Wie findet man Symmetrietransformationen?

Die Transformationen lassen sich im Wesentlichen aus Darstellungen von Lie-Algebren ableiten. Für den von Ihnen geschriebenen Lagrange beschreiben wir a$U(1)$Eichtheorie. Nicht reduzierbare Darstellungen von$U(1)$sind eindimensional und haben immer die Form$e^{i q \alpha}$Wo$q\in {\mathbb R}$. Per Definition ist dies eine Repräsentation und wirkt daher auf einem eindimensionalen Vektorraum als

$$\phi \to e^{i q \alpha} \phi$$ Wir können dieses Prinzip jetzt in der Physik anwenden, wo alles eine Funktion der Raumzeit ist, $\phi \to \phi(x)$, $\alpha \to \alpha(x)$. Sie können diese Schrift überprüfen $\phi = \frac{1}{\sqrt{2}} ( \phi^1 + i \phi^2)$reproduziert genau die Transformationen, die Sie geschrieben haben.

Die Verwandlung von$A_\mu$kann dann aus geometrischen Überlegungen abgeleitet werden. Lassen Sie uns dazu versuchen, einen Lagrange-Operator zu konstruieren, der unter den lokalen Eichtransformationen invariant ist

$$\phi (x) \to e^{i q \alpha(x)} \phi(x)$$ Das Erste, was zu tun ist, ist zu versuchen, einen kinetischen Term für den Skalar aufzuschreiben. Allerdings das Übliche, nämlich $\partial_\mu \phi \partial^\mu \phi$funktioniert nicht mehr, da es sich seltsamerweise unter Gauge-Transformationen transformiert. Der Grund ist natürlich, dass die Ableitung eines Feldes definiert ist als $$n^\mu \partial_\mu \phi(x) = \lim_{\epsilon \to 0} \frac{ \phi(x+ \epsilon n ) - \phi(x) }{ \epsilon}$$ Das Problem ist eindeutig, dass wir in der Ableitung eine Differenz von Feldern an verschiedenen Raum-Zeit-Punkten nehmen ! Da die Eichtransformation lokal ist, wirkt sie unterschiedlich auf die Felder an verschiedenen Raumzeitpunkten. Dies ist im Grunde das Problem. Um dem abzuhelfen, führen wir ein anderes Feld ein $W(x,y)$so dass $W(x,x) = 1$und unter Messgerät Transformationen transformiert als $$W(x,y) \to e^{i q \alpha(x) } W(x,y) e^{- i q \alpha(y) }$$ Wir können ein "neues Derivat" definieren als $$n^\mu D_\mu \phi(x) = \lim_{\epsilon \to 0} \frac{W(x,x+\epsilon n) \phi(x+ \epsilon n ) - \phi(x) }{ \epsilon}$$ Nehmen Sie die oben beschriebene Grenze und Sie werden genau die kovariante Ableitung reproduzieren, die Sie in Ihrem Lagrange haben wo $$W(x,x+\epsilon n) = 1 - i \epsilon n^\mu A_\mu + {\cal O}(\epsilon^2)$$ Sie können auch weiter überprüfen, ob die Spurumwandlung von $W$impliziert die spezifische Eichtransformation von $A_\mu$die du aufgeschrieben hast.

Somit können alle Eichtransformationen aus Argumenten wie oben "abgeleitet" werden. Beachten Sie auch, dass diese Diskussion leicht auf nicht-abelsche Eichtheorien verallgemeinert werden kann.

HAFTUNGSAUSSCHLUSS: ICH HABE DIE FAKTOREN VON NICHT VERFOLGT$e$UND ZEICHEN. BITTE BEHEBEN SIE SIE SELBST.