösungen unter Verwendung symmetriebezogener unitärer Transformationen gefunden werden?
Vielleicht finden Sie das folgende Papier hilfreich: A Symbolic Solution of the Hubbard Model for Small Clusters , von J. Yepez.
Vielleicht möchten Sie auch die Gruppentheorie für die Physik der kondensierten Materie wiederholen, da Ihre Fragen im Wesentlichen die Grundlagen der Gruppen- und Darstellungstheorie umfassen. Viele Texte geben einen guten Überblick über die Grundlagen der Gruppentheorie, wie sie auf Festkörperkristalle angewendet werden, und einige sind online verfügbar, zum Beispiel "Symmetry in Condensed Matter Physics" von PG Radaelli (U. of Oxford Link) oder "Applications of Group Theory to the Physics of Solids“ von MSDresselhaus (Link MIT).
Wie auch immer, die Grundideen sind wie folgt:
- Gibt es ein systematisches Verständnis dieser Vereinfachung? Was ist bei gegebener Symmetrie S die unitäre Transformation, die den Hamilton-Operator vereinfacht?
Ja, dafür gibt es einen systematischen Weg, und der hat mit der Gruppe der Symmetrietransformationen des Hamiltonoperators zu tun . Eine vereinfachende unitäre Transformation kann ausgehend von einer beliebigen Basis von Zuständen wie folgt gefunden werden:
i) Erzeuge in der gegebenen Basis die Matrixdarstellungen für den Hamiltonoperator und die Symmetriegeneratoren. Diese Matrizen erzeugen im Allgemeinen eine reduzierbare Darstellung der Symmetriegruppe. ii) Verwenden Sie die Generatormatrizen und gruppentheoretische Techniken, um Projektoren für Zustände zu konstruieren, die unter den Symmetrietransformationen unveränderlich sind. Diese neuen Zustände sind keine Energieeigenzustände, sondern nur symmetrieinvariante Zustände. iii) Konstruieren Sie die neuen Basiszustände und die einheitliche Operation, die die ursprüngliche Basis in die neue transformiert. Das ist die gesuchte einheitliche Transformation. Siehe unten für weitere Details.
- Wie klein sind die resultierenden Blöcke, nachdem eine Symmetrieoperation gefunden wurde? Lässt sich ihre Größe vorhersagen?
Ja, die Größe der Blöcke und die Entartung der Energieeigenzustände wird durch die Art der Symmetriegruppe bestimmt. Die neue symmetrieinvariante Basis enthält Gruppen von Zuständen , die sich unter den Symmetrietransformationen ineinander transformieren, aber nicht in kleinere Gruppen mit derselben Eigenschaft zerlegt werden können. Jede dieser Gruppen erzeugt eine sogenannte irreduzible Darstellung der Symmetriegruppe. Die oben beschriebene einheitliche Transformation zerlegt die ursprüngliche reduzierbare Darstellung in eine Anzahl solcher nicht reduzierbarer Darstellungen. Die einer gegebenen irreduziblen Darstellung entsprechenden Zustände mischen sich nur untereinander in der Hamilton-Matrix. Daher löst die Transformation in symmetrieinvariante Zustände und die Zerlegung in irreduzible Darstellungen die Matrix des Hamiltonoperators in eine einfachere blockdiagonale Form auf. Die möglichen Dimensionen der Blöcke sind bekannt und werden unabhängig von der jeweiligen Form des Hamiltonoperators durch die Struktur der Symmetriegruppe bestimmt. Das heißt, Hamiltonoperatoren von völlig unterschiedlichen Systemen, die dieselbe Symmetriegruppe teilen, haben blockdiagonale Formen mit Blöcken derselben vorbestimmten Dimensionen. Dies sind die Dimensionen der irreduziblen Darstellungen der Symmetriegruppe. Sie unterscheiden sich von Gruppe zu Gruppe, wurden aber für alle wichtigen Symmetriegruppen berechnet und tabelliert.
- Wenn mehrere Symmetrieoperationen zur Verfügung stehen, welche führt zur größten Vereinfachung des Problems?
Die allgemeine Regel ist, dass Operationen mit höherer Symmetrie reduzierbare Darstellungen in Bezug auf Operationen mit niedrigerer Symmetrie erzeugen. Daher ist die Operation, die tatsächlich die Auflösung in die kleinsten Blöcke bestimmt, diejenige mit der niedrigsten Symmetrie unter den Operationen der Symmetriegruppe.
- Wie können exakte Lösungen unter Verwendung symmetriebezogener unitärer Transformationen gefunden werden?
Grundsätzlich erzeugen Symmetrievereinfachungen der Hamilton-Matrix Zerlegungen in viel kleinere diagonale Blöcke (nicht reduzierbare Darstellungen), die dann unabhängig diagonalisiert werden können. Das Verfahren besteht also darin, einen Block zu diagonalisieren, die zugehörige unitäre Transformation zu erzeugen und diese dann zu verwenden, um die exakten Eigenzustände zu finden. Manchmal kann die Diagonalisierung analytisch durchgeführt werden, aber selbst wenn sie numerisch durchgeführt werden muss, ist es immer noch ein viel einfacheres Problem als das ursprüngliche.
Fitzgerald Creen
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