Wozu dient Modallogik?

Ich verstehe "reine" Logik als eine strukturelle Beschreibung dessen, was ein gültiger Beweis ist, aber ich habe nie die Gründe für die Verwendung der Modallogik verstanden.

Was ist ein typisches Beispiel dafür, wie Modallogik verwendet wird?

Antworten (3)

Was ist Modallogik?

Die Modallogik ist eine Erweiterung der klassischen Aussagen- und Prädikatenlogik, die die Verwendung von Modaloperatoren erlaubt. Mit anderen Worten, Modallogik ist alles, was klassische Logik + Modaloperatoren sind. Modaloperatoren drücken die Modalität aus, wie zum Beispiel:

  • Notwendigkeit (mit □ gekennzeichnet)
  • Möglichkeit (mit ◇ gekennzeichnet)

Die obigen Möglichkeiten sind die einzigen Operatoren, die in der Modallogik im engeren Sinne verwendet werden. Der Begriff Modallogik wird jedoch häufig verwendet, um andere Erweiterungen einzuschließen, beispielsweise die zeitliche Logik, die den Ausdruck vergangener oder zukünftiger Wahrheiten ermöglicht.

Warum ist Modallogik nützlich?

Die klassische Logik ist großartig für die Mathematik, aber für die Analyse alltäglicher Sprache und Argumente fehlen bestimmte Operatoren. Es gibt viele Sätze, die Sie in klassischer Logik nicht ausdrücken können, die jedoch in Modallogik ausgedrückt werden können. Beispiel: "Ich kann mich verbrennen, wenn ich zu lange in der Sonne liege". In der klassischen Logik kann man sagen: „Ich verbrenne mich, wenn ich zu lange in der Sonne liege“, aber man kann die Möglichkeit einer Verbrennung nicht ausdrücken. In der klassischen Logik ist es entweder wahr oder falsch. In der Modallogik können Sie auch die Möglichkeit oder Unmöglichkeit ausdrücken, dass eine Aussage wahr oder falsch ist.

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Danke für deine Antwort! Um ehrlich zu sein, verstehe ich immer noch nicht: Wenn Sie den Satz auf Englisch haben, warum wäre eine Übersetzung in Modallogik eine gute Idee? Ich habe das Gefühl, dass das Einordnen eines Satzes in eine formale logische Aussage seine Bedeutung ändern würde!
Vielleicht möchten Sie Ihre Antwort erweitern, um andere "Modi" einzubeziehen, die Menschen manchmal unter dem Label "Modallogik" studieren: epistemische Logik, deontische Logik, angespannte Logik und so weiter.
@Seamus Darauf habe ich bewusst verzichtet, denn dann würde dieser Artikel fast zu einer Kopie des SEP werden, was mir sinnlos erscheint. Ich wollte mich hier so kurz wie möglich fassen.
@ user58512 Dennis hat, wie ich sehe, auf diese Frage geantwortet, daher werde ich hier nicht ausführlich antworten. Kurz gesagt, es gibt mehrere Gründe, der Hauptgrund ist, dass die formale Logik weniger zweideutig ist als die alltägliche Sprache.
Nun, ich meine, ich denke, es wäre zumindest erwähnenswert, dass es neben Notwendigkeit und Möglichkeit Modalitäten gibt, die die Modallogik erfassen kann.

Erweiterung früherer Antworten von ChaosAndOrder und Dennis…

Sie scheinen zu verstehen, warum "reine" Logik (ich nehme an, Sie meinen die klassische Logik erster Ordnung) im Kontext der mathematischen Logik nützlich ist, aber Sie sehen keinen Sinn darin, andere modale Begriffe in der gewöhnlichen Sprache zu formalisieren. Auch wenn es Sie überzeugen könnte, Ihnen die vielen Anwendungen der Modallogik vorzustellen, ist es vielleicht einfacher zu zeigen, wie wichtig die Modallogik für die Entwicklung genau des Gebiets der mathematischen Logik war, das Sie zu schätzen scheinen.

Die Formalisierung der Modallogik war ein Durchbruch in der Entwicklung der Modelltheorie , einer der vier Zweige der mathematischen Logik (die anderen sind Mengentheorie, Rekursionstheorie und Beweistheorie). Siehe Kripke-Semantik für weitere Details.

Die Modallogik hat einige sehr natürliche Anwendungen in der Metalogik gefunden, wie z. B. die Beweisbarkeitslogik (wobei □ bedeutet „es ist beweisbar“). Ein Meilenstein in der Beweisbarkeitsanalyse ist der 1976 veröffentlichte arithmetische Vollständigkeitssatz von Solovay.

Ein weiteres interessantes (aber sehr fortschrittliches) Beispiel ist die Verwendung der Modallogik, um die Beziehungen zwischen erzwungenen Erweiterungen in der Mengenlehre zu untersuchen . Siehe Hamkins & Loewe , The Modal Logic of Forcing , 2005 :

Was sind die allgemeinsten Prinzipien der Mengenlehre in Bezug auf Zwingbarkeit und Wahrheit? Wie bei Solovays berühmter Analyse der Beweisbarkeit werden sowohl diese Frage als auch ihre Antwort natürlich mit Modallogik formuliert. Wir wollen für die Durchsetzbarkeit das tun, was Solovay für die Beweisbarkeit getan hat. Eine mengentheoretische Behauptung psi ist erzwingbar oder möglich, wenn psi in einer forcierenden Erweiterung gilt, und notwendig, wenn psi in allen forcierenden Erweiterungen gilt. In dieser erzwingenden Interpretation der Modallogik stellen wir fest, dass, wenn ZFC konsistent ist, die ZFC-beweisbaren Prinzipien des Erzwingens genau die in der als S4.2 bekannten Modaltheorie sind.

Daher werde ich meine Antwort auf Ihren Kommentar zu ChaosAndOrder zuschneiden.

Der Grund, warum wir die Modallogik verwenden möchten, ist die Präzisierung der gewöhnlichen Sprache. Gewöhnliche Sprache ist notorisch mehrdeutig und die Analyse von Modaloperatoren in gewöhnlicher Sprache ist voller Schwierigkeiten.

Indem wir unseren Diskurs auf formale (quantifizierte) Modallogik reglementieren, können wir einige dieser Mehrdeutigkeiten beseitigen. Wir können zwischen Modalität de dicto (Anwendung auf einen ganzen Satz) und Modalität de re (Anwendung auf die Vorhersage einer Eigenschaft eines Individuums) unterscheiden. Gewöhnliches Englisch ist fast systematisch mehrdeutig zwischen den beiden.

Im Allgemeinen besteht der Grund für die Formalisierung von Aussagen in natürlicher Sprache darin, eine größere Genauigkeit in unserem Diskurs zu erreichen und (so weit wie möglich) Unbestimmtheit und Mehrdeutigkeit zu beseitigen.

Abgesehen davon ist die klassische Logik nicht gut für die Analyse des mathematischen Diskurses. Die Modelltheorie der Mathematik weist eine verblüffende Ähnlichkeit mit der Semantik möglicher Welten für die Modallogik auf. Zwar verhält sich die Mathematik innerhalb eines Modells klassisch, aber wenn wir Behauptungen wie Kategorizität bewerten (alle Modelle sind bis auf Isomorphie identisch), bewerten wir Behauptungen, die ziemlich plausibel modal sind.

Auch die Charakterisierung der Gültigkeit in der klassischen Logik ist in gewissem Sinne oft modal. Wie erklären wir Validität? Es ist unmöglich, dass die Prämissen wahr und die Konklusion falsch sind (oder wenn die Prämissen wahr sind, MUSS auch die Konklusion wahr sein). Was uns das (wohl) zeigt, ist, dass Gültigkeit/logische Konsequenz ein modaler Begriff ist.

Können Sie das bitte etwas näher erläutern (zB weiterführende Lektüre vorschlagen): "Die Modelltheorie der Mathematik hat eine auffallende Ähnlichkeit mit der Semantik möglicher Welten für die Modallogik". Danke & +1.
„Während es stimmt, dass sich Mathematik innerhalb eines Modells klassisch verhält, bewerten wir Behauptungen wie Kategorizität (alle Modelle sind bis auf Isomorphie identisch) ziemlich plausibel modale Behauptungen.“ Wir können dies umkehren und sagen, dass jedes Mal, wenn man Modalitätsansprüche stellt, man über den Raum möglicher Modelle spricht, und dass eine Theorie von Xnicht so sehr „modal“ ist, als dass es ein Thema ist, das nicht nur anders beschreibt Arten der Realisierung, Xsondern die Beziehungen (nicht nur Isomorphismen) zwischen diesen. Die Frage ist: Bringt „Modalität“ wirklich zusätzliche Klarheit?
@Drux: Modelltheorie für Theorien in der klassischen Logik interpretiert die Theorie in einem Modell und liefert so eine Situation für konkrete Fakten für die Theorie, das heißt, wir haben Semantik . Kripke-Joyal erweiterte dies von der klassischen auf die intuitionistische und modale Logik, wo sie normalerweise als mögliche Weltsemantik bezeichnet wird .
@NieldeBeaudrap Ich bin mir nicht sicher, was die Frage ist. Es scheint, dass das, was Sie beschreiben, etwas Modales mit einem kleinen Extra ist (die Beziehungen zwischen Modellen, die in der Semantik für Modallogik kein Äquivalent haben würden). Ist das richtig? Wenn Sie fragen: „Bringt „Modalität“ wirklich zusätzliche Klarheit?“, fragen Sie dann, ob das Denken der Modelltheorie für die Mathematik in Anlehnung an die Semantik möglicher Welten für die Modallogik Klarheit schafft?
@Drux Wenn ich heute später Zeit habe (dh wenn ich mich nicht auf den Unterricht vorbereite, den ich in einer Stunde unterrichten muss), werde ich meine Antwort erweitern. Es sei denn natürlich, Moziburs Antwort hätte alle Verwirrung beseitigt.
@Dennis: Nehmen wir als Beispiel die Gruppentheorie. Man kann die zyklischen Gruppen G = ℤ/6ℤ, G' = ℤ/3ℤ und G'' = ℤ/2ℤ als "Modelle (der Axiome von) Gruppen" betrachten, so dass diese 'mögliche' Gruppen sind. Aber man kann auch Morphismen von G' und G'' zu G in Betracht ziehen , was über die bloße Anerkennung der Existenz und (Un-)Äquivalenz von Modellen hinausgeht zu Beziehungen zwischen ihnen; und wir können sogar neue Gruppen aus alten wie G' × G'' konstruieren und diese Gruppe als isomorph zu G identifizieren . Mit Modellen können wir solche Dinge sagen.
@Dennis thx für das Angebot: Konkrete Empfehlungen für weiterführende Lektüre wären weiterhin willkommen (sind aber keinesfalls dringend).
@NieldeBeaudrap Mein Vorschlag war niemals, die Modelltheorie durch etwas "Modaleres" zu ersetzen, sondern dass die Modelltheorie selbst von Natur aus modal ist. Ich denke, dass die Antwort von DBK dies auf eine Weise erweitern könnte, die ich nicht getan habe, aber ich behaupte nicht, dass eine Modallogik Mathematik besser kapseln kann als die Modelltheorie. Vielmehr behaupte ich, dass die Modelltheorie von Natur aus modal ist.
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