Was ist die Navier-Stokes-Energiegleichung?

Ich versuche, die Grundlagen der Fluiddynamik und der Navier-Stokes-Gleichungen zu verstehen, indem ich dem kurzen Buch A Mathematical Introduction to Fluid Dynamics von Chorin und Marsden folge (ich bin angewandter Mathematiker, kein Physiker, also haben Sie bitte etwas Geduld mit mir . Ich war mir auch nicht sicher, ob diese Frage besser für MSE oder PSE geeignet ist. Ich habe mich für hier entschieden.)

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So wie ich es verstehe, um die drei wichtigen Größen in einem strömungsmechanischen Problem eindeutig zu bestimmen, die sind$\mathrm u$,$P$Und$\rho$benötigt man fünf Gleichungen – eine für jede Komponente von$\mathrm u$(die als einzelne Vektorgleichung geschrieben werden kann, was unsere Anzahl an Gleichungen auf 3 reduziert) und zwei weitere für die Skalare$P,\rho$. Um diese drei Gleichungen zu erhalten, benötigen wir drei physikalische Bedingungen. Sie sind

• Erhaltung der Masse
• Impulserhaltung
• Energieerhaltung

Diese drei Gleichungen möchte ich in möglichst allgemeiner Form herleiten. Was ich damit meine, ist unsere Flüssigkeit

• komprimierbar ($\nabla\cdot\mathrm u\neq0$)
• zähflüssig ($\mu,\lambda\neq0$)
• Wirbel ($\nabla\times\mathrm u\neq0$)
• Unterliegt thermodynamischen Effekten

Der einfachste Teil ist die Erhaltung der Masse. Eine kurze Herleitung soll zeigen, dass die Massenerhaltung mathematisch über die Kontinuitätsgleichung beschrieben werden kann,

$$\partial_t\rho+\nabla\cdot(\rho~\mathrm u)=0\tag{1}$$

Die Erhaltung des Impulses ist erheblich schwieriger, aber nach einiger Arbeit konnte ich schließlich dazu gelangen

$$\rho\frac{D\mathrm u}{Dt}=-\nabla P+\nabla\cdot \boldsymbol{\tau}+\mathrm{F}\tag{2A}$$

Wo,

• $D/Dt=\partial_t +\mathrm u\cdot\nabla$ist das materielle Derivat,
• $\mathrm{F}$bezeichnet alle äußeren Kräfte ($\mathrm{F}=0$in einem isolierten System),
• $\boldsymbol{\tau}$ist der deviatorische Spannungstensor a$(1,1)$Tensor

definiert als

$$\boldsymbol{\tau}=\lambda\mathbf{I}~\nabla\cdot\mathrm u+\mu\big(\nabla\mathrm u+(\nabla\mathrm u)^{\mathrm T}\big)$$ Wo$\mathbf I$ist die Identität,$\mu$ist die dynamische Viskosität, und$\lambda$ist die Volumenviskosität. Verwendung der Identität$\nabla\cdot(\nabla\mathrm u)^{\mathrm T}=\nabla(\nabla\cdot\mathrm u)$Wir können diese Gleichung erweitern, um zu erreichen

$$\rho(\partial_t\mathrm u+\mathrm u\cdot\nabla\mathrm u)=-\nabla P+(\lambda+\mu)\nabla(\nabla\cdot\mathrm u)+\mu\boldsymbol{\triangle}\mathrm u+\mathrm F\tag{2B}$$

Diese Gleichung ist auf Seite 33 des verlinkten Textes angegeben.

Allerdings entzieht sich mir die Energieeinsparung immer noch. Die NASA scheint eine veröffentlichte Formel zu haben, aber sie wird nur im Spezialfall der kartesischen Koordinaten angegeben, und ich hätte viel lieber eine koordinatenfreie Darstellung. Diese Seite gibt eine koordinatenfreie Beschreibung:

$$\partial_t\left[\rho~\left(e+\frac{|\mathrm u|^2}{2}\right)\right]+\nabla\cdot\left[\rho\mathrm u~\left(e+\frac{|\mathrm u|^2}{2}\right)\right]=\nabla\cdot(k\nabla T-P\mathrm u+\boldsymbol{\tau}\cdot\mathrm u)+\mathrm u\cdot\mathrm F+\mathcal{Q}\tag{3}$$

Aber sie bieten weder eine Herleitung noch erklären sie, was die Symbole sind$e,k,\mathcal Q$bedeuten. Meine Vermutung (?) ist das$k$ist eine Art Temperaturleitfähigkeit,$e$ist eine Funktion von Ort und Zeit und sagt etwas über die innere oder potentielle Energie aus, und$\mathcal{Q}$ist eine externe Wärmequelle. Habe ich recht? Und in den meisten Fällen würden wir es wissen$e(\mathrm r,t)$Und$T(\mathrm r,t)$wie gegeben, und müssen sie nicht lösen, richtig?

Wenn wir davon ausgehen, dass das Fluid keine thermische oder potentielle Energie hat , kann die Energie rein kinetisch geschrieben werden:

$$E_{\text{tot}}=\frac{1}{2}\int_{\Omega(t)}\rho(\mathrm r,t)~|\mathrm u(\mathrm r,t)|^2~\mathrm d\mu(\mathrm r)$$ Hier$\Omega(t)$ist die Region, die unsere Flüssigkeit zur Zeit einnimmt$t$. Mit dem Transportsatz kommt man zu $$\frac{\mathrm d E_{\text{tot}}}{\mathrm dt}=\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\int_{\Omega(t)}\rho |\mathrm u|^2\mathrm d\mu=\int_{\Omega(t)}\rho\mathrm u\cdot\frac{D\mathrm u}{Dt}\mathrm d\mu$$ Es scheint also, dass in diesem Fall eine ausreichende Einschränkung für die Energieerhaltung gegeben ist

$$\rho\mathrm u\cdot\frac{D\mathrm u}{Dt}=0\implies \mathrm u\cdot\big(\partial_t\mathrm u+\mathrm u\cdot\nabla\mathrm u\big)=0\tag{4}$$

Dies ist eine leicht modifizierte Form der bekannten Burgers-Gleichung.

Aber was ist, wenn es thermische und kinetische Energie gibt ? Was kann ich dann tun? Kann mir bitte jemand helfen, die Gleichung abzuleiten und zu verstehen$(3)$, und reduzieren Sie es auf$(4)$in einem besonderen Fall?

Vielen Dank.

BEARBEITEN: Definitionen für verschiedene Verwendungen des Symbols$\nabla$.

Wenn$\mathbf{T}$ist ein$(r,s)$Tensor, dann definiere ich die Komponenten von$\nabla \mathbf{T}$in einem Koordinatensystem mit Christoffel-Symbolen$\Gamma^i_{jk}$als (unter Verwendung der Einstein-Summierung)

$$( \nabla \mathbf{T})^{i_{1} \dotsc i_{r}}{}_{j_{1} \dotsc j_{s} \ k} =\begin{matrix} \partial _{k} T^{i_{1} \dotsc i_{r}}{}_{j_{1} \dotsc j_{s}}\\ +\Gamma _{lk}^{i_{1}} T^{l\ i_{2} \dotsc i_{r}}{}_{j_{1} \dotsc j_{s}} +\cdots +\Gamma _{lk}^{i_{r}} T^{i_{1} \dotsc i_{r-1} \ l}{}_{j_{1} \dotsc j_{s}}\\ -\Gamma _{j_{1} k}^{l} T^{i_{1} \dotsc i_{r}}{}_{l\ j_{2} \dotsc j_{s}} -\cdots -\Gamma _{j_{s} k}^{l} T^{i_{1} \dotsc i_{r}}{}_{j_{1} \dotsc j_{s-1} \ l} \end{matrix}$$

Ich definiere die Komponenten der Divergenz von a$(1,s)$Tensor$\mathbf{T}$als

$$(\nabla\cdot\mathbf{T})_{j_1\dots j_s}= (\nabla \mathbf{T})^i{}_{j_1\dots j_s~i}$$

Und schließlich definiere ich den Laplace-Operator von an$(r,s)$Tensor als

$$(\boldsymbol{\triangle}\mathbf{T})^{i_1\dots i_r}{}_{j_1\dots j_s}=g^{kl}(\nabla(\nabla\mathbf{T}))^{i_1\dots i_r}{}_{j_1\dots j_s~kl}$$

Wo$g^{ij}$ist der$i,j$te Komponente der inversen Metrik.