Wie leitet man die Baryon-Oktett-Matrix ab?

Das Baryon-Oktett ergibt sich aus dem dreifachen Tensorprodukt des Tripletts,

$$\boldsymbol{3}\otimes\boldsymbol{3}\otimes\boldsymbol{3}=\boldsymbol{8}\oplus\dotsm\,,$$ (siehe auch hier ) wo man sich das Triplett als vorstellen kann $\boldsymbol{3}=(u,d,s)^T$. Das Oktett ist von gemischter Symmetrie - eine Möglichkeit, den Inhalt der Quarks explizit auszuschreiben, besteht darin, zuerst das Antitriplett zu konstruieren $\boldsymbol{3}\otimes\boldsymbol{3}=\bar{\boldsymbol{3}}\oplus \boldsymbol{6}$, das ist die antisymmetrische Kombination ( $\bar{\boldsymbol{3}}^i=\frac{1}{2}\epsilon^{ijk}\boldsymbol{3}_j\boldsymbol{3}_k$): $$\bar{\boldsymbol{3}}=\left([ds],[su],[ud]\right)\,.$$ Hier $[ds]=\frac{1}{2} (ds-sd)$. Jetzt wird das Tensorprodukt $$\bar{\boldsymbol{3}}\otimes\boldsymbol{3} =\begin{pmatrix}u\\d\\s\end{pmatrix}\otimes \left([ds],[su],[ud]\right)\big|_\text{traceless} = \left.\begin{pmatrix}u[ds] & u[su] & u[ud]\\d[ds]& d[su] & d[ud]\\s[ds] & s[su] & s[ud]\end{pmatrix}\right|_\text{traceless}\,,$$ woraus man den Quarkinhalt der Einträge ablesen kann. Der verbleibende knifflige Teil ist die genaue Identifizierung der Diagonalen, damit das Oktett spurlos ist und die Wellenfunktionen richtig normalisiert sind.

Die Symmetrie des Vollzustands ist wirklich komplizierter (Geschmack, Farbe, Spin, räumlich) und muss insgesamt antisymmetrisch sein, da die Quarks Fermionen sind. Auch der Farbzustand ist antisymmetrisch (also farblos gem$SU(3)_\text{colour}$). Daher muss der verbleibende Zustand im Geschmack symmetrisch sein$\times$drehen$\times$räumlicher Teil. Grundzustände haben einen Bahndrehimpuls$L=0$, also ist auch der räumliche Teil symmetrisch. Also Geschmack$\times$Der Spin muss symmetrisch sein.

Die Spur der obigen Matrix entspricht der vollständig antisymmetrischen Geschmackskombination von$uds$, also müsste der Spinzustand auch völlig antisymmetrisch sein, aber das ist nicht möglich - daher entspricht die Spur (Singulett) einem angeregten Zustand (mit Null-Isospin, dh etwas höher$\Lambda$). Jetzt müssen nur noch die beiden anderen Kombinationen auf der Diagonalen identifiziert werden. Anstatt auf die Details einzugehen, können wir hier die Tatsache verwenden, dass der Isospin$SU(2)$wirkt auf die ersten beiden Zeilen/Spalten in dieser Formulierung: Daher die$(33)$Eintrag hat$I=0$, während$(11)$Und$(22)$Teile sind Kombinationen von$I=0$(Singlet -- Einheitsmatrix in$(12)$-Leerzeichen) und$I=1$(Triplett - Diagonale$\sim\sigma^3$). Das Isosinglet heißt$\Lambda$, das Triplett ist$\Sigma^0$(Nun, der neutrale Teil des Tripletts mit$\Sigma^\pm$). Die totale Spurlosigkeit zwingt dann die Diagonale auf

$$\begin{pmatrix} a\Sigma^0 +b\Lambda &&\\&-a\Sigma^0 +b \Lambda&\\&&-2b\Lambda\end{pmatrix}\,,$$ und die Koeffizienten $a$Und $b$werden schließlich behoben, indem die Normalisierung erforderlich ist $$\operatorname{tr} B^\dagger B =1$$ für jedes Bundesland.