Wie leitet man E=(3/2)kTE=(3/2)kTE=(3/2)kT ab?

Dies folgt aus dem Gleichverteilungssatz . Das Äquipartitionstheorem besagt, dass im thermischen Gleichgewicht die durchschnittliche Energie jedes Freiheitsgrades (jeder unabhängige Weg, in dem sich das System bewegen kann) ist$k_B T/2$, Wo$T$ist die Temperatur und$k_B$(oder nur$k$) wird die Boltzmann-Konstante genannt . Es gibt drei unabhängige Richtungen, in die sich ein Gasteilchen bewegen kann (drei unabhängige Geschwindigkeitskomponenten), also die gesamte kinetische Energie$3\times k_B T/2$. Es ist wichtig zu wissen, dass dies eine statistische Formel ist, die nur durchschnittlich für eine große Anzahl von Teilchen im Gleichgewicht gilt: Jedes einzelne Teilchen kann tatsächlich eine davon abweichende kinetische Energie haben. Die Boltzmann-Konstante stellt eine Verbindung zwischen der mikroskopischen und der makroskopischen Welt her, indem sie die typischen durchschnittlichen Energien mikroskopischer Teilchen mit den Energien in Beziehung setzt, die erforderlich sind, um die Temperatur einer makroskopischen Masse um einen messbaren Betrag zu ändern.

Die obige Gleichung löst die durchschnittliche kinetische Energie eines gasförmigen Teilchens bei einer gegebenen Temperatur auf. k ist als Boltzmann-Konstante bekannt,$k_B = 1.3806503 \times 10^{-23}~\mathrm{\frac{m^2kg}{s^2K}}$und ist gleich der idealen Gaskonstante geteilt durch die Avagadro-Zahl,$\frac{R}{N_A}$.

Woher kommt also die Gleichung?

Die kurze Antwort: Die obige Gleichung leitet sich aus dem idealen Gasgesetz sowie der experimentell bestätigten Tatsache ab, dass 1 Mol eines beliebigen Gases bei STP ein konstantes Volumen einnimmt (gemessen als 22,4 l). Wir können diese Beziehung mit der Masse des gegebenen Teilchens verwenden, um zu beweisen, dass die durchschnittliche kinetische Energie nur proportional zur Temperatur des Gases ist.

Die lange Antwort: Diese Seite bietet eine ausführliche Herleitung der obigen Formeln.

Hoffe das hilft!

Ich habe mir die Notizen angesehen. Hier passieren mehrere Dinge, von denen einige nicht erwähnt werden. Wir müssen auch einige Annahmen treffen. Eine davon ist die durchschnittliche kinetische Energie eines Teilchens, das sich in eine Richtung bewegt$v$Ist$mv^2/2$, Wo$m$ist die Masse des Teilchens. Das ist nicht allzu schwer zu beweisen, aber das würde uns weit führen.

Eine andere Annahme ist, dass es eine durchschnittliche Energie pro Teilchen in einem Gas gibt und dass dieser Durchschnitt von der Temperatur abhängt. Durch ein ziemlich kompliziertes Argument kann man zeigen, dass die durchschnittliche Energie pro Teilchen ist$kT/2$, Wo$T$ist die absolute Temperatur in Kelvin und$k$ist eine Konstante, die als Boltzmann-Konstante bekannt ist.

Das Argument lautet dann wie folgt: Das Teilchen kann sich in drei unabhängige Richtungen bewegen. Das heißt, seine Bewegung wird seine ändern$x$,$y$, Und$z$Komponenten unabhängig. Also müssen wir unsere Formeln mit drei multiplizieren, was uns fast die Formel gibt, die Sie oben haben.

Der Unterschied ist der$v^2$Begriff. Das ist definiert als die Summe der durchschnittlichen Energien in den drei unabhängigen Richtungen,$v^2 = v_x^2 + v_y^2 + v_z^2$. Da alle Richtungen äquivalent und unabhängig sind, nehmen wir an, dass jede gleich zur Summe beiträgt. Daher$v^2 = 3v_x^2$, wo ich ausgewählt habe$v_x$Der Einfachheit halber hätte ich jede der verwenden können$v$'S.

Wenn wir alle Bits zusammenfügen, erhalten wir die obige Formel.

Wir können die ideale Gasgleichung und die Gleichung für adiabatische Prozesse verwenden, um dies zu berechnen. (Wir verwenden adiabat, da die Arbeit, die wir am Gas verrichten, in einem adiabatischen Prozess nicht thermisch nach außen übertragen wird, also geht alles an die innere Energie).

Wir finden die Arbeit allgemein für Gase mit

Wir führen nun das ideale Gasgleichungsgesetz ein,

Wir setzen dies nun in unsere Energiegleichung ein,

Das kommt aus der Statistischen Mechanik. Ich bin mir Ihres Hintergrunds nicht sicher, aber ich werde die Ableitung posten, die ich kenne. Wenn Sie erweitern müssen, wählen Sie ein Buch über statistische Mechanik wie Fundamentals of Statistical and Thermal Physics von Reif.

Um genau zu sein, die ganze Idee ist: Betrachten des klassischen Phasenraums$M$statten Sie es mit einer Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion aus$\rho : M\to \mathbb{R}$. Diese Wahrscheinlichkeitsdichte wird genau so verstanden, wie Sie vielleicht denken:

ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich das System in einem Mikrozustand befindet, der im Bereich von Ort und Impuls enthalten ist$A$.

Die Frage, die man dann zu beantworten versucht, lautet: Wenn man bedenkt, dass sich das System bei Temperatur im thermischen Gleichgewicht befindet$T$, was ist$\rho$?

Die Antwort, deren Herleitung in Reifs Buch zu finden ist, lautet (unter Berücksichtigung$M = \mathbb{R}^{6N}$Sein$N$die Anzahl der Teilchen)

mit$p = (p_1,\dots,p_N)$die Impulse der Teilchen,$q = (q_1,\dots,q_N)$ihre Koordinaten,$H$der Hamiltonoperator des Systems,$\beta = (k_B T)^{-1}$Und$Z$wobei der Normalisierungsfaktor die "Partitionsfunktion" genannt wird, gegeben durch

Beachten Sie auch das$p_i = (p_{ix},p_{iy},p_{iz})$Und$q_i=(q_{ix},q_{iy},q_{iz})$.

Was ist nun die Energie? Die Energie ist der Mittelwert von$H$, unter Berücksichtigung der Wahrscheinlichkeitsdichte$\rho$, mit anderen Worten:

aber das ist klar

daher

Jetzt denken Sie an$N$freie Teilchen gleicher Masse - also ein Gas. In diesem Fall ist der Hamiltonoperator gegeben durch$H(p,q) = \sum \frac{p_i^2}{2m}$- dh die Summe ihrer kinetischen Energien. Jetzt in diesem Fall zu finden$Z$ist einfach, weil die Integrale faktorisieren:

aber jedes Integral über die Koordinaten gibt nur das Volumen an$V$der Box, wo die Partikel sind, also haben wir

die drei Integrale sind identisch, also berechnen wir nur einmal mit dem bekannten Gaußschen Integral

Jetzt rechnen$E$

Das ist genau$E = \dfrac{3N}{2} \beta^{-1}$oder aber

was für ein einzelnes Teilchen Ihr Ergebnis ergibt.

In der molekularen Untersuchung eines geschlossenen Behälters erhalten wir zunächst durch Verwendung der ersten Bewegungsgleichung "a = Vf / t" als anfänglich Vi = 0. Dann können wir die Kraftformel eingeben, um F = m (vf / t) zu erhalten. Verwenden Sie jetzt die zweite equ, der Bewegung erhalten wir "d=1/2at^2" als Vi=0

Geben Sie nun die Formel für die geleistete Arbeit ein, um "W = 1/2mVf ^ 2 " zu haben, da die geleistete Arbeit dieselbe wie KE ist, also E (k, E) = 1/2 mVf ^ 2, und verwenden Sie nun das Verhältnis der Mittelmasse (in Bezug auf die Geschwindigkeitsausdrückung ) m1V1+m2V2=(m1+m2)Vcm , wobei Vcm die Geschwindigkeit des Massenmittelpunkts zweier Körpersysteme m1 und m2 ist ... Da wir wissen, dass Momentum(P)= mV2 ist, haben wir P1+P2=(m1 +m2)Vcm als m1=m2=m (da Moleküle die gleiche Masse haben), also betrachten wir gemäß dem Gesetz der Impulserhaltung P=P1+P2 P=2mVcm nur die Bewegung der X-Achse, also können wir schreiben P=2mVx AS Kraft ist Verhältnis von Impuls und Zeit
Aus der obigen Beziehung können wir also sagen F = 2mVx / t .... (Alpha) wir können t = 2L / Vx ...... (Beta) erhalten, indem wir berücksichtigen, dass das Molekül eine Distanz von 2 L in der Zeit t mit der Geschwindigkeit Vx zurücklegt. .. Putting (Beta) in (alpha) F=mVx/2L/Vx .....=> F=mVx^2/L Nun wäre der Ausdruck der Gesamtdurchschnittsgeschwindigkeit V^2=Vx^2+Vy^2+ Vz^2 Lassen Sie Partikel dieselbe Geschwindigkeit in allen Achsen haben, also V^2=Vx^2+Vx^2+Vx^2 Oder wir können V^2=3Vx^2 sagen, aus dieser Gleichung können wir Vx^2=1 erhalten /3V^2 und diese Gleichung für die Anzahl N von Partikeln kann geschrieben werden als F=mNV^2/3AL .... (GaMMA) Wobei A die Kraftfläche des Gasbehälters für das Volumen der geschlossenen Kammer ist, in der sich Moleküle befinden (da es sich um eine rechteckige Kammer vom Würfeltyp handelt), sollte sein VOlume also Fläche * Länge sein, also Vp = (mNV ^ 2) / 3 Wo wir Vp aus AL der Gleichung (GaMAA) erhalten haben. Jetzt multiplizieren und dividieren durch 2 erhalten wir PV = (2/3)(N)(1/2mV^2) .'. Da KE = 1/2mV^2 ist, ist PV=(2/3)(N)K. E Wir wissen aus der idealen Gasgleichung .'. PV=nRT nRT=(2/3)(N)KE Daraus können wir KE=3/2nRT/N erhalten Für Einheitsmol des Gases n=1 und gemäß BOLTZMAN R/N=K also KE= (3/ 2) KT

Die "3" kommt von der Entropie (und damit$k$) in Abhängigkeit von 3 verschiedenen möglichen Richtungen für den Impuls, der die Energie hält.

Vielleicht das$1/2$hat etwas mit der durchschnittlichen Entropie beim Anheben der zu tun$v$aus$0$Zu$v$. Oder versuchen, Schwung zu bekommen$mv$von Energie über$mv (v/2)$.

$k$ist ein Umrechnungsfaktor von Temperatur zu Energie. Insbesondere ist es die Steigung der Temperatur über der Wärmeenergie, die entfernt wird, wenn Sie von aus gehen$Q$Energie zu$0$(oder$T$Zu$0$).