Wie wird das Prinzip der kürzesten Zeit von Fermat bewiesen?

Für die geometrische Optik können wir eikonal einführen$\Psi$nach Beziehung

$$f = Ae^{-ik_{\mu}r^{\mu} + i\varphi} = Ae^{i\Psi}. \tag 1$$ Für kleine Zeitintervalle und Raumlängen kann eikonal in einer Form erweitert werden $$\Psi = \Psi_{0} + \mathbf r \frac{\partial \Psi}{\partial \mathbf r} + t \frac{\partial \Psi}{\partial t},$$ also durch Vergleich mit der linken Seite $(1)$es kann direkt gezeigt werden $$\mathbf k = \frac{\partial \Psi}{\partial \mathbf r}, \quad \omega = -\frac{\partial \Psi}{\partial t}. \tag 2$$ Also durch vergleichen $(2)$Mit Hamilton-Jacobi-Gleichungen haben wir eine klare Analogie: Wellenvektor wirkt Regel des klassischen Impulses und Frequenz wirkt Regel des Hamilton-Operators in der geometrischen Optik. So ist es möglich, die Analogie des Prinzips der geringsten Wirkung für Strahlen einzuführen. Für Licht kann es nach dem Maupertuis-Prinzip erfolgen: $$\delta S = \delta \int \mathbf p \,\mathrm d \mathbf l = 0 \to \delta \Psi = \delta \int \mathbf k\,\mathrm d \mathbf l = 0.$$ Zum Beispiel für optisch isotropen und homogenen Raum $\mathbf k = \textrm{const} \cdot \mathbf n$, Und $$\delta \int \mathrm dl = 0,$$

was zu Fermats Prinzip der kürzesten Zeit führt.