Was sind die wichtigsten Forschungsprogramme in zeitgenössischer Logik?

Kategoriale Logik ist von zeitgenössischem Interesse. Ein (elementarer) Topos ist eine Verallgemeinerung der Mengenlehre (ohne Auswahl), und seine interne Logik ist eine intuitionistische Logik höherer Ordnung.

Es hat auch einen geometrischen Charakter: Ein Bündel von Mengen ist ein Topos und ist äquivalent (was seinen geometrischen Charakter deutlicher offenbart) ein Etale-Bündel (Projektion ist lokal homöomorph).

Interessanterweise kann der Cohens-Force-Konstruktion dann eine geometrische Beschreibung gegeben werden. Auch wenn (das Axiom der ) Wahl durchgesetzt wird, dann zwingt es die Logik dazu, klassisch zu werden.

Glatte Topos modellieren die synthetische Differentialgeometrie, wobei die Tatsache, dass das Gesetz der ausgeschlossenen Mitte versagt, notwendig ist, um die infinitesimale Linie zu definieren.

Die Homotopie-Typentheorie ist eine neue Interpretation der intensionalen konstruktiven Typentheorie von Martin-Lofs. Als natürliche Logik der Homotopie ist die konstruktive Typentheorie auch mit der Vorstellung eines höheren Topos verbunden.

Während die Kategorientheorie als alternative Grundlage zur Mathematik ala ZFC von Lawvere diskutiert wurde, hat Vladimir Voevodsky ein neues Programm für eine umfassende, rechnerische Grundlage für Mathematik vorgeschlagen, das auf der homotopischen Interpretation der Typentheorie basiert.

Ein paar Qualifikationen. Mein Domänenwissen stammt hauptsächlich aus kontinentaler Arbeit und Beschäftigung mit mathematischer Logik; Ich würde vermuten, dass in analytischen Kreisen eine Menge neuer Forschungen im Gange sind, aber leider habe ich derzeit keine wirklich auf dem Radar, also müssen wir auf jemanden warten, der sich mit der Philosophie der Logik im Allgemeinen auskennt, um sich umfassender zu äußern darauf. Das sind dann eher Touchpoints in der zeitgenössischen Philosophie der Mathematik als Forschungsstränge in der Logik schlechthin. Es gibt einige berechtigte Kritik in den Kommentaren, die einige der folgenden Vorschläge in Frage stellen.

Um es ganz klar zu sagen: Die folgenden Vorschläge zielen hauptsächlich darauf ab, Sie ganz allgemein mit Philosophen bekannt zu machen, die zutiefst neugierig und aufmerksam auf Mathematik sind. Sie stellen keine aktiven Forschungsstränge in der zeitgenössischen Logik dar, können aber dazu beitragen, einige der richtig philosophischen Motivationen für das philosophische Studium der Mathematik bereitzustellen und Konzepte bereitzustellen, die zum Verständnis des Prozesses der mathematischen Forschung/Erfindung/Entdeckung hilfreich sind.

Alain Badiou könnte eine Untersuchung verdienen. Insbesondere empfehle ich Number and Numbers als Einführung in seine Philosophie der Mathematik; Beachten Sie, dass es auch einen sehr gründlichen, wenn auch eigensinnigen Überblick (und bis zu einem gewissen Grad vielleicht eine Synthese) der Arbeit und des Denkens einiger der wichtigsten Persönlichkeiten der zeitgenössischen Philosophie der Mathematik bietet – ich glaube, Cantor, Frege und Dedekind werden alle abgedeckt in gewisser Tiefe. Die Einleitung zu dieser Rezension dieses Buches bietet einige gute Beispiele dafür, wie zeitgenössische Philosophen mathematische Logik verwendet haben, um ihre philosophische Forschung voranzutreiben:

Donald Davidson verwendete Tarskis Wahrheitstheorie für formale Sprachen, um seinen Ansatz zur Semantik natürlicher Sprachen zu begründen. Die Modallogik wird häufig verwendet, um Probleme der Notwendigkeit, der Zeit oder des Glaubens zu diskutieren. WVO Quine machte die Reduzierung der Mathematik auf die Mengenlehre zu einem Paradigma der „ontologischen Verpflichtung“, so dass eine idealisierte Formalisierung der Naturwissenschaft die Entitäten identifizierte, die erforderlich waren, um sicherzustellen, dass die Theorie grundsätzlich „real“ war.

Gilles Deleuze hat ein wunderschönes kleines Buch mit dem Titel The Logic of Sense geschrieben , das von einigem Interesse sein könnte – es ist vielleicht überraschenderweise ein sehr unterhaltsames und fesselndes Werk, vollgepackt mit vielen wunderbaren „Paradoxien“ der Art, nach denen Sie in einem früheren Buch gefragt haben Frage . In einem anderen Buch seiner Differenz und Wiederholung befasst sich Deleuze mit den philosophischen Grundlagen des Kalküls, obwohl ich fürchte, dass das noch weiter entfernt sein könnte. Auf jeden Fall viel Glück beim Lesen (und vielen Dank für diese gute und interessante Frage!)

Einige weitere Touchpoints wären hier heute vielleicht erwähnenswert. Ein besonders wertvoller Text wäre die kürzlich veröffentlichte Übersetzung von Albert Lautmans Mathematics, Ideas and the Physical Real sowie ein weiteres Werk (das als geistiger Nachfolger verstanden werden könnte) Zalameas Synthetic Philosophy of Contemporary Mathematics . Beide Autoren haben ein großes Interesse daran, die Fäden der mathematischen Forschung sehr sorgfältig zu ihren eigenen Bedingungen zu verfolgen. Insbesondere Zalameas Arbeit könnte selbst als eine Art Überblick über bestimmte zeitgenössische mathematische Forschungsstränge betrachtet werden, wobei der Schwerpunkt auf der "höheren" Mathematik liegt und insbesondere Persönlichkeiten wie Grothendieck viel Zeit gewidmet wird.

Ihre Unterscheidung zwischen empirischer und abstrakter Logik ist wichtig. Mathematiker, die im 19. Jahrhundert an der Konzeption einer Methode der Logik arbeiteten, insbesondere Frege, waren im Wesentlichen und ausdrücklich von der Idee motiviert, dass eine geeignete Methode der formalen Logik dazu beitragen würde, die Strenge mathematischer Beweise zu verbessern, was zu dieser Zeit ein besonderes Anliegen war , zwischen den beiden Extremen von Abel und Weierstraß. Dies legt nahe, Logik als im Wesentlichen nicht willkürlich und daher als im Wesentlichen empirisch zu betrachten .

Und in der Tat mussten sich Mathematiker, die damals an einer Methode der Logik arbeiteten, auf den einzigen empirischen Beweis verlassen, der ihnen zur Verfügung stand, dh Aristoteles' Syllogistiktheorie, plus was andere Leute seitdem zu diesem Thema gesagt hatten, einschließlich anderer Mathematiker, sowie ihrer ihre eigene persönliche Intuition, welche Formeln als logische Wahrheiten akzeptiert werden könnten, um eine Methode des logischen Kalküls auszuarbeiten, die sie verwenden könnten, um die Strenge der Beweise zu verbessern.

Heute scheinen wir oberflächlich betrachtet eine ganz andere Perspektive zu haben, wobei Logik häufiger als im Wesentlichen ein mathematisches Objekt verstanden wird, wie es die Menge der reellen Zahlen ist, so dass Logik als die Methoden der Logik selbst betrachtet wird und nicht Mathematiker haben sich seit Frege ausgedacht. In dieser Perspektive wird Logik nicht mehr als eine im Wesentlichen empirische Wissenschaft angesehen, sondern als eine bunte Sammlung von Theorien, die zumindest im Prinzip als willkürlich angesehen werden und an denen Mathematiker eher als Studienobjekte arbeiten als als Methoden, mit denen sie sie verbessern könnten Strenge der Beweise.

In der Zwischenzeit verwenden und verlassen sich die Mathematiker selbst immer noch im Wesentlichen auf ihren eigenen, intuitiven Sinn für Logik, um Theoreme zu beweisen, und produzieren so etwas, das im Endeffekt als halbformale Beweise bezeichnet werden kann .

Die wenigen Beispiele für formale Logik, die heute zum Beweis von Theoremen verwendet werden, beruhen alle auf einer Variation von Gentzens „ natürlicher “ Beweismethode (erfunden zwischen 1929 und 1935), die im Wesentlichen eine moderne Verallgemeinerung von Aristoteles ist, eine Methode, die sich effektiv auf das Entscheidende stützt Verwendung sogenannter Schlußregeln, bei denen es sich um Formeln handelt, die alle im wesentlichen aus dem Satz von Formeln stammen, die in der aristotelischen Tradition seit langem als logische Wahrheiten anerkannt sind, mit wenigen Ausnahmen.

Daher stützt sich die gesamte derzeitige Praxis des mathematischen Beweises, sei es intuitiv oder unter Verwendung von Theorembeweisern wie Isabel in Deutschland und Coq in Frankreich, letztendlich immer noch buchstäblich auf die empirischen Beweise, die den Mathematikern zur Verfügung stehen, dass einige logische Wahrheiten offensichtlich wahr sind. Doch die grundsätzlich empirische Natur der von Mathematikern selbst praktizierten Logik wird heute wie immer seit Euklid zugunsten einer abstrakteren Vorstellung davon etwas aus dem Bild gestrichen.