Was genau ist eine virtuelle Verschiebung in der klassischen Mechanik?

Question

Was genau ist eine virtuelle Verschiebung in der klassischen Mechanik?

Gold

Ich lese Goldsteins Classical Mechanics und er sagt Folgendes:

Eine virtuelle (unendlich kleine) Verschiebung eines Systems bezeichnet eine Änderung der Konfiguration des Systems als Folge einer beliebigen unendlich kleinen Änderung der Koordinaten $\delta \mathbf{r}_i$ , die mit den Kräften und Zwängen übereinstimmt, die dem System zum gegebenen Zeitpunkt auferlegt werden $t$ . Die Verschiebung wird virtuell genannt, um sie von einer tatsächlichen Verschiebung des Systems zu unterscheiden, die in einem Zeitintervall auftritt $dt$ , während der sich die Kräfte und Beschränkungen ändern können.

Dann spricht er über virtuelles Arbeiten und so weiter. Nun, ich kann nicht begreifen, was diese Sache mit dem Virtuellen wirklich ist. In diesem Text gibt es einen Unterschied zwischen einer unendlich kleinen Änderung und einer virtuellen Änderung, und ich verstehe wirklich nicht, was diese virtuelle wirklich ist.

Auch dies basiert auf Infinitesimalen. Wie kann dies rigoros ausgedrückt werden, ohne sich auf Infinitesimale zu beziehen? Ich habe versucht, Spivaks Physik für Mathematiker zu lesen, wo er diese virtuellen Verschiebungen als Tangentenvektoren zu einer bestimmten Mannigfaltigkeit betrachtet, aber ich bin mir nicht sicher, ob dies die "Standard" -Methode ist, dies streng zu tun.

QMechaniker

Mehr zu virtueller Verdrängung . In Bezug auf Infinitesimals siehe physical.stackexchange.com/q/70376/2451 , physical.stackexchange.com/q/92925/2451 und darin enthaltene Links.

Antworten (4)

Was genau ist eine virtuelle Verschiebung in der klassischen Mechanik?

Mehr zu virtueller Verdrängung . In Bezug auf Infinitesimals siehe physical.stackexchange.com/q/70376/2451 , physical.stackexchange.com/q/92925/2451 und darin enthaltene Links.

JoshPhysik · Answer 1

Lassen $Q$ bezeichnen die Menge aller möglichen Konfigurationen des Systems (die Konfigurationsmannigfaltigkeit). Betrachten Sie einen Punkt $q_0\in Q$ . Um der konzeptionellen Klarheit willen und um mit der physikalischen Notation in Kontakt zu kommen, lassen Sie uns in einem lokalen Koordinatenfeld herumarbeiten $q_0$ .

Nehme an, dass $q_0$ stellt die aktuelle Position des betrachteten Systems dar $t_0$ . Zu einer bestimmten Zeit $t$ später wird das System an einer bestimmten Position sein $q(t)$ das wird durch die Evolutionsgleichungen (die Euler-Lagrange-Gleichungen, wenn wir die Lagrange-Mechanik machen) und die Menge bestimmt

\begin{aligned} q (t) - q (t_{0}) = q (t) - q_{0} \end{aligned}

$\begin{align} q(t) - q(t_0) = q(t) - q_0 \end{align}$ wäre die Verschiebung des Systems nach einiger Zeit

t - t_{0}

$t-t_0$ . Angenommen, wir betrachten stattdessen eine andere Kurve

γ (s)

$\gamma(s)$ im Konfigurationsraum, der an dem Punkt beginnt

s_{0}

$s_0$ ;

\begin{aligned} γ (s_{0}) = q_{0}, \end{aligned}

$\begin{align} \gamma(s_0) = q_0, \end{align}$ und nehmen wir an, wir berechnen die Verschiebung

\begin{aligned} γ (s) - γ (s_{0}) = γ (s) - q_{0} \end{aligned}

$\begin{align} \gamma(s) - \gamma(s_0) = \gamma(s) - q_0 \end{align}$ das würde sich ergeben, wenn wir uns entlang dieser anderen Kurve unserer Wahl bewegen. Wir nennen diese Verschiebung die virtuelle Verschiebung nach einer "Zeit"

s - s_{0}

$s-s_0$ entsprechend der Bewegung entlang der Kurve

γ

$\gamma$ . Es wird virtuell genannt, weil es die Verschiebung der Position des Systems ist, die auftreten würde , wenn sich das System entlang der Kurve bewegen würde

γ

$\gamma$ unserer Wahl - eine "virtuelle" Kurve im Gegensatz zu der "realen" Kurve, entlang der sich das System gemäß der Lagrange-Evolution des Systems bewegt.

Notiz. Wie Qmechanic in den Kommentaren vorgeschlagen hat, habe ich den Parameter verwendet $s$ für die virtuelle Kurve $\gamma$ Anstatt von $t$ um zu betonen, dass die Bewegung entlang dieser Kurve nicht der Zeitentwicklung entspricht, sondern jeder Kurve unserer Wahl.

Was ist nun mit virtuellen "unendlich kleinen" Verschiebungen? Denken Sie daran, dass sich der Begriff "infinitesimal" in der Physik im Wesentlichen immer auf Annäherungen "erster Ordnung" bezieht, siehe z. B. diesen SE-Beitrag:

Strenge Untermauerung von Infinitesimalen in der Physik

Wenn wir also über eine virtuelle infinitesimale Verschiebung sprechen , denken wir an die virtuelle Verschiebung $\gamma(s) - q_0$ , Taylor erweitert es auf erste Ordnung in $s$ , und Extrahieren nur des Terms erster Ordnung. Lass uns das machen:

\begin{aligned} γ (s) - q_{0} = γ (s_{0}) + \dot{γ} (s_{0}) (s - s_{0}) + Ö ((s - s_{0})^{2}) - q_{0} \end{aligned}

$\begin{align} \gamma(s) - q_0 = \gamma(s_0) + \dot\gamma(s_0) (s-s_0) + O((s-s_0)^2) - q_0 \end{align}$ Mit der Tatsache, dass

γ (s_{0}) = q_{0}

$\gamma(s_0) = q_0$ , sehen wir, dass die Taylor-Entwicklung der virtuellen Verschiebung ist

\begin{aligned} γ (s) - q_{0} = \dot{γ} (s_{0}) (s - s_{0}) + Ö ((s - s_{0})^{2}), \end{aligned}

$\begin{align} \gamma(s) - q_0 = \dot\gamma (s_0) (s-s_0) + O((s-s_0)^2), \end{align}$ und jetzt merken wir das erst mal rein

s

$s$ , die Größe der virtuellen Verschiebung wird durch den Koeffizienten von gesteuert

s - s_{0}

$s-s_0$ , nämlich

\dot{γ} (s_{0})

$\dot\gamma(s_0)$ . Mit anderen Worten, virtuelle infinitesimale Verschiebungen (was bedeutet, dass wir nur den Beitrag erster Ordnung beibehalten

s - s_{0}

$s-s_0$ ), werden durch den Geschwindigkeitsvektor der gewählten "virtuellen Kurve" bestimmt

s_{0}

$s_0$ . Aber wenn Sie einen Kurs in Differentialgeometrie besucht haben, dann wissen Sie, dass die Geschwindigkeiten von Kurven auf einer Mannigfaltigkeit einfach Tangentenvektoren zu dieser Mannigfaltigkeit sind !

So können virtuelle infinitesimale Verschiebungen mit Tangentenvektoren an die Konfigurationsmannigfaltigkeit verknüpft werden. Die Intuition, die wir hier im Hinterkopf behalten sollten, sagt uns, dass eine virtuelle Verschiebung uns nur sagt, wie weit wir uns von einem bestimmten Punkt auf der Mannigfaltigkeit entfernen würden, wenn wir auf einer bestimmten Kurve unserer Wahl reisen würden, die möglicherweise nicht mit der tatsächlichen Bewegung der zusammenfällt System bestimmt durch Zeitentwicklung. Der "infinitesimale" Teil und die Identifizierung dieses Teils mit Tangentenvektoren ergibt sich einfach aus der Betrachtung, was nur in erster Ordnung passiert.

Vielen Dank für Ihre Antwort, es ist jetzt viel klarer, woher der "virtuelle" Name kommt, aber ich habe einen Zweifel. Goldstein sagt, dass diese virtuellen Verschiebungen mit den Kräften und Einschränkungen übereinstimmen sollten. Das würde die Kurve nicht machen $\gamma$ genau die Lösung der Evolutionsgleichungen sein? Was meint er denn damit wirklich?
@ user1620696 Stellen Sie sich vor, Sie haben ein Partikel, das gezwungen ist, sich auf der Oberfläche einer Kugel zu bewegen, aber so, dass das Partikel ansonsten frei ist. Wenn das Teilchen an einem Punkt sitzt und Sie ihm eine Anfangsgeschwindigkeit geben, bewegt es sich entlang eines Teilchen-Großkreises (derjenige, dessen Tangente in der gleichen Richtung wie die Anfangsgeschwindigkeit liegt). Obwohl uns die Anfangsbedingungen sagen, dass sich das Teilchen in eine bestimmte Richtung bewegen wird, hätten wir in Betracht ziehen können, es in jede Richtung entlang einer Kurve zu schicken, die auf der Kugel liegt; dies würde immer noch mit den Beschränkungen übereinstimmen.
Vorschlag zur Antwort (v1): Wenn es um virtuelle Verschiebungen geht, nennen Sie den Kurvenparameter anders als $t$ , z.B $s$ oder $u$ (wie der Leser verwirren könnte $t$ mit der Zeit). Denken Sie daran, dass eine virtuelle Verschiebung zu einem eingefrorenen Zeitpunkt stattfindet.
@Qmechanic Ja, ich war auf dem Zaun, ob ich das tun sollte oder nicht, aber ich denke, du hast Recht; es könnte aus diesem Grund verwirrend sein, wie es geschrieben wurde. Ich werde die Schreibweise ändern. Danke für den Vorschlag.
(+1) Wirklich nette Erklärung. Aber es wäre viel schöner, wenn Sie ein einfaches Beispiel geben könnten, das helfen kann, die abstrakte Argumentation zu verstehen. :)
@HR Ich stimme zu. Ich werde versuchen, etwas Zeit zu finden und mir eine gute ausdenken.
Nach Ihrer Diskussion, wie können wir das dann ableiten $\delta \vec{x}_i := \sum_{k=1}^n\frac{\partial \vec{x}_i}{\partial q^k} \delta q^k$ ? Wollen Sie sagen, dass dies die Definition von virtueller Verdrängung ist!? :) Ich denke, dass in der von mir erwähnten Beziehung ein schwerwiegender Notationsmissbrauch vorliegt oder dass es eine schlechte Definition von virtueller Verschiebung gibt!
Wäre Kreisbewegung ein gutes Beispiel für virtuelle Verschiebung?

Floris · Answer 2

Kurz gesagt: Virtual Displacement ist „so tun, als würden Sie sich bewegen, aber nicht wirklich bewegen“. Mit anderen Worten – Sie bewegen sich um einen so kleinen Betrag, dass Sie den Zustand des Systems nicht ändern – aber es gibt Ihnen einen Einblick (durch geleistete Arbeit usw.), was passieren würde, wenn Sie sich bewegen würden.

Mit anderen Worten - wenn sich das System wirklich bewegt, können Sie ein Intervall betrachten $dt$ um zu sehen, wie wenig es sich in dieser Zeit bewegt hat. Das ist eine "infinitesimale" Bewegung. Mit virtueller Bewegung tun Sie so, als ob Sie sich vorbeibewegt hätten $dx$ - aber nicht weil das System in Bewegung ist, sondern sich nur vorstellen , dass Sie die kleinste Bewegung (in endlicher Zeit) gemacht haben - es gibt also keine Geschwindigkeit, $\frac{dx}{dt}=0$ )

„Tu so, als ob du dich bewegst, aber beweg dich nicht wirklich“. Mit anderen Worten - Sie bewegen sich um einen so kleinen Betrag " - wenn wir vorgeben, uns um eine größere Entfernung zu bewegen, wäre es dann keine virtuelle Verschiebung. Weil der Wikipedia-Artikel sagt " alle möglichen virtuellen Pfade " ...

Sahil · Answer 3

Sie können sich das ansehen. Es hat ausführliche Arbeiten zum Verständnis dessen, was virtuelle Verschiebung ist. https://www.researchgate.net/publication/2174249_On_Virtual_Displacement_and_Virtual_Work_in_Lagrangeian_Dynamics

Benutzer55944 · Answer 4

Soweit ich weiß, muss es sich um eine Verschiebung in verallgemeinerten Koordinaten handeln. Wenn es sich um orthogonale Raumkoordinaten handelt, sind sie nicht virtuell.

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