Umwandlung der Winkelgeschwindigkeit in lineare Geschwindigkeit durch Reibung

Question

Umwandlung der Winkelgeschwindigkeit in lineare Geschwindigkeit durch Reibung

JCooper

Eine sehr grundlegende Frage hier; Es ist mit diesem verwandt , aber nicht ganz dasselbe.

Wenn ein rotierender starrer Körper (zur Diskussion eine Kugel) mit Masse $m$ , Radius $r$ und Trägheitstensor $I$ hat anfängliche lineare Geschwindigkeit $v_0=0$ und eine von Null verschiedene anfängliche Winkelgeschwindigkeit $\omega_0$ , was sind die idealisierten endgültigen Winkel- und Lineargeschwindigkeiten, wenn sich der Körper augenblicklich auf einer Oberfläche mit unendlicher Reibung und Masse befindet, vorausgesetzt $\omega_0$ parallel zur Oberfläche ist (und die Oberfläche keine Energie absorbiert, nichts durch Wärme verloren geht)?

Der Körper sollte am Ende mit einer konstanten Geschwindigkeit über die Oberfläche rollen. Also ich denke das wissen wir $v_f = r\times \omega_f$ mit $r$ antiparallel zur Flächennormalen. Offensichtlich muss der Trägheitstensor ins Spiel kommen, denn wenn die gesamte Masse auf der Außenseite des Körpers konzentriert ist, hat sie einen viel größeren Drehimpuls, als wenn sich die Masse hauptsächlich in der Mitte des Körpers befindet. Ich habe versucht, hier die Impulserhaltung zu verwenden, aber die Einheiten zwischen Drehimpuls und linearem Impuls stimmen nicht überein.

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Umwandlung der Winkelgeschwindigkeit in lineare Geschwindigkeit durch Reibung

Maxim Zholudev · Answer 1

Der Drehimpuls bleibt nicht erhalten, da eine äußere Kraft auf den Körper einwirkt - die Reibung.

Gemäß der Bedingung gibt es keinen Energieverlust, sodass Sie den Energieerhaltungssatz anwenden können. Da die Reibung unendlich ist, beginnt der Körper sofort zu rollen, ohne zu rutschen. Die anfängliche Rotationsenergie

E_{0} = \frac{ICH ω_{0}^{2}}{2}

$E_0 = \frac{I \omega_0^2}{2}$ wird zwischen Translationsbewegung mit Geschwindigkeit verteilt

v_{1}

$v_1$
und Drehung mit neuer Winkelgeschwindigkeit

ω_{1}

$\omega_1$ :

\frac{ICH ω_{0}^{2}}{2} = \frac{ICH ω_{1}^{2}}{2} + \frac{M v_{1}^{2}}{2}

$\frac{I \omega_0^2}{2} = \frac{I \omega_1^2}{2} + \frac{m v_1^2}{2}$

Die Geschwindigkeiten $v_1$ Und $\omega_1$ sollte dem Zustand des Rollens ohne Gleiten entsprechen:

ω R = v

$\omega r = v$

Das stimmt nicht, die Energie bleibt auch nicht erhalten, weil die Reibung Impulsarbeit verrichtet. Der Drehimpuls am Kontaktpunkt bleibt erhalten.
@RonMaimon, ja, der Translationsimpuls des Körpers ändert sich und der Impuls der Oberfläche ändert sich auch. Ein Teil der kinetischen Energie wird also auf die Oberfläche übertragen, aber ihre Masse wird implizit als riesig angenommen und dieser Energieverlust ist vernachlässigbar.
Energieerhaltung scheint richtig. Dies sollte für das funktionieren, was ich brauche (obwohl ich es in 3D brauche; also $\omega r$ muss sein $\omega \times r$ was bedeutet, dass ich ein bisschen spielen muss, um es zu lösen $v_1$ ). Danke.

Umwandlung der Winkelgeschwindigkeit in lineare Geschwindigkeit durch Reibung

JCooper

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Maxim Zholudev

Ron Maimon

Maxim Zholudev

JCooper

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