Wie kombiniert man diese Zwangsgleichungen?

Ich möchte ein nichtholonomes System einer beliebigen rotierenden Scheibe in 3D modellieren, die ohne Schlupf rollt und nicht vertikal bleiben muss. (Stellen Sie sich vor, Sie drehen einen Penny auf dem Tisch) Ich möchte die Methode verwenden, die ich gerade von Lagrange-Multiplikatoren mit den Euler-Lagrange-Gleichungen gelernt habe, um das System zu lösen.

Ich kann das System bzgl. parametrieren$(x,y,\theta,\phi,\psi)$, und ich kann mehrere Zwangsgleichungen aufstellen, wenn ich zwei (oder drei, mit$(x,y)$paarweise ändern) ändern sich Variablen gleichzeitig und halten die anderen konstant. Ich benutze Mathematik, damit ich es mir leisten kann, unschöne Darstellungen und schmerzhafte Integrale zu haben.

ich wollte$(x,y)$die Position des Mittelpunkts der Scheibe in der horizontalen Ebene darstellt,$\theta$repräsentiert den Winkel aus$(x,y)$bis zu dem Punkt, an dem die Scheibe den Boden berührt,$\phi$repräsentiert den Winkel von der xy-Ebene zum tatsächlichen (x,y,z) Mittelpunkt der Scheibe (also, wenn$\phi=0$die Scheibe ist flach, und wenn$\phi=\pi/2$die Scheibe ist vertikal) und$\psi$den Winkel der Scheibe um die Achse senkrecht zu ihrer Fläche darstellt. Ich landete bei der folgenden linearen Transformation, die einen stationären Punkt im Raum der Scheibe in den Weltraum bringt:$T(x,y,r \sin(\phi)) R_{xy}(\theta)R_{xz}(-\phi) R_{xy}(\phi) \vec{v}$

(wo$T$ist eine Übersetzung,$R_{xy}$ist eine Drehung in der xy-Ebene usw.)

Das funktioniert einwandfrei und ich kann tatsächlich mit der kinetischen Energie in Bezug auf kommen$x,\dot{x}, y,\dot{y},\phi, \dot{\phi}$usw.

Wo also jetzt der nichtholomische Teil ins Spiel kommt, muss ich die Zwangsgleichungen finden. Die einzige Einschränkung ist Rollen ohne Rutschen. Ich kann Gleichungen mit partiellen Ableitungen finden (sagen wir, ich lasse x und y variieren, wenn ich mich verändere$\psi$und halten Sie alle anderen Variablen konstant), aber dies sind nur partielle Einschränkungen und stellen nicht die wahren Differentiale dar, die die Einschränkungen bestimmen. Wie finde ich die wahren Differenzen? Meine Gleichungssätze sind:

1 Drehen der Scheibe senkrecht zu ihrer Fläche (genau wie das Drehen eines Rades)

$\frac{\partial x}{\partial \psi} =-r \sin (\theta ), \frac{ \partial y}{\partial\psi }=r \cos (\theta )$

2 Drehen$\theta$, der Punkt, an dem die Scheibe den Boden berührt, ohne x, y oder zu ändern$\phi$.$psi$muss sich ändern gemäß:

$\frac{\partial\psi}{\partial\theta} =-\cos (\phi )$

3 Ändern des vertikalen Winkels der Scheibe,$\phi$, und dass der Ansprechpartner derselbe bleibt (sowie$\theta$,$\psi$Konstante),$x$und$y$muss sich ändern gemäß:

$\frac{\partial x} {\partial\phi} =-r \cos (\theta ) \sin (\phi ), \frac{ \partial y} {\partial\phi} =-r \sin (\theta ) \sin (\phi )$

Wie kann ich diese Gleichungen zu vollständigen Differentialen kombinieren, um sie in Lagrange-Multiplikatoren mit den Euler-Lagrange-Gleichungen zu verwenden?

Animierte Visualisierungen

Nur um zu zeigen, was die Parameter bedeuten und was die Beschränkungsgleichungen bedeuten, falls etwas technisch falsch ist:

(Die Animationen scheinen einzufrieren. Wenn sich eine nicht bewegt, versuchen Sie, sie auf einen neuen Tab zu ziehen.)

Anpassen der Parameter an der Transformationsgleichung:

Anwenden der partiellen Einschränkung 1 , um das Rollen ohne Rutschen zu visualisieren

Visualisierung der Teilbeschränkung 2

Einschränkung visualisieren 3

Hinweis: Ich bin ziemlich neu in der Lagrange-Mechanik, in Kapitel zwei der klassischen Goldstein-Mechanik, aber ich sehe keinen Grund, warum ich nicht alles, was ich gelernt habe (genau das, was ich erwähnt habe), auf dieses Problem anwenden kann.