Okay, ich glaube ich habe es jetzt:

• Eine bestimmte Logik bestätigt das Gesetz der ausgeschlossenen Mitte (LEM) , wenn das Folgende ein Theorem in der Logik ist: p v nicht p

• Eine bestimmte Logik folgt dem Prinzip der Bivalenz (PB) , wenn jeder wohlgeformte Ausdruck gemäß der Logik genau einen Wahrheitswert hat: wahr oder falsch

Einige Semantiken können dazu führen, dass LEM wahr ist und PB nicht wahr ist. Betrachten Sie die folgende supervaluationistische Behandlung vager Prädikate. Eine Aussage wie z

Schiphol ist kahl

ist genau dann superwahr (superfalse), wenn unter allen (nicht) akzeptablen Präzisierungen des Prädikats "glatzköpfig" der Satz als wahr herauskommt. Eine Präzisierung hat die Form "... hat n Haare", wobei zB n = 0 akzeptabel ist, aber n = 10^6 nicht. Leider ist der obige Satz superwahr – was das Supervaluationist-Kriterium dafür ist, ihn als wahr zu akzeptieren.

Glücklichere Leute, wie zum Beispiel Andy, könnten nach einigen Präzisierungen kahl und nach anderen nicht kahl sein. Daher,

Andy hat eine Glatze

ist weder supertrue noch superfalse: Ihm fehlt laut Supervaluationismus der Wahrheitswert. PB ist daher falsch: Dieser Satz ist weder wahr noch falsch. Was passiert nun mit einem Satz der Form [ p v not p ], wie z

Andy hat eine Glatze oder Andy hat keine Glatze

Nun, solche Sätze werden für alle Präzisierungen wahr sein, denn entweder Andy hat n Haare oder er hat sie nicht, für alle n. Daher ist der Satz superwahr – das ist der Supervaluationist, der ihn als wahr akzeptiert. Seine Negation ("es ist nicht so, dass Andy kahlköpfig ist oder Andy nicht kahlköpfig ist") ist aus dem gleichen Grund superfalsch.

Dasselbe wird mit jedem anderen vagen Satz passieren: Die supervaluationistische Semantik validiert LEM. Supervaluationism ist eine Semantik, die LEM validiert, aber nicht PB.

Der Unterschied zwischen ausgeschlossener Mitte und Bivalenz:

Excluded Middle sagt , dass jede Aussage der Form P v ~P wahr ist

Bivalenz sagt, dass jede Aussage wahr oder falsch ist

und das ist alles, was sie geschrieben hat

(vergiss all die technischen Turniere)

Dies ist der erste Thread für die Diskussion:

In der Logik ist das Gesetz des ausgeschlossenen Dritten (oder das Prinzip des ausgeschlossenen Dritten) das dritte der sogenannten drei klassischen Denkgesetze. Es besagt, dass für jeden Satz entweder dieser Satz wahr ist oder seine Negation. Das Prinzip sollte nicht mit dem Prinzip der Bivalenz verwechselt werden, das besagt, dass jede Aussage entweder wahr oder falsch ist und nur eine semantische Formulierung hat.

^{Quelle: http://en.wikipedia.org/wiki/Law_of_excluded_middle}

Diese nachlässige Formulierung des Gesetzes vom ausgeschlossenen Dritten (für Sätze) ist leicht ungenau (dh falsch) – obwohl die Ursache der Ungenauigkeit (des Fehlers) sehr natürlich ist.

Das Gesetz der ausgeschlossenen Mitte für Aussagen sollte stattdessen lautet: Bei einem Vorschlag ist es entweder wahr oder es ist nicht wahr . Oder alternativ [bei einer zweiwertigen Logik, bei der die beiden Werte wahr und falsch sind ] Bei einer gegebenen Aussage ist sie entweder falsch oder nicht falsch . Abstrakter, aber präziser kann man es so ausdrücken: Jeder Satz hat entweder die Eigenschaft P oder nicht die Eigenschaft P .

Ein Gesetz der ausgeschlossenen Mitte für natürliche Zahlen lautet: Wenn eine natürliche Zahl gegeben ist, ist sie entweder gerade oder nicht gerade . Ein Gesetz der ausgeschlossenen Mitte für Tiere lautet: Jedes beliebige Tier ist entweder ein Wirbeltier oder kein Wirbeltier .

Wahrheit ist hier nicht der Punkt – noch ist es Falschheit . Stattdessen geht es um die logische Exklusivität, die (notwendigerweise) zwischen IST und IST NICHT gilt.

An dieser Stelle könnte es hilfreich sein, das Gesetz der ausgeschlossenen Mitte für Eigenschaften zu formulieren, das eine logische Wahrheit zweiter Ordnung ist: Bei gegebener Eigenschaft und gegebenem Individuum hat entweder das Individuum diese Eigenschaft oder es hat diese Eigenschaft nicht . [Bitte beachten Sie, dass es keine Rolle spielt, was das Eigentum oder was die Person ist.]

Das Gesetz des ausgeschlossenen Dritten für Eigenschaften ist eine logische Wahrheit , nicht nur ein logisches Gesetz der klassischen zweiwertigen Logik. [Es ist sehr wichtig zu erkennen, dass nicht jedes logische Gesetz eine logische Wahrheit ist.]

Das Prinzip der Bivalenz - obwohl ein Gesetz der klassischen (zweiwertigen) Logik - keine logische Wahrheit ist, weil es die gleiche logische Form wie einige (dh mindestens eine) Falschheit hat. Das Prinzip der Bivalenz besagt, dass jeder Satz entweder wahr oder falsch ist .

Dieser Satz (nennen Sie ihn, wenn Sie wollen, Prinzip) hat die gleiche logische Form wie die bekannte Unwahrheit Jede Zahl ist entweder ungerade oder eine Primzahl . Im scharfen Gegensatz dazu ist jede Aussage, die dieselbe logische Form hat wie die Aussage, dass jede Aussage entweder wahr oder nicht wahr ist (dh jede Aussage ist entweder wahr oder nicht wahr ), eine logische Wahrheit.

Die Unterscheidung, um die es hier geht, ist Experten bekannt, aber es ist eine eher technische (wenn auch ziemlich wichtige) Unterscheidung. Der Autor des Wikipedia-Artikels scheint zwar bewundernswert informiert, aber kein Experte zu sein. [Der Eintrag für das Prinzip der Bivalenz (der direkt auf den Anfangsfaden folgt) ist ebenfalls in mehrfacher Hinsicht vermasselt.]

Übrigens gibt es noch viele andere Themen, die bei solchen Themen wie diesem sehr häufig Verwirrung stiften. Insbesondere ist es notwendig, den Unterschied zwischen einer Proposition und einem Satz zu kennen/zu lernen. Zum Beispiel drückt der Aussagesatz Ich bin eine Frau eine Wahrheit aus, wenn meine Freundin ihn ausspricht, aber er drückt eine Falschheit aus, wenn ich ihn ausspreche. Und doch ist dies kein guter Grund zu behaupten, dass eine Aussage sowohl wahr als auch falsch ist.

Es kann hilfreich sein, ein Beispiel für eine Logik zu haben, bei der die ausgeschlossene Mitte nicht gilt. Die wohl bekannteste ist die Intuitionistische Logik, auch bekannt als Konstruktive Logik. Es wurde Anfang des 20. Jh. als Reaktion auf bestimmte (mathematische) Existenzbeweise formuliert, bei denen die Existenz bestimmter mathematischer Objekte gezeigt, aber keine Konstruktion angegeben wurde, was auf die Verwendung der ausgeschlossenen Mitte zurückgeführt wurde. Die Intuitionisten bestanden darauf, eine Konstruktion zu bekommen.

Es ist hier richtig zu sagen, dass nicht wahr=falsch ist. Aber es gibt noch andere Wahrheitswerte. Das Bivalenzgesetz gilt also nicht.

Es ist nicht richtig zu sagen, dass etwas gleichzeitig wahr und falsch sein kann. Das Widerspruchsgesetz gilt also.

beiseite: Während die klassische Logik mit Booleschen Algebren und Standardmengenlehre verbunden ist, hat die intuitionistische Logik eine assoziierte Heyting-Algebra und kategoriale Mengenlehre (Topos).

Hier ist die Frage nach dem Gesetz des ausgeschlossenen Dritten (LEM) und dem Prinzip der Bivalenz (PB):

Ich verstehe nicht genau, in welchen Situationen das eine oder andere Prinzip im Spiel ist, es scheint, dass sie zusammen auftreten können, aber nicht müssen. Kann mir jemand Beispiele geben und mir helfen, die Unterschiede zu verdeutlichen?

Andrea Iacona stellt in seinem Artikel „Zukunftskontingente“ eine Situation dar, die zeigt, warum man das eine oder andere ablehnen möchte .

Der Grund betrifft Aussagen über die Zukunft. Wenn ich heute sage: „Es wird morgen regnen“, dann besagt das Prinzip der Bivalenz, dass diese Aussage heute entweder wahr oder falsch ist . Aber wenn ich heute weiß, ob es morgen mit Sicherheit regnen wird , impliziert das nicht, dass auch der Determinismus (oder Fatalismus) wahr ist?

In dieser Situation steht der freie Wille des Menschen auf dem Spiel. Diejenigen, die den Determinismus nicht akzeptieren wollen, müssen ein plausibles logisches System schaffen, das entweder LEM oder PB (zumindest für eine Klasse von Aussagen) ablehnt, oder zeigen, dass sie zusammen nicht zu Determinismus führen.

Es gibt vier Möglichkeiten, vorausgesetzt, man möchte mit diesen Sätzen weiterhin deduktiv argumentieren. Nur drei davon hält Iacona für plausibel:

1. Weder Bivalenz noch ausgeschlossene Mitte Ein Beispiel dafür ist die dreiwertige Logik von Lukasiewicz. Einige Aussagen können einen unbestimmten Wahrheitswert haben. Dies erfordert jedoch auch die Ablehnung von LEM, denn wenn P unbestimmt ist, wie kann man dann sagen, dass das, was normalerweise die Tautologie P v ~ P ist, alles andere als unbestimmt und keine Tautologie mehr ist? Dieses Beispiel verbindet LEM und PB immer noch miteinander.
2. Ausgeschlossene Mitte ohne Bivalenz Dies ist "die plausibelste Lesart" von Aristoteles' Position. Es ist auch die Position des Überbewertungismus . Hier ist ein Beispiel, bei dem eine plausible Logik konstruiert wurde, die LEM, aber nicht PB akzeptiert.
3. Sowohl Biwivals als auch ausgeschlossene Mitte Dies ist eine Position, die beides akzeptiert, aber versucht zu argumentieren, dass Determinismus keine Folge davon ist. Es "wurde von von Wright (1984), Lewis (1986) und Horwich (1987) verteidigt.
4. Weitere Überlegungen Diese Option lehnt LEM, aber nicht PB ab. Obwohl dies auch ein Beispiel ist, bei dem diese beiden getrennt sind, betrachtet Iacona dies als nicht plausibel:

Die Debatte um zukünftige Kontingente sieht fast nie die Akzeptanz der Bivalenz mit der Ablehnung der ausgeschlossenen Mitte verbunden, weil die meisten Denker davon ausgehen, dass die Bivalenz mindestens so umstritten ist wie die ausgeschlossene Mitte.

Hier ist ein weiterer Teil der Frage:

Ich bin mir nicht ganz sicher, ob ich den Unterschied verstehe. Es scheint, dass „ausgeschlossene Mitte“ ein syntaktisches Problem ist und „Bivalenz“ ein semantisches Problem wäre. Ist das richtig? Außerdem scheint es, dass im Bereich der Bivalenz die Aussage, dass "P" falsch ist, nicht unbedingt bedeutet, dass "Nicht-P" wahr ist, was beim Prinzip der ausgeschlossenen Mitte der Fall wäre. Ist das richtig?

In der klassischen modernen Logik (nicht Aristoteles' alter Begriff Logik) gibt es keinen signifikanten Unterschied zwischen LEM und PB, wie diese Wahrheitstabelle zeigt:

Mit PB kann man die erste Spalte konstruieren, aber auch mit PB müssen die anderen Spalten entweder einen von zwei Werten annehmen: 'T' oder 'F'. Es gibt keinen dritten Wahrheitswert, den Lukasiewicz angeboten hat. Die Tautologie wird in den letzten vier Spalten durch wahrheitsfunktionale (semantische) Definitionen für die logischen Symbole generiert. Diese demonstrieren die Gültigkeit von LEM in der Tabelle.

Das bedeutet, dass der Unterschied zwischen LEM und PB, der das obige Problem des Determinismus vermeiden würde, nicht von der Semantik der modernen Aussagenlogik herrührt. Es wird auch nicht aus den syntaktischen Beweisen kommen, da sie auf der Grundlage dieser Semantik solide sein müssen. Um diese Logik zu modifizieren, muss so etwas wie die Option des Supervaluationismus genutzt werden.

Alternativ könnte man behaupten, dass die Klasse von Aussagen über die Zukunft von deduktiven logischen Argumenten ausgeschlossen werden müsste, weil PB auf sie nicht zutrifft. Sie dürfen nur in induktiven Argumenten zugelassen werden. Dies würde jedoch nur zugeben, dass LEM und PB zusammenpassen. Es ist keine Möglichkeit, sie zu trennen.

Iacona, A. Zukünftige Kontingente. Abgerufen am 1. Oktober 2019 von der Internet Encyclopedia of Philosophy unter https://www.iep.utm.edu/fut-cont/

Prinzip der ausgeschlossenen Mitte: "Ein Satz p und seine Negation ~p können nicht zusammen falsch sein."

Grundsatz der Widerspruchsfreiheit: „Ein Satz p und seine Negation ~p können nicht zusammen wahr sein.

Prinzip der Bivalenz: „Ein Satz ist entweder wahr oder falsch.“

PEM und PNC verbieten, dass eine Aussage und ihre Negation den gleichen Wahrheitswert haben.

PB verbietet, dass eine Aussage sowohl wahr als auch falsch oder weder wahr noch falsch ist.

Ich denke, das ist nicht ganz richtig, oder zumindest nicht ganz auf den Grund der Probleme. Ich bin kein großer Experte, aber so wie ich das sehe...

Das PBV ist nicht (afaik) Teil der Gesetze der Logik von A.

Das LEM wäre eine Bedingung für echte Widerspruchspaare, die erfüllt sein müssen, damit der dialektische Prozess richtig funktioniert und zwischen widersprüchlichen Sätzen entschieden werden kann. Das heißt, die LEM gilt überall dort, wo die zu testende Proposition die A-Regel für widersprüchliche Paare (RCP) erfüllt, die besagt, dass sie eine von einem Paar sein muss, von dem eines wahr und das andere falsch sein muss. Diese Regel wäre unantastbar.

All dies würde nichts für die Welt selbst bedeuten, über die Aussagen verschiedene Wahrheitswerte annehmen können, sogar halbwahr und halbfalsch sein können.

Sagen wir also, wenn Heraklit sagt: „Wir sind und sind nicht“, würde dies gegen die PBV verstoßen, aber nicht gegen die LEM. Es würde die LEM nicht verletzen, weil Heraklit nicht behauptet, dass entweder die Hälfte seiner Aussage wahr oder falsch ist, sondern dass die Wahrheit anderswo liegt. Seine Aussage erfüllt nicht die Anforderung des RCP, daher wäre das LNC/LEM nicht relevant.

So kommt es mir momentan vor. Dies wäre wichtig, weil es uns erlaubt, die Logik von A als Grundlage für eine Logik widersprüchlicher Komplementarität zu verwenden und diese Logik so mit der Weltanschauung von Heraklit und seinesgleichen in Einklang zu bringen. Wenn wir die LEM und die Regel für widersprüchliche Paare als mehr als ein formales Mittel betrachten, schränken wir unsere Weltanschauung ein.

Es wird „Excluded Middle“ genannt, weil es nichts zwischen diesen beiden Werten gibt: F und V. In der Fuzzy-Logik zum Beispiel gibt es etwas dazwischen: T wäre 1, F wäre 0 und es gibt eine Unendlichkeit von Werten zwischen 0 und 1 (0,1, 0,11, 0,23 usw.). Die Mitte auszuschließen bedeutet, alles wegzunehmen, was eine gemäßigte Position sein könnte, also ist es immer Ja oder Nein zu jeder Frage, die Sie vielleicht haben; niemals ein „mehr oder weniger“ oder „so so“: bist du schwarz? Ja. Sind Sie glücklich? Nein. Wenn dich jemand fragen würde, bist du reich, und du hättest geantwortet, so lala, würden sie sagen: Nein! Das ist keine AKZEPTABLE Antwort, Kumpel. Im Leben ist es entweder ein ABSOLUTES JA oder ein ABSOLUTES NEIN... Das ist die Welt der klassischen Logik, oder die Welt der AUSGESCHLOSSENEN MITTE... Bivalenz bedeutet zwei Werte, so dass es sich auf beliebige zwei beliebige beziehen könnte Werte. Wenn wir Prinzip der Bivalenz in der klassischen Logik sagen, dann bezieht es sich auf Falsch und Wahr oder 0 und 1. Sie könnten nicht die Mitte haben und immer noch drei Werte haben, also sagen Sie 0 0,5 1, aber nicht 0,3 oder 0,6. Doch in der klassischen Logik gibt es nur zwei, und deshalb sagen wir, dass in dieser Welt Bivalenz ein Prinzip ist. Beachten Sie, dass es das Gesetz des EM ist, aber das „Prinzip“ der Bivalenz. Das bedeutet wahrscheinlich, dass wir sicherer sind, nichts in der Mitte zu haben, als wenn wir nur zwei Werte haben, an denen wir uns festhalten können ... Ich habe gerade über das Prinzip der Widerspruchsfreiheit gelesen, das anders ist als das Ex-Falso, was eine Folge der Gesetze und Prinzipien von CL ist. In meiner Interpretation impliziert Bivalenz nicht den Ausschluss von Parakonsistenz, sodass wir immer noch 2 Werte gleichzeitig haben könnten, oder „die Tür ist offen“ wahr ist, und „ the door is open' ist zum gleichen Zeitpunkt falsch, und alles andere (Ceteris Paribus). Aus diesem Grund sollten wir ein Prinzip brauchen, das sagt: „keine Widersprüche akzeptiert“ oder ein Prinzip der Widerspruchsfreiheit. Damit würden wir Parakonsistenz ausschließen, so dass, wenn „die Tür ist offen“ wahr ist, „die Tür ist offen“ in Ceteris Paribus-Welten nicht falsch sein kann: es ist entweder das eine oder ohne Begleiterscheinung das andere.

Ich denke, der einfachste Weg, dies zu beantworten, besteht darin, eine Logik mit drei (oder mehr) (ausschließlichen) Wahrheitswerten zu betrachten. Sagen wir:

RICHTIG FALSCH UNDEFINIERT

Offensichtlich versagt die Bivalenz für diese Logik, da wir mehr als zwei Wahrheitswerte haben. Trotzdem ausgeschlossene Mitte hält. Beweis: Jeder Satz ist entweder wahr, falsch oder undefiniert. Aber wenn ein Satz falsch oder undefiniert ist, ist er damit nicht wahr. Also ist alles entweder wahr oder nicht wahr.

Anders ausgedrückt: Wenn Sie denken, dass alles entweder wahr oder nicht wahr ist, aber Sie glauben, dass es mehrere Möglichkeiten gibt, nicht wahr zu sein, dann haben Sie die Mitte ohne Bivalenz ausgeschlossen.

        **The Laws of Non-Contradiction, Excluded Middle, and Bivalence**

Das Gesetz der Widerspruchsfreiheit (LNC): ~ [X & ~X].

• Nichts kann sowohl sein als auch nicht sein.
• Ein Satz X und seine logische Negation ~X können nicht beide zusammen wahr sein.
• Eine Aussage X kann nicht gleichzeitig wahr und falsch sein.
• Die gemeinsame Bejahung von Widersprüchen wird verweigert!
• Etwas kann nicht gleichzeitig sein und nicht sein.

Das Gesetz des ausgeschlossenen Dritten (LEM): XV~X.

• Entweder ist eine Proposition X wahr oder ihre Negation ~X ist wahr.
• Es kann nicht sein, dass weder X wahr noch ~X wahr ist.
• Eine Aussage X kann weder wahr noch falsch (dh nicht wahr) sein.
• Ein Satz X und seine Negation ~X können nicht beide zusammen falsch sein!
• Ausgeschlossene Mitte schließt logischerweise die „gemeinsame Verweigerung von Widersprüchen (X, ~X)“ aus, auch „nor“-Operator genannt, der für weder – noch steht:

Das Gesetz der Bivalenz (LOB): X xor ~X

• Ein Satz kann nur einen Wahrheitswert tragen/tragen, wobei dieser Wahrheitswert entweder wahr oder falsch ist, nicht beides, und nicht keins von beiden!

• Ein Satz X und seine Negation ~X können weder zusammen wahr noch zusammen falsch sein.

• Ein Satz X ist entweder wahr oder falsch; wobei der „or“-Operator als Exklusiv-Oder zu verstehen ist, das sowohl die „and“- als auch die „nor“-Operationen der Widersprüche X und ~X logisch ausschließt:

• Die Konjunktion (die „und“-Verknüpfung) von X und ~X wird die „ gemeinsame Bestätigung “ der Widersprüche (X,~X) genannt, die die sowohl-als-auch-Option ergibt, die besagt: Sowohl X als auch ~X sind wahr. Daher schließt das Gesetz der Bivalenz diese Option aus: {dh „X ist wahr“ und „~X ist wahr“}. Daher wird die „gemeinsame Bejahung“ von X und ~X durch das Gesetz der Bivalenz verneint.

• Die „gemeinsame Leugnung“ der Widersprüche X und ~X ist die Weder-noch-Option , die besagt: „Weder X ist wahr noch ~X ist wahr“. Auch diese gemeinsame Verneinung ist durch das Gesetz der Bivalenz ausgeschlossen . Diese Weder-Noch-Option ist ein Ergebnis der "Noch"-Operation von Widersprüchen (X, ~X):

• [ X noch ~X ] = {' X ist falsch' und '~X ist falsch' };** dh " weder X noch ~X ist wahr ".

• Das Gesetz der Bivalenz schließt die Möglichkeiten aus, in denen ein Satz X und seine Negation ~X beide zusammen wahr oder beide zusammen falsch sind. Die gemeinsame Bejahung (sowohl-als-auch-Option) und die gemeinsame Verneinung (weder-noch-Option) von Widersprüchen werden durch das Gesetz der Bivalenz logisch ausgeschlossen.

                         **Comparing & Contrasting:**
  
                        **Non-Contradiction **(LNC)** *vs.* 
                          Excluded Middle **(LEM)** *vs.* 
                          Bivalence **(LOB)!****
  

Für eine Proposition X gibt es folgende Optionen:

• [ich]. X
• [ii]. ~X
• [iii]. Sowohl X als auch ~X
• [iv]. Weder X noch ~X

Jede Option kann wie folgt umformuliert werden :

[i] = 1, [ii] = 2, [iii] = 3, [iv] = 4:

• 1. X ist wahr
• 2. ~X ist wahr (dh X ist falsch)
• 3. X ist sowohl wahr als auch falsch
• 4. X ist weder wahr noch falsch

In der klassischen Logik sind die Optionen (3/iii) und (4/iv) verboten, dh logisch unzulässig / logisch ausgeschlossen.

• Die Optionen 3 und iii sind durch das Gesetz der Widerspruchsfreiheit ausgeschlossen .

• Die Optionen 4 und iv sind durch das Gesetz des ausgeschlossenen Dritten ausgeschlossen.

                 Law of Non-Contradiction (LNC): ~(X & ~X),
  
                 *where* & is logical conjunction ("and").
  

Das Gesetz des Nicht-Widerspruchs (LNC) besagt die folgenden logisch äquivalenten Aussagen:

• Es kann nicht sein, dass ein X und seine Negation ~X zusammen (gleichzeitig, gleichsinnig, gleichzeitig) wahr sind.

• Widerspruchsfreiheit schließt die gemeinsame Bejahung von X und seiner Negation ~X aus: das heißt, es kann nicht sein, dass sowohl X als auch ~X wahr sind.

• Wenn zwei Aussagen direkte logische Negationen voneinander sind (X, ~X), dann ist mindestens eine von ihnen falsch, einschließlich der Option, dass beide falsch sind, aber nicht beide wahr sein können.

• Ein Satz X und seine Negation ~X können nicht beide wahr sein.

• Widersprüche können nicht (dh ausgeschlossen oder ausgeschlossen) werden.

• Widersprüchliche Aussagen können nicht beide wahr sein.

• Nichts kann sowohl sein als auch nicht sein; das heißt, etwas kann nicht sowohl sein als auch nicht sein.

• Das Gesetz des Nicht-Widerspruchs (LNC) kann so umformuliert werden, dass es besagt: Eine Proposition X kann nicht sowohl wahr als auch falsch sein!

• Das Gesetz der Widerspruchsfreiheit schließt den Fall nicht aus, dass sowohl X falsch als auch ~X falsch ist!

• Das Gesetz der Widerspruchsfreiheit besagt, dass mindestens eines von X und ~X falsch ist, einschließlich der Option, dass sowohl X als auch ~X zusammen falsch sind, aber ohne die Option, dass X und ~X zusammen wahr sind.

• Von zwei Widersprüchen ist mindestens einer falsch; sie können beide falsch sein, aber sie können nicht beide wahr sein.

• Daher schließt das Gesetz der Widerspruchsfreiheit nur die gemeinsame Bestätigung eines Paares direkter logischer Negationen aus ("X ist wahr" und "~X ist wahr").

                 Law of Excluded Middle (LEM): X V ~X, 
  
               where V = inclusive disjunction ("or").
  

LEM besagt: entweder eine Proposition X ist wahr oder ihre Negation ~X ist wahr, wobei „oder“ einschließend ist – oder, dh LEM schließt die Konjunktion (X & ~X) ein.

LEM besagt, dass eine Aussage X entweder wahr oder nicht wahr (dh falsch) ist, wobei "oder" die Option beinhaltet, dass: "X sowohl wahr als auch nicht wahr (dh falsch) ist". Da das inklusive-entweder-oder (inklusive Disjunktion, „oder“) von X und ~X als Negation (~) der gemeinsamen Verneinung (weder-noch, „noch“) ausgedrückt werden kann: inklusive-entweder-oder = nicht -weder noch; deshalb:

• Ein Satz X und seine Negation ~X können nicht beide zusammen falsch sein.
• LEM besagt, dass es nicht der Fall sein kann, dass weder X wahr noch ~X wahr ist, was äquivalent wie folgt ausgedrückt werden kann: Eine Proposition X kann nicht weder wahr noch nicht wahr (dh falsch) sein.
• Die Weder-Noch-Operation der beiden folgenden Widersprüche: [X noch ~X]: das heißt, gemeinsame Leugnung von X und seiner Negation ~X.
• Die logische „nor“-Operation namens „Joint Leugnung“ von Widersprüchen (X, ~X)! Die gemeinsame Verweigerung von {'X ist wahr' und '~X ist wahr'} ist die Option, die besagt, dass weder X noch ~X wahr ist; das heißt (X ist falsch, ~X ist falsch). Leugnen von X bedeutet zu leugnen, dass X wahr ist, und bedeutet nicht nur, nicht zu akzeptieren, dass "X wahr ist" (dh ablehnen); ganz im Gegenteil, X zu leugnen bedeutet zu akzeptieren, dass seine logische Negation ~X wahr ist, was zu "X ist falsch" führt.
• LEM schließt den Fall nicht aus, dass sowohl X wahr als auch ~X wahr ist. LEM schließt Widersprüche nicht aus!
• LEM besagt, dass höchstens einer der Widersprüche X und ~X falsch ist.
• LEM gibt an, dass mindestens einer der Widersprüche X und ~X wahr ist.

LEM besagt, dass mindestens eines von X und ~X wahr ist :

• I. {X ist wahr und ~X ist wahr} wird durch Widerspruchsfreiheit (LNC) und Bivalenz (LOB) ausgeschlossen

• II. {X ist wahr und ~X ist falsch}

• III. {X ist falsch und ~X ist wahr}

• IV. {X ist falsch und ~X ist falsch} wird durch ausgeschlossene Mitte (LEM) und Bivalenz (LOB) ausgeschlossen

LEM gibt an, dass genau eines von X und ~X wahr ist und das andere falsch und umgekehrt, und schließt außerdem die Option ein, bei der beide wahr sind (Widerspruch), schließt jedoch die Option aus, bei der beide falsch sind (gemeinsame Verneinung).

Das Gesetz der Bivalenz (im Folgenden LOB) besagt, dass X entweder wahr oder falsch ist.

• Beachten Sie  , dass LOB keinen Negationsoperator (~) in seinem Ausdruck hat (im Gegensatz zu LEM! )
• Beachten Sie ferner, dass das Gesetz der Bivalenz ausgedrückt werden kann als: X oder ~X, wobei der „oder“-Operator als exklusives Oder zu verstehen ist (dh „xor“, auch als „(+)“ bezeichnet); daher: LOB kann deutlicher ausgedrückt werden als: X xor ~X.
• Eine exklusive Disjunktion [„xor“] von X und ~X wird auch „The Exclusive Disjunction of Contradictories (X, ~X): [X xor ~X]“ genannt : = LOB
• LOB schließt sowohl die „gemeinsame Bestätigung“ (dh X ist wahr UND ~X ist wahr) als auch die „gemeinsame Verneinung“ aus (dh X ist falsch UND ~X ist falsch).

Eine Proposition X und ihre Negation ~X bilden die folgenden Permutationen (Zeilen in der Wahrheitstabelle):

• {X ist wahr und ~X ist wahr} wird durch Widerspruchsfreiheit (LNC) und Bivalenz (LOB) ausgeschlossen
• {X ist wahr und ~X ist falsch}
• {X ist falsch und ~X ist wahr}
• {X ist falsch und ~X ist falsch} wird durch ausgeschlossene Mitte (LEM) und Bivalenz (LOB) ausgeschlossen

LOB besagt, dass genau eines von (X, ~X) wahr und das andere falsch ist.

• LOB gibt an {entweder "X ist wahr" oder "~X ist wahr"},
• und es kann weder [X noch ~X] sein,
• und es kann nicht gleichzeitig [X und ~X] sein!

Daher kann das Gesetz der Bivalenz (LOB) wie folgt umformuliert werden:

"Etwas ist weder noch oder beides, was es ist (X) und was es nicht ist (~X)".

Das Gesetz der Bivalenz schließt also die Optionen (3/iii) und (4/iv) aus, weil

LOB = LEM & LNC

das Gesetz der Bivalenz ist die Verbindung von ausgeschlossener Mitte und Nicht-Widerspruch!