Was meinen wir, wenn wir sagen, dass ein Hamiltonoperator unter Drehungen unveränderlich ist?

Question

Was meinen wir, wenn wir sagen, dass ein Hamiltonoperator unter Drehungen unveränderlich ist?

Neugierige

Bevor auf einige Beispiele der Spinpräzession eingegangen wird, lohnt es sich, die Zeitabhängigkeit der Erwartungswerte zu kommentieren $(4.23),(4.28)$ , und (4.30). Beachten Sie zunächst aus (4.16), dass
$\frac{D}{D T} ⟨ S_{z} ⟩ = \frac{ich}{ℏ} ⟨ ψ | [\hat{H}, {\hat{S}}_{z}] | ψ ⟩$ $\frac{d}{d t}\left\langle S_{z}\right\rangle=\frac{i}{\hbar}\left\langle\psi\left|\left[\hat{H}, \hat{S}_{z}\right]\right| \psi\right\rangle$ Wir können aus der expliziten Form des Hamiltonoperators (4.17) ersehen, der nur ein konstantes Vielfaches von ist $\hat{S}_{z}$ , Das $\hat{H}$ pendelt mit $\hat{S}_{z}$ und deshalb $\langle S_{z}\rangle$ ist zeitunabhängig [wie (4.23) zeigt]. Es ist interessant, dieses Ergebnis aus der Perspektive der Rotationsinvarianz zu betrachten. Insbesondere mit dem externen Magnetfeld in der $z$ Richtung, Drehungen um die $z$ Achse lassen den Spin-Hamiltonoperator unverändert. Also der Generator $\hat{S}_{z}$ dieser Drehungen muss mit pendeln $\hat{H}$ , und folglich aus (4.31) $\langle S_{z}\rangle$ ist eine Konstante der Bewegung. Der Vorteil des Denkens in Symmetrie (eine Symmetrieoperation ist eine Operation, die das System invariant lässt) besteht darin, dass wir die Symmetrie verwenden können, um die Konstanten der Bewegung zu bestimmen, bevor wir die Berechnungen tatsächlich durchführen. Auch das können wir vorher wissen $\langle S_{x}\rangle$ Und $\langle S_{y}\rangle$ sollte mit der Zeit variieren. Immerhin seit $\hat{S}_{x}$ Und $\hat{S}_{y}$ Drehungen um die erzeugen $x$ Und $y$ Achsen, und der Hamiltonoperator ist nicht invariant unter Drehungen um diese Achsen, $\hat{H}$ pendelt nicht mit diesen Generatoren.

Wie ist ein Operator unter einer anderen Operation invariant (oder nicht invariant)? Ich glaube, die Formulierung verwirrt mich. Was meinen wir mit "Rotationen um die z-Achse lassen den Spin-Hamilton-Operator unverändert". Beziehen wir uns auf die entsprechende Energie des Zustands oder sagen wir nur, dass der Rotationsoperator und der Hamilton-Operator kommutieren, dh dass der zeitlich entwickelte Zustand eines rotierten Zustands gleich dem zeitlich entwickelten rotierten Zustand ist? Sorry für die Unklarheit.

ZeroTheHero

Auf welchen Text beziehen sich Ihre Gleichungsnummern?

Antworten (2)

Was meinen wir, wenn wir sagen, dass ein Hamiltonoperator unter Drehungen unveränderlich ist?

Weißedeka · Answer 1

Wenn Sie eine Einheit haben $U^{-1} = U^{\dagger}$ (zeitunabhängige) Transformation wie z $U(\varphi)=\exp\left[-\frac{i}{\hbar}\varphi\hat{S}_z\right]$ (der Spin-Operator in z-Richtung ist der Generator von Drehungen um die z-Achse), dann transformieren Sie den Hamilton-Operator über

H \to H^{'} = U H U^{†}

$H\to H' = UHU^{\dagger}$ (Dies ist analog zu einem Basiswechsel bei einer Matrix). Wenn nun der Hamiltonoperator mit dem Spinoperator kommutiert

[H, S_{z}] = 0

$[H, S_z] = 0$ , dann können Sie den Hamilton-Operator im obigen Ausdruck frei verschieben, da Sie die Reihendefinition des Exponentials verwenden können, und dann kann sich der Hamilton-Operator durch jeden Term bewegen. Dann wirst du das sehen

H^{'} = H U U^{†} = H 1 = H

$H' = H UU^{\dagger} = H 1 = H$ Der Hamilton-Operator ist also bei Drehungen um die z-Achse invariant.

"Dies ist analog zum Basiswechsel für eine Matrix". Was ist hier mit „dies“ gemeint? Ich scheine nur eine Änderung der Darstellung für eine Matrix zu sehen.
Nun, wenn der Hilbertraum endlichdimensional ist, kann der Hamiltonian als Matrix und dann ausgedrückt werden $U$ ist einfach eine unitäre Matrix. Zum Beispiel, wenn Sie über Spin nachdenken $1/2$ Teilchen ist die Dimension 2 und eine Drehung um die x-Achse kann dargestellt werden durch $U(\varphi) = e^{-i/\hbar \varphi \hat{S}_x} = \begin{pmatrix}\cos(\varphi/2) & -i\sin(\varphi/2) \\ -i\sin(\varphi/2) & \cos(\varphi/2) \end{pmatrix}$ . Das ist einfach eine Rotationsmatrix (außer dass es jetzt ein komplexer Vektorraum ist).

ZeroTheHero · Answer 2

Wenn $U$ ein unitärer Operator ist, der auf Zustände in Ihrem Hilbert-Raum einwirkt und die betrachtete Operation (oder Operationen) darstellt $H$ ist invariant, wenn

H = U^{†} H U .

$H=U^\dagger H U.$ Wenn Sie vertreten

U

$U$ als Matrix derselben Dimension wie Ihr Hilbert-Raum

U

$U$ transformiert Ihre Basisvektoren in eine neue Basis und somit

U^{†} H U

$U^\dagger H U$ ist der in dieser neuen Basis ausgedrückte Hamiltonoperator.

Verwirrend ist, dass sich der Titel Ihrer Frage auf die Invarianz unter Drehungen bezieht, der Text sich jedoch auf Drehungen um die bezieht $\hat z$ Achse . Die Drehung um $\hat z$ sind tatsächlich eine Teilmenge aller möglichen Rotationen (es gibt Rotationen über $\hat x$ Und $\hat y$ , und tatsächlich Drehungen um Achsen in beliebige Richtungen.)

In dem Beispiel Ihres Textes dreht es sich um $\hat z$ sind (wahrscheinlich) abstrakt gegeben als $U(\theta)=e^{-i\theta L_z}$ . Nun ist die Exponentialfunktion eines Operators durch seine Reihe gegeben

e^{- ich θ L_{z}} = \hat{1} - ich θ L_{z} + \frac{1}{2} θ^{2} L_{z}^{2} + \dots

$e^{-i\theta L_z}=\hat 1-i\theta L_z +\frac{1}{2}\theta^2 L_z^2+\ldots$ so klar wenn

[L_{z}, H] = 0

$[L_z,H]=0$ dann dann

e^{ich θ L_{z}} H e^{- ich θ L_{z}} = H

$e^{i \theta L_z} H e^{-i\theta L_z}=H$ indem man beide exponentiell erweitert:

\begin{aligned} e^{ich θ L_{z}} H e^{- ich θ L_{z}} = H + ich θ [L_{z}, H] - \frac{1}{2} θ^{2} [L_{z}, [L_{z}, H]] + \dots \end{aligned}

$\begin{align} e^{i\theta L_z}H e^{-i\theta L_z}= H+i\theta[L_z,H]-\frac{1}{2}\theta^2 [L_z,[L_z,H]]+\ldots \end{align}$ (siehe diesen Teil von Wiki , obwohl nicht die am besten verdauliche Notation).

Umgekehrt, wenn $e^{i\theta L_z}H e^{-i\theta L_z}=H$ , dann muss es das sein (abgesehen von verschlungenen Beispielen, die in der Physik selten vorkommen). $[L_z,H]=0$ , mit dem Sie einen Betreiber identifizieren können, mit dem Sie pendeln $H$ . Natürlich, wenn $A$ Und $B$ pendeln mit $H$ , das bedeutet das nicht $[A,B]=0$ .

Schließlich, wenn Sie einen hermiteschen Operator haben $A$ so dass $[A,H]=0$ , dann können Sie die Transformation konstruieren $U(\alpha)=e^{-i \alpha A}$ und es wird mit pendeln $H$ . Dies ist sehr nützlich, wenn man einen solchen Operator leicht identifizieren kann. Dann $U(\theta)$ wird eine Änderung der Basis erzeugen, die gehen wird $H$ unverändert, dh es wird Transformationen erzeugen, die gehen werden $H$ unveränderlich.

Ein weiteres Beispiel wäre die Parität in einem symmetrischen Potential. Dann $P^\dagger H P=H$ seit $V(x)=V(-x)$ und der kinetische Term ändert sich ebenfalls nicht. Auf diese Weise können Sie Ihren Hilbert-Raum in gerade oder ungerade Lösungen unterteilen.

Der Unterschied zwischen Parität und Drehungen besteht darin, dass Drehungen stetig von einem Winkel abhängen, damit man schreiben kann $U(\theta)=e^{-i \theta L_z}$ für einige Einsiedler $L_z$ , während es für die Parität keine solche Exponentialform gibt. Mit anderen Worten, es ist nicht möglich, so etwas wiederherzustellen $L_z$ das pendelt mit $H$ für Parität, auch wenn $H$ ist unter Parität unveränderlich und Sie können den Hilbert-Raum immer noch in gerade/ungerade Sektoren unterteilen.

Was meinen wir, wenn wir sagen, dass ein Hamiltonoperator unter Drehungen unveränderlich ist?

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