Was ist die genaue Beziehung zwischen OPE und Faktorisierung?

Ich möchte die Operatorproduktentwicklung (OPE) im Kontext einer relativistischen nichtkonform invarianten Theorie verstehen. Ich möchte die Frage allgemein stellen, aber was ich immer im Hinterkopf habe, ist QCD.

Zunächst möchte ich darauf hinweisen, dass ich mir bewusst bin, dass es im Allgemeinen kein Theorem gibt, das die Existenz oder Konvergenz oder irgendetwas der OPE garantiert. Das suche ich nicht. Ich suche nach einer genauen (funktionierenden) Definition des OPE und insbesondere seiner Beziehung zur Faktorisierung. Jeder Hinweis auf das Thema wäre sehr willkommen, da ich feststelle, dass das Thema überall, wo ich hinschaue, sehr mies behandelt wird.

Ok, beginnen wir mit den Aussagen. Nach meinem Verständnis ist die OPE nichts anderes als eine Möglichkeit, das Produkt zweier lokaler Felder zu definieren. Im mathematischen Jargon würden wir sagen, dass es eine Algebra definiert. Das heißt, wenn$A(x)$Und$B(x)$sind zwei beliebige lokale Operatoren, die aus den Feldfreiheitsgraden Ihrer Theorie und ihren Raumzeitableitungen aufgebaut sind, und mit lokal meinen wir nur das$A$Und$B$nur von einem einzigen Raumzeitpunkt abhängen, so die Vermutung

$$A(x)B(y)=\sum_nC_n(x-y)P_n(y)$$ So wird das OPE in Lehrbüchern dargestellt. Einige Vorbehalte. Üblicherweise wird das angegeben $x\to y$, wo nicht zu viel Sorgfalt darauf verwendet wird, genau anzugeben, was genau gemeint ist $x\to y$. Ich möchte dies gerne ausdrücken, indem ich annehme, dass es eine Nachbarschaft gibt $U$von $y$so dass x darin enthalten ist und $x\neq y$. Die Koeffizienten $C_n$werden geglaubt, um Verteilungen und die zu sein $P_n(y)$wären einige lokale Operatoren, die zufällig gut definiert sind. Es wird angenommen, dass diese Beziehung innerhalb von Klammern gilt. So weit, ist es gut. Das ist das, was die OPE im Moment für mich ist.

Nun ist die OPE normalerweise mit der Faktorisierung von Skalen verknüpft. Da wir sehr vage sind, führen wir eine Skala ein$\mu$die zwei Regime trennt oder faktorisiert, das IR und das UV. Nun wird üblicherweise gesagt, dass (im Zusammenhang mit QCD) der UV-Beitrag in die Koeffizientenfunktionen eingeht, aber dass der IR-Beitrag in den Kondensaten absorbiert werden kann (die Sandwich-Funktion).$P_n(y)$). Ich möchte dies verdeutlichen. Ich möchte verstehen, wie das im obigen Absatz dargestellte Bild zu dieser vage beschriebenen Faktorisierung führt. Ich sehe den Link überhaupt nicht, also was ist das?