Wenn ABR ein reiner Zustand ist, warum ist dann S(A,B) = S(R), wobei S die Von-Neumann-Entropie ist?

Für jeden reinen Zustand$S$dass Sie in zwei (möglicherweise verwickelte) Teile trennen$A$Und$B$, können Sie die Schmidt-Zerlegung verwenden, um den Zustand in die Form umzuschreiben:

$$S = \sum_k s_k |a_k\rangle |b_k\rangle$$

bei dem die$s_k$Skalare liegen zwischen 0 und 1 und haben Quadrate, deren Summe 1 ergibt$a_k$Vektoren stammen aus der$A$Teil, während sie zueinander senkrecht sind, und die$b_k$Vektoren stammen aus der$B$Teil, während sie senkrecht zueinander stehen.

Wenn Sie nachverfolgen$B$, die zueinander senkrecht$|b_k\rangle$Vektoren teilen den Zustand effektiv in den gemischten Zustand auf

$$S_A = \sum_k s_k^2 |a_k\rangle \langle a_k|$$

Ähnlich

$$S_B = \sum_k s_k^2 |b_k\rangle \langle b_k|$$

Mit anderen Worten, wenn man sich nur darauf konzentriert$A$Da ist ein$s_0^2$Wahrscheinlichkeit im Staat zu sein$|a_0\rangle$, A$s_1^2$Wahrscheinlichkeit im Staat zu sein$|a_1\rangle$, und so weiter.

Seit der$s_k$Werte definieren die Wahrscheinlichkeiten, und die Von-Neumann-Entropie ist eine Funktion der Wahrscheinlichkeiten, und beide Summen verwenden dasselbe$s_k$, die Entropie von$S_A$gleich der Entropie von ist$S_B$.

Es spielt keine Rolle, ob Sie über einen Reinigungsschritt einen insgesamt reinen Zustand herstellen oder verschiedene Entscheidungen treffen, wo die Trennung zwischen den beiden Teilsystemen platziert werden soll. Dies funktioniert für jeden reinen Zustand und jede Division.