Wie können Syllogismen mit widersprüchlichen Prämissen gültig sein?

Das Prinzip, auf das sich Ihre Frage bezieht, heißt Explosionsprinzip, oder manchmal wird der lateinische Ausdruck verwendet, ex contrainione quodlibet, was bedeutet, dass aus einem Widerspruch alles folgt. Es ist ein Merkmal der klassischen Logik und auch vieler anderer Logiken, wenn auch nicht aller Logiken. Logiken, die das Explosionsprinzip nicht haben, werden als parakonsistent bezeichnet .

Es gibt zwei Möglichkeiten zu sehen, warum das Explosionsprinzip gelten sollte. Einer ist, dass es durch einfache Regeln bewiesen werden kann. Angenommen, wir beginnen mit einem Widerspruch „A und nicht A“. Dann können wir wie folgt zu einer beliebigen Schlussfolgerung B gelangen:

1. A and not A        (assumption)
2. A                  (follows from 1)
3. A or B             (follows from 2 by addition)
4. not A              (follows from 1) 
5. B                  (follows from 3 and 4 by disjunctive syllogism)

Eine zweite Möglichkeit, das Explosionsprinzip zu demonstrieren, besteht darin, die Gültigkeitserklärung zu verwenden, die Sie in Ihrem ersten Satz zitiert haben. Ein Argument ist gültig, wenn es unmöglich ist, dass die Prämissen wahr und die Schlussfolgerung falsch sind. Eigentlich ist dies nur ein grober erster Versuch, die Gültigkeit zu erklären, und es gibt bessere Darstellungen, aber für unsere Zwecke reicht es aus. Wenn die Prämissen eines Arguments widersprüchlich sind, können sie unmöglich alle wahr sein, daher ist es a fortiori unmöglich, dass sie wahr und die Schlussfolgerung falsch sind.

Das Prinzip der Explosion erscheint Logik-Neulingen oft seltsam, aber wenn man einmal den Dreh raus hat, ist es kein wirkliches Problem. In der klassischen Logik sind keine Widersprüche wahr, daher kann ein Argument mit widersprüchlichen Prämissen niemals stichhaltig sein, dh es kann niemals sowohl gültig sein als auch wahre Prämissen haben. Man kann sich das Explosionsprinzip sogar als eine Art Zwangsjacke vorstellen, die die Regel erzwingt, dass keine Widersprüche wahr sind. Wenn ein Widerspruch wahr wäre, wären die Folgen katastrophal, weil alles folgen würde. Wir dürfen also niemals wahre Widersprüche zulassen.

Das Prinzip der Explosion ist auch in der Mathematik sehr nützlich. Angenommen, wir wollen beweisen, dass eine Theorie widerspruchsfrei ist. Eine widersprüchliche Theorie zieht einen Widerspruch nach sich und beweist schlagartig alles. Also durch Kontraposition, wenn es auch nur eine Formel gibt, von der gezeigt werden kann, dass sie nicht durch eine Theorie beweisbar ist, dann ist die Theorie konsistent. Dies wurde von einem klugen Logiker namens Gentzen verwendet, um die Konsistenz der Arithmetik zu beweisen.

• Indirekter Weg: Wenn Sie zeigen wollen, dass eine Argumentation nicht gültig ist, was tun Sie? Sie zeigen, dass es möglich ist, dass (1) alle Prämissen wahr sind und (2) gleichzeitig die Schlussfolgerung falsch ist. Könntest du das hier machen? Um (1) und (2) zu haben, müssen Sie (1) ? Können Sie zeigen, dass alle Prämissen wahr sein können? Nein, da einer von ihnen widersprüchlich ist, können natürlich nicht alle wahr sein, da einer von ihnen widersprüchlich ist. Fazit: Es gibt keinen möglichen Fall, in dem die Begründung nicht gültig ist.

Direkter Weg :

• Eine Begründung ist gültig, wenn die folgende Bedingung wahr ist:

Für alle möglichen Fälle/Situationen/Interpretationen ist die Schlussfolgerung wahr, wenn alle Prämissen wahr sind.

• „alle Prämissen sind wahr“ ist der Vordersatz des Satzes, der die Gültigkeitsprüfung ausdrückt.

• Aber: eine Wenn-Dann-Aussage ist automatisch wahr, wenn ihr Vordersatz falsch ist (siehe die Wahrheitstabelle des "Wenn ... Dann"-Operators"

• Da der Vordersatz „alle Prämissen sind wahr“ notwendigerweise falsch ist (aufgrund der Tatsache, dass eine der Prämissen widersprüchlich ist), ist die gesamte „wenn … dann“-Aussage in allen möglichen Fällen wahr.

• Dies ist erst recht ein Argument: Da es keinen möglichen Fall gibt, in dem eine der Prämissen wahr ist, gibt es a fortiori keinen möglichen Fall, in dem alle Prämissen wahr und die Schlussfolgerung falsch ist.

• Hinweis: Dies zeigt, dass Validität keine ausreichende Bedingung für eine gute Argumentation ist (obwohl sie notwendig ist, falls die Argumentation deduktiv ist) oder, mehr noch, dass Validität keine ausreichende Bedingung für eine gute Argumentation ist ein Beweis für irgendetwas sein; Offensichtlich kann eine Argumentation, die eine widersprüchliche Prämisse enthält, nichts beweisen, selbst wenn ihre Schlussfolgerung wahr ist (da ein Beweis auf wahren Aussagen beruhen muss).

Das System, in dem Sie arbeiten, hat einige Namen, von denen einer Begriffslogik ist . Begriffslogik ist nicht dasselbe wie klassische Logik und Sie müssen einige Entscheidungen treffen, wenn Sie sie studieren.

Die Schlussfolgerung, die Sie beschreiben, ist in der klassischen Logik gültig. Syllogismen werden häufig als Lehrmittel zur Einführung in die Logik erster Ordnung verwendet, da sie der natürlichen Sprache syntaktisch ähnlich sind. Es gibt jedoch mehr als eine Möglichkeit, die Begriffslogik zu interpretieren und mehr als eine Möglichkeit, sie zu analysieren.

This applebezieht sich auf genau einen bestimmten Apfel und kann daher nicht direkt vom syllogistischen Rahmen behandelt werden. Wir können es jedoch mit einem Universalumformulieren. Die Schlussfolgerung 1 + 1 = 2hat auch keine Darstellung in Begriffslogik, aber Sie verwenden sie als Beispiel für eine irrelevante Schlussfolgerung, also werde ich sie durch ersetzen all numbers are even.

P1: Every instance of this apple is red.
P2: No instance of this apple is red.
C:  All numbers are even.

Ob dieser Syllogismus gültig ist oder nicht, hängt von Ihrem Standpunkt ab.

Aus Sicht der modernen klassischen Logik ( klassische Logik erster Ordnung ) gilt dieser Schluss wegen ex falso quodlibet .

Da die Sprache der Begriffslogik jedoch so begrenzt ist, konnten Geschichtsphilosophen die gültigen Schlussfolgerungen niederschreiben, und es gibt einige Lücken, die aufschlussreich sind.

Beispielsweise ist der folgende Syllogismus gemäß der Semantik der modernen klassischen Logik gültig, wird jedoch nicht als gültiger Syllogismus aufgeführt.

All A are B.
All B are C.
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Some A are C.

Der folgende Syllogismus, der Ihrer Frage im Geiste ähnlich ist, wird ebenfalls nicht bestätigt (beachten Sie, dass die letzte Schlussfolgerung willkürlich ist).

All A are B.
No A are B.
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Some C are D.

Betrachten Sie den folgenden Syllogismus: P1: Dieser Apfel ist rot. P2: Dieser Apfel ist nicht rot. C: Also 1+1=2. Ist dieser Syllogismus gültig?

Nein natürlich nicht.

Dass die Konklusion nicht aus den Prämissen folgt, ist jedem logisch denkenden Menschen klar.

Ja, die mathematische Logik sagt, dass solche Argumente gültig sind, aber das zeigt nur, dass mathematische Logik zwar Mathematik ist, aber keine Logik.

Die mathematische Logik stützt sich auf eine redigierte Gültigkeitsdefinition, die so formuliert ist, dass sie mit der materiellen Implikation und dem sogenannten "Explosionsprinzip" kompatibel ist, das selbst definitiv kein logisches Prinzip ist und dennoch der mathematischen Logik immanent ist.

Die einzig wahre klassische Logik, nämlich die Syllogistik von Aristoteles, gründet auf der Vorstellung, dass es eine einzige Logik gibt. Das ist seit jeher die grundlegende Position der Logiker. Sogar George Boole dachte so. In seinem ersten Buch, das 1847 veröffentlicht wurde, sprach er von seinem Kalkül als einem Modell des „ deduktiven Denkens “, wobei jedes Element davon einem Element im „ menschlichen Intellekt “ entsprach.

Sein Modell war jedoch falsch, und zwangsläufig entwickelten bald verschiedene Mathematiker ihre eigenen alternativen Modelle, von denen keines die menschliche deduktive Logik korrekt modelliert. Aus diesem Grund behaupten Mathematiker heute, dass Logik willkürlich ist und dass es keinen Grund gibt, dass es nur eine Logik geben sollte, obwohl die Grammatik des Wortes „Logik“ selbst keinen Raum für Interpretationen lässt. Wir sagen "Logik", nicht "eine Logik" oder "Logiken", weshalb Mathematiker von "Systemen der Logik" sprechen müssen, um über die verschiedenen mathematischen Theorien zu sprechen, die als Logik (Logik 1. Ordnung usw.) dargestellt werden. Logik ist die einzige Logik des menschlichen deduktiven Denkens.

Das ist auch der Grund, warum ähnliche Fragen immer wieder auftauchen, und warum es so vielen Schülern schwer fällt, die materielle Implikation zu verstehen, und dass Lehrer mit einem trügerischen Argument argumentieren müssen, um die Schüler davon zu überzeugen, dass die materielle Implikation dennoch das richtige Modell von ist die Bedingung.

Die Gültigkeit des Syllogismus ergibt sich aus der von Ihnen richtig formulierten Gültigkeitsdefinition: "Ein Syllogismus ist gültig, wenn es unmöglich ist, dass die Prämissen wahr und gleichzeitig die Schlussfolgerung falsch ist." In "P1: Dieser Apfel ist rot. P2: Dieser Apfel ist nicht rot. C: Daher 1+1=2." es ist unmöglich, dass beide Prämissen wahr sind. Daher ist es unmöglich, dass die Prämissen wahr und die Schlussfolgerung falsch ist (weil es unmöglich ist, dass die Prämissen wahr sind). [(P^~P)=>Q] ist eine Tautologie. Weil eine Bedingung nur dann wahr ist, wenn der Antezedens wahr und die Konsequenz falsch ist, und der Antezedens dieser Bedingung (P^~P) niemals wahr sein kann.