Wie kann ich die Gleichungen der klassischen Kontinuumsmechanik anpassen, um mit der Allgemeinen Relativitätstheorie übereinzustimmen?

Die gesuchte Antwort scheint in
Rezzolla & Zanotti: Relativistic Hydrodynamics (Oxford UP 2013)
https://books.google.com/books/?id=KU2oAAAAQBAJ enthalten zu sein

aber es ist keine triviale Verallgemeinerung. Zitat von Disconzi's On the well-posedness of relativistic viscous fluids (Nonlinearity 27 (2014) 1915, arXiv:1310.1954 ):

Uns fehlt immer noch eine zufriedenstellende Formulierung viskoser Phänomene innerhalb von Einsteins allgemeiner Relativitätstheorie. [... T]hier gab es verschiedene Vorschläge, was das Richtige ist$T_{\alpha\beta}$sollte sein. [... Versuche, eine viskose relativistische Theorie zu formulieren, die auf einer einfachen kovarianten Verallgemeinerung des klassischen (dh nicht-relativistischen) Spannungs-Energie-Tensors für die Navier-Stokes-Gleichungen basiert, haben ebenfalls keine kausale Theorie hervorgebracht.

Ähnliche Probleme bestehen für elastische Materialien.

Sie können sich auch Kapitel 15 ("Relativistische Kontinuumsmechanik") von Maugin's Continuum Mechanics Through the Twentieth Century (Springer 2013) und seine Referenzen ansehen:
https://books.google.com/books?id=-QhAAAAAQBAJ

und bei Bressan's Relativistic Theories of Materials (Springer 1978):
https://books.google.com/books?id=kMTuCAAAQBAJ

Die allgemein-relativistische Kontinuumsmechanik hat leider noch keinen klaren mathematischen und begrifflichen Rahmen bekommen. Die Newtonsche Kontinuumsmechanik lässt sich leicht zusammenfassen:

1. Wir wählen einen Referenzrahmen (vorzugsweise, aber nicht notwendigerweise träge).
2. Wir haben eine Reihe von 11 raumzeitabhängigen Feldern mit klarer physikalischer Bedeutung: Masse, Impuls oder Verformung, Spannung, Körperkraft, innere Energie, Wärmefluss, Körpererwärmung, Temperatur, Entropie, Entropiefluss, Körperentropiezufuhr. Von diesen repräsentieren die "körperlichen" Eingriffe von außen.
3. Wir haben 5 Bilanzgleichungen: Masse, Kraft-Impuls, Drehmoment-Drehimpuls, Energie, Entropie. Sie sind eindeutig in Bezug auf die obigen Felder geschrieben und gelten für alle Materialien.
4. Wir wählen eine Reihe unabhängiger Felder (normalerweise Masse, Impuls oder Verformung, Temperatur).
5. Wir wählen konstitutive Gleichungen (kompatibel mit den Ausgleichsgleichungen), die die verbleibenden Felder mit den unabhängigen in Beziehung setzen. Diese Gleichungen drücken die besonderen Eigenschaften (flüssig, fest, elastisch, plastisch, mit/ohne Gedächtnis...) des untersuchten Materials aus.

Und an diesem Punkt haben wir einen wohldefinierten Satz partieller Differentialgleichungen in einer Reihe unbekannter Felder, für die wir wohldefinierte Anfangs- und Randwertprobleme aufstellen können, die analytisch oder numerisch gelöst werden. (Ein erweiterter, aber analoger Rahmen nimmt Elektromagnetismus und Kontinua mit interner Struktur auf.)

Dieser Rahmen und diese Schritte sind sehr ordentlich – wir wissen genau, was die Felder sind, welche von ihnen abhängig und welche unabhängig sind; Welche Gleichungen gelten für alle Materialien und welche Gleichungen sind für jedes Material konstitutiv? Ich habe noch nie ein klar definiertes Verfahren wie das obige für die allgemeine Relativitätstheorie gesehen, obwohl ich glaube, dass es aus den Büchern von Rezzolla & Zanotti oder Bressan entnommen werden könnte. Darüber hinaus verwendet der Kern der allgemein-relativistischen Gemeinschaft einen anderen Jargon und eine andere Denkweise.

Die meisten Bücher über allgemeine Relativitätstheorie sagen Ihnen, dass die Einstein-Gleichungen alles bestimmen, aber sie sind nicht so klar darüber, welche Felder in ihnen unabhängig und welche abhängig sind; sogar Gravitation (Kap. 21) von Misner et al. enthält eine lange Diskussion und Erklärung zu diesem Punkt. Erst mit 3+1-Formulierungen und der Arbeit von Arnowitt, Deser, Misner, York und anderen in den 1970er Jahren wurde dieser Punkt geklärt. Dann sagen sie dir, dass wir „spezielle“ Zusatzgleichungen für den Spannungstensor brauchen – also konstitutive Gleichungen. Manchmal werden andere Erhaltungsgleichungen wie die baryonische Zahl (im Grunde Ruhemasse) ohne wirkliche Erklärung hinzugefügt. Dies ist eine Auswahl von Büchern, in denen "konstitutive Gleichungen" explizit erwähnt werden (in den meisten nur ein- oder zweimal):

• Rezzolla & Zanotti oben (und sie erklären, was eine "konstitutive Gleichung" ist, als wäre es ein exotisches Konzept)
• Choquet-Bruhat: Allgemeine Relativitätstheorie und Einsteins Gleichungen
• Anile & Choquet-Bruhat: Relativistische Fluiddynamik
• Bertotti et al.: Allgemeine Relativitätstheorie und Gravitation
• Pützfeld et al.: Bewegungsgleichungen in der relativistischen Gravitation
• Tonti: Die mathematische Struktur der klassischen und relativistischen Physik
• Bini & Ferrarese: Einführung in die relativistische Kontinuumsmechanik
• Tolman (offensichtlich): Relativitätstheorie, Thermodynamik und Kosmologie

aber sie bilden eine sehr kleine Minderheit in der riesigen relativistischen Literatur.

Dennoch kann man der allgemein-relativistischen Gemeinschaft nicht den wirren Begriffszustand und die irgendwie wirre Sprache des Subjekts vorwerfen. Die Newtonsche Kontinuumsmechanik kann heute sauber formuliert werden, weil sie über mehrere Jahrhunderte verfeinert wurde. Stattdessen ist die Allgemeine Relativitätstheorie noch sehr jung, und ihre konzeptionelle Verfeinerung ist noch im Gange. Einige der Schritte im Newtonschen Rahmen werden in der Allgemeinen Relativitätstheorie extrem kompliziert. Zum Beispiel: Schritt 1. (Wählen Sie ein Inertialsystem) kann nicht so einfach durchgeführt werden. Die aus Anfangsbedingungen entstandenen Einstein-Gleichungen konstruieren „nebenbei“ einen Bezugsrahmen , indem sie die Dynamik bestimmen. Dadurch entstehen eigentümliche Felder wie "lapse" und "shift", die nicht wirklich physisch sind,

Ein weiteres Beispiel: Die Metrik wird zu einer dynamischen Feldvariablen, und Sie stellen plötzlich fest, dass sie fast überall im Newtonschen Rahmen verborgen ist – Divergenzen, Locken, Vektoren/Kovektoren ... Daher kann ihre Entwicklung nicht einfach zwischen einem neuen Gleichgewicht und aufgeteilt werden konstitutive Gleichungen (wie wir es stattdessen mit Elektromagnetismus tun können). Sind alle seine Erscheinungen im Newtonschen System dynamisch signifikant? oder kann die Metrik an einigen Stellen eliminiert werden? Es gibt heute einige Forschungen zu dieser "Demetrisierung" der Newtonschen Gleichungen; siehe zum Beispiel Segev's Metric-independent analysis of the stress-energy tensor , J. Math. Phys. 43(2002) 3220. Diese Forschungslinie hat gezeigt, dass einige Newtonsche physikalische Objekte eigentlich keine Metrik benötigen: Sie werden durch Differentialformen und andere metrisch-freie differentiell-geometrische Objekte ausgedrückt (z. B. van Dantzigs Über die geometrische Darstellung elementarer Physical Objects and the Relations between Geometry and Physics , Nieuw Archief voor Wiskunde II (1954) 73; dazu gibt es eine umfangreiche Literatur, lassen Sie es mich wissen, wenn Sie weitere Referenzen wünschen). Dies ist noch in Arbeit – was bedeutet, dass offensichtlich noch nicht ganz klar ist, wie Masse-Energie-Impuls-Spannung und Metrik gekoppelt sind.

Abschließend denke ich, dass ein weiterer guter Ausgangspunkt, um zu verstehen, wie die Dinge in der allgemein-relativistischen Kontinuumsmechanik funktionieren, darin besteht, Bücher über numerische Formulierungen der allgemeinen Relativitätstheorie und Materiedynamik zu lesen. Der konzeptionelle Rahmen in ihnen ist etwas verwirrt, aber Sie können sehen, wie sie es tatsächlich tun . Wenn es Ihnen anhand der Praxis dieser Bücher gelingt, ein Framework wie das Newtonsche oben nachzukonstruieren, schreiben Sie bitte eine pädagogische Arbeit darüber!

Hier sind einige Bücher und Rezensionen zur numerischen Relativitätstheorie mit Kontinua:

• Rezzolla & Zanotti oben
• Gourgoulhon: 3+1-Formalismus in der Allgemeinen Relativitätstheorie (Springer 2012, arXiv:gr-qc/0703035 )
• Baumgarte & Shapiro: Numerische Relativitätstheorie (Cambridge UP 2010)
• Alcubierre: Einführung in die 3+1 Numerische Relativitätstheorie (Oxford UP 2008)
• Palenzuela-Luque & Bona-Casas: Elemente der numerischen Relativitätstheorie und relativistischen Hydrodynamik (Springer 2009)
• Lehner: Numerische Relativitätstheorie: eine Rezension , Klasse. Menge Grav. 18 (2001) R25, arXiv:gr-qc/0106072
• Guzmán: Einführung in die numerische Relativitätstheorie durch Beispiele , Rev. Mex. Fis. S 53 (2007) 78

Gerne gebe ich weitere Referenzen an oder suche nach weiteren Referenzen.

Wie Sie bereits erwähnt haben, ist der Schlüssel zu allen Modifikationen die Metrik, denn die Metrik ist alles, was Sie brauchen, um die Hintergrundraumzeit zu charakterisieren, sei sie flach oder gekrümmt.

Wenn Sie die abstrakte Indexnotation übernehmen, kann die Metrik geschrieben werden als$g_{ab}$, ein symmetrischer Tensor zweiten Ranges, der zwei Vektoren aufnimmt und einen Skalar ausgibt. Schauen wir uns nun einige allgemeine Beispiele für die Umwandlung von flacher in gekrümmte Raumzeit an, bevor wir uns mit der speziellen Bewegungsgleichung befassen, die Sie interessiert.

Die Erhaltung des Energieimpulses in der flachen Raumzeit für einen beliebigen Spannungsenergietensor$T$kann ausgedrückt werden als:

$$\partial_a T^{ab} = 0$$ wobei die Einstein-Summierungskonvention durch die Kontraktion über den Index impliziert wird $a$. Wie sieht diese Gleichung in gekrümmter Raumzeit aus? Beachten Sie nur, dass der partielle Ableitungsoperator nicht koordinatenunabhängig ist! Um das zu beheben, definieren wir den kovarianten Ableitungsoperator $\nabla_a$die so funktioniert: $$\nabla_a u^b = \partial_a u^b + \Gamma^b_{ca} u^c$$ $\Gamma^b_{ca}$wird das Christoffel-Symbol genannt und Sie können sehen, dass es eine Korrektur für den partiellen Ableitungsoperator bereitstellt, um ihn koordinatenunabhängig zu machen. Beachten Sie, dass in der flachen Raumzeit $\Gamma^b_{ca}$verschwindet und die kovariante Ableitung gleich der partiellen Ableitung ist. So, jetzt ist die Modifikation klar. Sie konvertieren einfach $\partial_a$zu $\nabla_a$und die Erhaltungsgleichung in GR lautet: $$\nabla_{a} T^{ab} = 0$$ Sie können diesen Prozess als Tensorisierung bezeichnen . Wann immer Sie eine Gleichung in flacher Raumzeit haben, wandeln Sie sie einfach in eine Tensorgleichung um, sodass sie sich ohne Krümmung auf Ihre flache Raumzeitgleichung reduziert. Es gibt einige zusätzliche Feinheiten in diesem Prozess. Es funktioniert nicht immer. (Siehe Kapitel 4 von Robert Walds Allgemeine Relativitätstheorie für eine Diskussion) Aber ich denke, diese Technik funktioniert für Ihre Gleichung, also wenden wir sie an:

$$\rho \ddot u = div(\sigma) + f$$

Sehen wir uns diese Gleichung Term für Term an. Der erste Term beinhaltet eine zweite zeitliche Ableitung, die von der Definition einer Koordinatenzeit abhängt. Um es zu straffen, ändern Sie es einfach in die richtige Zeit. Im zweiten Term ist die Divergenz in flacher Raumzeit definiert als:

$$div \sigma^{ab} = \partial_a \sigma^{ab}$$ In der gekrümmten Raumzeit wird es also einfach: $$div \sigma^{ab} = \nabla_a \sigma^{ab} = \frac{1}{\sqrt{-g}}\partial_a(\sqrt{-g}\sigma^{ab})$$ wo $g$ist die Determinante des metrischen Tensors $g_ab$.

Im dritten Semester$f$ist bereits ein Vektor, der koordinatenunabhängig ist. Also geht es dir gut. Somit lautet die endgültige Form:

$$\rho \frac{d^2}{d\tau^2} u^b = \nabla_a \sigma^{ab} + f^b$$

PS Als ich diese Antwort schrieb, wurde mir das klar$\rho$ist keine koordinatenunabhängige Größe. Die endgültige Form ist also wahrscheinlich falsch. Ich weiß nicht, wie die von Ihnen aufgestellte Gleichung hergeleitet wurde. Wenn Sie mir eine grundlegendere Gleichung geben, kann ich sie vielleicht korrigieren. Aber ich hoffe, die oben genannten Techniken können Ihnen helfen, es selbst herauszufinden!