Wie passen mathematische Objekte in Platons Ideentheorie?

Angenommen, ich beschreibe ein Dreieck ABC mit allen Seiten gleich - und ich beschreibe ein anderes Dreieck EDF mit ungleichen Seiten.

Diese Dreiecke, die ich gerade beschrieben habe, existieren nicht in der sichtbaren Welt, sondern nach meinem Verständnis in der verständlichen Welt. Wir identifizieren sowohl ABC als auch EDF als Dreiecke, aber wir identifizieren ABC als gleichseitiges Dreieck und EDF als ungleichseitiges Dreieck. Ich habe einige Ideen identifiziert: nämlich die Idee des Dreiecks, die Idee des gleichseitigen Dreiecks und die Idee des ungleichseitigen Dreiecks.

Ich habe Mühe zu verstehen, wie Platons Ideentheorie für mathematische Objekte funktioniert, wenn man bedenkt, dass sie überhaupt nicht in der Welt der materiellen Dinge existieren, sondern in der verständlichen Welt, die den Menschen nur durch Vernunft zugänglich ist. Wenn ich von einem Dreieck mit bestimmten Seitenlängen spreche, beschreibe ich mit diesen Seitenlängen eine bestimmte Idee? Offensichtlich gibt es eine Art Hierarchie, vielleicht so:

Idea of Triangle -> Idea of Scalene Triangle -> Idea of 3-4-5 triangle -> (Geometer's conception of 3-4-5 triangle)?

Was ich suche, ist eine Klärung, wie mathematische Objekte in Platons Theorie der Ideen passen. Ich habe den Eindruck, dass Plato Geometer hoch einschätzte, also gibt es vielleicht einen spezifischen Kommentar dazu (ich verstehe, dass dies etwas zu tun hat mit Dianoia)? Ich interessiere mich aber auch dafür, wie Hierarchie in der Theorie der Ideen im Allgemeinen für nicht-mathematische Objekte zu lernen.

Die "intelligible Welt", auch bekannt als platonisches Reich, ist laut Platon nicht im Kopf, sondern eine objektive ewige Welt idealer Wesenheiten, die für alle gleich sind. In seinen eher mythischen Momenten (Meno, Phaedo) beschreibt Plato, wie unsere Seelen vor der Geburt dort wohnen, alles vergessen, wenn sie bei der Geburt in die sinnliche Welt geworfen werden, und es dann wieder vergessen, wenn sie von den sinnlichen "Schatten" dazu aufgefordert werden, die ihr Ideal "nachahmen". Prototypen. Abgesehen vom Mythos behauptet Platon, dass es eine separate Welt mathematischer Objekte gibt, Mathematiker greifen auf sie über eine Art Denkvermögen zu, und die sinnliche Welt ist ihre unvollkommene Kopie.
Eine der zentralen Diskussionen in Platons Dialogen ist die „geteilte Linie“: siehe Republic, Bk.6, 509d . Für Kommentare: N. Pappas, Plato's Republic (2013), Seite 169 und S. Rosen, Plato's Republic: A Study (2005), Seite 263.
@Conifold Für die verständliche Welt, die im Wesentlichen existiert, haben Sie absolut Recht, in meiner Schläfrigkeit habe ich meine Gedanken nicht richtig formuliert, ich werde sie für zukünftige Besucher ändern, danke für die Erweiterung. Könnten Sie für den zweiten Punkt eine explizite Textreferenz angeben?
Platons Konzept der idealen objektiven realen Welt jenseits der fehlbaren materiellen Welt ist hauptsächlich durch mathematisches Denken motiviert. Dinge wie die abstrakte Vorstellung eines Kreises sind die wirklich realen Dinge, die unsere dürftigen Versuche, in der physischen Welt zu erschaffen, nie genau erreichen. Das mathematische Objekt ist realer als die Annäherung in einer Zeichnung oder Skulptur.
@Mitch Ja, aber wenn wir über einen bestimmten Kreis in der Mathematik sprechen, beziehen wir uns dann auf die Idee des Kreises X? Oder ist es eine Art Beispiel für die Ideen von Kreisen, Ellipsen, geschlossenen Formen und so weiter? Wenn wir ein bestimmtes mathematisches Objekt beschreiben, ist das dann eine Idee selbst, oder ist es etwas, das auf einer Ebene unterhalb der Ideen, aber oberhalb der materiellen Dinge existiert?
Im Platonismus sind mathematische Objekte, ob allgemein („alle Kreise“) oder spezifisch („der Kreis mit Radius 3 und Mittelpunkt (1,5)“), reale Objekte (und Ideen und ideale Objekte), aber das, was Sie hineingezeichnet haben Der Sand ist kein Kreis, obwohl er so aussieht und versucht, einem nahe zu sein. Was auch immer ihre Allgemeinheit sein mag, mathematische Objekte existieren alle auf einer Ebene, materielle Dinge auf einer anderen (sozusagen „niedrigeren“) Ebene. Aber das ist Platonismus. Es gibt andere Philosophien, die diese Konzepte ansprechen (oder vermeiden).
Wikipedia hat umfangreiche Kommentare zu Meno und Phaedo , einschließlich Zitaten, von dort aus können Sie bestimmte Passagen nachverfolgen.

Antworten (2)

Platon benutzte den Begriff der mathematischen Formen als eine Art Sprungbrett zu seiner Theorie der Formen selbst; sie waren nicht als Selbstzweck zu sehen.

Nach einigen späteren Entwicklungen der Platos-Philosophie handelt es sich um eine komplexe Wechselbeziehung und Hierarchie von Ideen; und das zeigt sich auch im rein mathematischen Bereich. Obwohl wir „lokal“ vielleicht eine einfache Hierarchie sehen, wie Sie sie gezeichnet haben, ist sie in ihrer Gesamtheit viel komplizierter als das; zum Beispiel schrieb Thurston, ein berühmter moderner Geometer:

Mathematik ist eine riesige und stark vernetzte Struktur. Es ist nicht linear. Wenn man Mathematik liest, muss man einen aktiven Geist haben, Fragen stellen und mentale Verbindungen zwischen dem aktuellen Thema und anderen Ideen aus anderen Kontexten herstellen, um ein Gefühl für die Struktur zu entwickeln und nicht nur durch die Struktur mit einem bestimmten Thema vertraut zu sein

Dreidimensionale Geometrie und Topologie, Band 1

Man könnte hinzufügen, dass die Entwicklung, die Sie skizziert haben, die „Vertrautheit mit einer bestimmten Tour“ ist – die der Dreiecke!

Er addiert:

Denken Sie an ein Bastelspielzeug. Der Schlüssel sind die Teile, die Löcher haben, die es Ihnen ermöglichen, sie mit Stäben zu verbinden, um interessante und stark miteinander verbundene Strukturen zu bilden. Kein interessantes mathematisches Thema ist in sich geschlossen oder vollständig: Es ist vielmehr voller "Löcher" oder natürlicher Fragen und Ideen, die nicht ohne Weiteres durch Techniken beantwortet werden können, die für das Thema typisch sind. Aus diesen Löchern ergeben sich oft Verbindungen zwischen dem gegebenen Thema und anderen Themen, die zunächst zusammenhangslos erscheinen. Die mathematische Darstellung verbirgt diese Löcher oft der Glätte halber; aber was nützt dir ein bastler, wenn die löcher alle mit knetmasse ausgefüllt sind?

Vielen Dank für Ihre Antwort, Sie haben sicherlich nützliche Erläuterungen geliefert. Grundsätzlich kann man jedoch die gesamte Mathematik (oder vielleicht mit Ausnahme bestimmter hochabstrakter Gebiete, die im Studium der Logik verwurzelt sein könnten?) in der Mengenlehre formulieren. Daher sehe ich nicht ein, warum wir nicht überall eine Hierarchie haben sollten. Insbesondere würde ich gerne Ihre Meinung darüber hören, was die platonische Struktur der Mathematik ist, ist es ein Baum, wie ich vorschlage, oder ist es eher ein Netz?
@Anish gupta: Es ist eher wie ein Netz, siehe den Auszug oben von Thurston (obwohl Bäume auch wichtig sind); Die Kategorientheorie bietet neben der Mengenlehre übrigens eine alternative Grundlage zur Mathematik.
Thurston scheint zu beschreiben, wie die mentale Struktur der Mathematik eines arbeitenden Mathematikers sein sollte, vielleicht für optimales Lernen oder um neue Theoreme zu beweisen. Ich verstehe nicht, warum es eine Antwort darauf ist, was die platonische Struktur der Mathematik wirklich ist, da er kein Argument dafür liefert, warum es ein Netz ist, sondern ein Baum von Ideen unterschiedlicher Abstraktheit.
@anish gupta: er beschreibt es nicht als seine „mentale Struktur“, sondern wie die Mathematik selbst strukturiert ist; er sagt, es ist hochgradig „vernetzt“ – daher ist es eher wie ein Netz.

Plato diskutiert mathematische Objekte in der Analogie der geteilten Linie in Buch 6 der Republik . Ich werde argumentieren, dass die Analogie darauf hinweist, dass mathematische Objekte keine echten Entitäten in Platons Ontologie sind . Nur die Formen (Ideen) sind echte Entitäten in Platons Ontologie. Mathematisches Denken soll in der Tat eine viel reinere Reflexion über die Formen erfordern, verglichen mit dem Denken über materielle Objekte (*). Dennoch ist mathematisches Denken laut Plato (**) keine Reflexion über abstrakte mathematische Entitäten.

Die geteilte Linie drückt die folgende Klassifizierung von Objekten aus:

  1. konkrete Objekte
    1.1 materielle Objekte
    1.2 visuelle Schatten und Reflexionen
  2. abstrakte Objekte
    2.1 die Formen = Ideen
    2.2 mathematische Objekte

Strukturell werden die mathematischen Objekte mit visuellen Schatten und Reflexionen verglichen. Dies gibt uns den ersten Hinweis darauf, dass mathematische Objekte keine echten Entitäten sind. Denn es ist unwahrscheinlich, dass Plato visuelle Schatten und Reflexionen als echte Entitäten betrachtete. Schatten und Reflexionen sind Phänomene, sie sind Objekte des Geistes, aber ganz sicher keine echten Entitäten, für Platon. Also auch mathematische Objekte.

Zweitens vertritt Plato die Auffassung, dass wir, wenn wir zB konkrete Dreiecke auf Papier zeichnen, wirklich versuchen, über abstrakte Entitäten nachzudenken. Platons tatsächliche Beispiele zeigen uns jedoch, dass die abstrakten Entitäten, an die wir denken, immer abstrakte Formen, Ideen (wie die Form eines Dreiecks) sind, aber keine abstrakten mathematischen Entitäten (wie abstrakte besondere Dreiecke ) .

Und wisst ihr nicht auch, dass sie, obwohl sie sich der sichtbaren Formen bedienen und über sie urteilen, nicht an diese denken, sondern an die Ideale, denen sie ähneln? nicht von den Zahlen, die sie zeichnen, sondern vom absoluten Quadrat und dem absoluten Durchmesser und so weiter ... (Hervorhebung von mir)

Drittens behauptete Platon, dass Mathematik grundsätzlich nicht rein abstrakt gedacht werden kann. Mathematisches Denken erfordert notwendigerweise konkrete Objekte, Bilder. Diese Bilder nennt er auch die konkreten "Hypothesen" des mathematischen Denkens, Hypothesen, auf die die Mathematik nicht verzichten kann. Aber wenn mathematisches Denken auf abstrakten mathematischen Entitäten beruhte , warum konnte es nicht zumindest im Prinzip rein abstrakt erfolgen? Daher basiert mathematisches Denken laut Platon nicht auf abstrakten mathematischen Einheiten. es basiert vielmehr auf abstrakten Formen plus konkreten, materiellen Bildern.

[In der Mathematik] ist die Seele gezwungen, Hypothesen zu verwenden; nicht zu einem ersten Prinzip aufsteigend, weil sie sich nicht über den Bereich der Hypothese erheben kann, sondern die Gegenstände ... als Bilder verwendend.

Im Gegensatz dazu vertritt Platon die Auffassung, dass die "dialektische", philosophische Reflexion über die Ideen vollständig abstrakt erfolgen kann .

Und wenn ich von der anderen Teilung des Intelligiblen spreche, werden Sie verstehen, dass ich von dieser anderen Art von Wissen spreche, die die Vernunft selbst durch die Kraft der Dialektik erlangt ... durch aufeinanderfolgende Schritte steigt sie ohne die Hilfe eines sinnlichen Objekts wieder ab, von Ideen, durch Ideen und in Ideen endet sie.

Zusammenfassend sagt uns die Analogie der geteilten Linie, dass für Platon, zumindest zu der Zeit, als er die Republik schrieb, nur die Formen, die Ideen, echte Entitäten waren. Bestimmte mathematische Objekte wiederum hielt er nicht für echte Entitäten. Für Platon gab es keine abstrakten Einzelwesen . Mathematische Objekte, konkrete Objekte, visuelle Schatten und Reflexionen waren letztendlich alle nur unterschiedliche Grade von Schatten, Reflexionen und Imitationen der Ideen.

(*) Für die Zwecke dieser Auslegung unterscheide ich zwischen „Gegenständen“ und „Entitäten“. Ich benutze „Objekte“ für das, woran wir scheinbar denken, für scheinbare Entitäten. Dann gibt es mathematische Objekte , also mathematische Dinge, über die wir (scheinbar) nachdenken. Aber laut Platon sind sie keine echten, eigenständigen Einheiten . Unser Denken ist anders beschaffen, als es scheint.

(**) Ich identifiziere hier die Ansichten, die von der Figur Sokrates in Buch 6 der Republik geäußert werden, als Ansichten Platons.

Plato shows us that the abstract entities that we think about are always abstract Forms, Ideas (such as the Form of a triangle), but not abstract mathematical entities (such as abstract particular triangles).. Ich verstehe, dass Sie versuchen, Platons Ansichten darzustellen, aber sicherlich, weil Sie Sätze über alle Dreiecke aufstellen können: "In allen Dreiecken beträgt die Winkelsumme 180 °" und über bestimmte Dreiecke: "Das Dreieck mit Seitenlängen von 1-√3-2, hat Winkel 30° 60° 90°"; es sieht so aus, als wäre es offensichtlich falsch, oder vielleicht könnten Sie klarstellen, was hier vor sich geht.
@AnishGupta Nun, ich kann im Moment nur hinzufügen, dass Platons Formen nicht genau das sind, was später als "Universale" bezeichnet wurde. Nicht jeder universelle Begriff repräsentiert eine platonische Form. Was es stattdessen nach Platon darstellt, kann ich im Moment nicht feststellen.
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