Was ist der Unterschied zwischen Rotationsenergie/Drehimpuls und linearer kinetischer Energie/linearem Impuls?

Drehimpuls ist ein anderer Name als Impuls (auch bekannt als linearer Impuls ). Das liegt daran, dass der Drehimpuls eine andere Größe als der Impuls ist. Die Mengen beziehen sich auf

$$\vec{L}=\vec{r}\times \vec{p}.$$ Mit anderen Worten, $\vec{L}$ist das Kreuzprodukt des linearen Impulsvektors mit der Verschiebung, $\vec{r}$, des Teilchens von einem Bezugspunkt (z. B. O).

Beachten Sie, dass dies genau analog zu der Art ist, wie wir Drehmoment (oder Moment) definieren.$\vec{G}$, verwenden

$$\vec{G}=\vec{r}\times \vec{F}.$$ in der die Kraft, $\vec{F}$wirkt an einem von O um verschobenen Punkt $\vec{r}$.

Aber wenn Sie die kinetische Energie eines Teilchens berechnen, das sich um einen Punkt dreht, ist der Name dessen, was Sie berechnen, derselbe wie der Name dessen, was Sie für ein Teilchen berechnen würden, das sich in einer geraden Linie bewegt. Das liegt daran, dass die Größe, die Sie berechnen, dieselbe ist, obwohl Sie sie für das rotierende Teilchen in Form verschiedener Variablen ausdrücken könnten – wie Sie es in Ihrer Frage getan haben.

Beachten Sie, dass$\vec{L}$Und$\vec{G}$verwandt sind durch

$$\vec{G}=\frac{d\vec{L}}{dt}$$ Diese Gleichung ist analog zum zweiten Newtonschen Gesetz $$\vec{F}=\frac{d\vec{p}}{dt}$$ Ein schönes Anwendungsbeispiel $\vec{G}=\frac{d\vec{L}}{dt}$ist für Planeten, die die Sonne umkreisen. In sehr guter Näherung wirkt auf jeden Planeten eine Kraft, die zum Zentrum der Sonne gerichtet ist. So $\vec{G}=\vec{r}\times \vec{F}=0$, das heißt, der Planet hat kein Drehmoment um das Zentrum der Sonne. Deshalb $\vec{L}$ist konstant. Daraus folgt ganz leicht, dass die Umlaufbahn des Planeten auf eine Ebene beschränkt ist und dass eine Linie, die zwischen dem Planeten und dem Sonnenmittelpunkt verläuft, in gleichen Zeiten gleiche Flächen überstreicht (Zweites Keplersches Gesetz).

Sie sind anders.

$\vec{p}=m\vec{v}\ \ $Und$\ \ \vec{L}=\vec{r}\times\vec{p}$

Sie sind offensichtlich anders.

Und auch ihre Bedeutung ist unterschiedlich. Es könnte Ihnen helfen, über Teilchensysteme nachzudenken. Obwohl Sie Drehimpulse für einzelne Teilchen definieren können, ist der Drehimpuls besonders nützlich für Systeme von Teilchen, die rotieren können; besonders starre Körper.

Überprüfen Sie, dass ein sich drehender Ball kein Netz haben kann$\vec{p}$weil sein Schwerpunkt gleich bleibt. Es hat jedoch einen sehr deutlichen Drehimpuls, da einige ihrer Teilchen eine Geschwindigkeit nach Norden haben, andere nach Süden, andere nach Osten und so weiter. Alle mit entgegengesetzten Radien, so dass sie den Translationseffekt "aufheben", aber das Objekt rotiert.

Also die Tatsache, dass es Analogien zwischen Übersetzung gibt$\lbrace v, F, p, ...\rbrace$und Rotation$\lbrace \omega, \tau, L, ...\rbrace$bedeutet nicht, dass sie gleich sind.

Abschließend zu Ihrer letzten Frage müssen wir sagen, dass dies jedoch eine Möglichkeit ist, sie zusammenzufügen. Der Lagangsche/Hamiltonsche Formalismus verwendet "verallgemeinerte Koordinaten und Impulse". Das bedeutet, dass Sie als Koordinaten verwenden können, was Sie wollen:$x$,$y$,$x+y$,$r\omega$... Und daher können ihre zugehörigen Impulse (ihre zeitlichen Ableitungen) abhängig von den Koordinaten linear oder winklig sein.