Was ist die logische Form der Gültigkeitsdefinition?

Ihre Artikulation:

"Ein Argument ist gültig, WENN die Prämissen falsch sind oder die Schlussfolgerung wahr ist".

fehlt ein wichtiges Merkmal in der Definition des Lehrbuchs. Sie haben nämlich den Most verloren , aber der Most ist entscheidend.

Die Gültigkeit eines Arguments hängt nicht von der Wahrheit oder Falschheit seiner Prämissen oder der Wahrheit seiner Schlussfolgerung ab. Stattdessen betrachtet die Gültigkeit die Summe aller Operationen und Schlussfolgerungsregeln in einem Argument und bewertet sie im Lichte jeder möglichen Bedingung der Wahrheit und Falschheit jeder Prämisse und der Schlussfolgerung.

Betrachten Sie beispielsweise die folgenden zwei Argumente:

Argument 1
(1) If the moon is made of cheese, Kaguyahime lives there.
(2) The moon is made of cheese.
Therefore Kaguyahime lives there.

Dieses Argument ist für Ihre Definition gültig (mindestens eine falsche Prämisse). Und gültig nach der Must-Definition – wenn die Prämissen wahr sind, dann muss auch die Schlussfolgerung wahr sein.

Argument 2
(1) The moon is smaller than the sun
(2) The moon is not made of cheese
Therefore, Apollo 11 went to the moon

Dieses Argument ist gemäß Ihrer Definition gültig – es hat eine wahre Schlussfolgerung. Aber es ist kein gültiges Argument für die Lehrbuchdefinition. Wieso den? Weil es eine vorstellbare Menge von Variablen gibt, bei denen die Prämissen wahr sind und die Schlussfolgerung nicht (es ist nicht der Fall, dass die Schlussfolgerung wahr sein muss, wenn die Prämissen wahr sind).

WARUM?

Argument 2 kann umgeschrieben werden: (1) S (2) C (3) A

Nach den Grundregeln der Logik kann S entweder T oder F sein, C kann T oder F sein, A kann T oder F sein. Dies gibt uns 2^3 (8) mögliche Anordnungen dieser Variablen. Und eine davon ist diese: S ist wahr, C ist wahr und A ist falsch. Das bricht den Most

Daher ist Ihr Satz keine genaue Artikulation der Gültigkeit , da Sie die modale Betrachtung verloren haben.

Sie weisen auf den "kontraintuitiven" Aspekt der wahrheitsfunktionalen Definition des Konditionals hin :

wenn A , dann B

was äquivalent ist zu:

entweder nicht A oder B.

Aber es ist auch gleichbedeutend mit:

nicht ( A und nicht B ).

In diesem Fall lautet die Definition der logischen Konsequenz oder des gültigen Arguments :

„Ein Argument ist gültig, wenn es nicht möglich ist, dass die Prämissen wahr und die Konklusion falsch ist

das ist ziemlich "solide".

Ein Argument von den Prämissen P, P′, ... zu C ist gültig , falls (P ∧ P′ ∧ ...) → C eine logische Wahrheit ist .

Da → in Begriffen von Disjunktion & Negation definiert ist, wird dies nur dann der Fall sein, wenn ¬(P ∧ P′ ∧ ...) ∨ C eine logische Wahrheit ist . Dies ist nun der Fall, wenn eine beliebige Interpretation M entweder nicht alle von (P ∧ P′ ∧ ...) erfüllt oder C erfüllt. Dies ist eine sehr starke Definition, da die Feststellung der Gültigkeit eines Arguments erfordert, dass wir die feststellen logische Wahrheit des entsprechenden Konditionalsatzes, nicht einfach seine Wahrheit.

Um dies zu tun, müssten wir damit beginnen, etwas zu sagen wie "M sei eine willkürliche Interpretation von" unabhängig von der Sprache, mit der wir arbeiten, "so dass M P, P′, P′′, ... erfüllt". Das Ziel wäre dann zu zeigen, dass M auch C erfüllt. Wenn wir zeigen könnten, dass M C erfüllt, würde das bedeuten, dass alle Interpretationen, die die Prämissen erfüllen, C erfüllen , da wir nichts über die Natur von M angenommen haben.

Vergleichen Sie das mit dem Seltsamen:

( ! ) Ein Argument von den Prämissen P, P′, ... zu C ist nur dann gültig , wenn (P ∧ P′ ∧ ...) → C wahr ist .

Wäre das die Definition gewesen, wäre Gültigkeit ein sehr schwacher Begriff, denn um zu zeigen, dass (P ∧ P′ ∧ ...) → C wahr ist, würde es ausreichen, eine Interpretation zu finden , die entweder eines der Ps verfälscht oder C erfüllt !