Zusammenhang zwischen der Hamilton-Version des Prinzips der kleinsten Wirkung und der Wahrscheinlichkeitsamplitude in der Schrödinger-Gleichung

Was ich nicht verstehe, ist, wie er auf eine Gleichung gekommen ist, die eine Wahrscheinlichkeitsverteilung ist.

Er landete bei Schrödingers Gleichung, aber er glaubte nicht, dass sie die Wahrscheinlichkeit beschreibt. Er dachte eher an die Idee von de Broglie, dass das Elektron eine Art Welle ist, und$\psi$- Lösung der Gleichung - drückt mathematisch Form und andere Eigenschaften dieser Welle aus.

Wahrscheinlichkeitsinterpretation von$\psi$wurde von Max Born auf der Grundlage seiner theoretischen Untersuchung von Elektronenstreuexperimenten eingeführt. Er fand heraus, dass die Elektronen immer als Punkte auf dem Bild erscheinen, aber wenn viele Punkte aufgezeichnet werden, liegt ihre Dichte nahe an der Größenordnung von$\psi$Funktion.

Einführung :

Die Antwort von Ján Lalinsky skizziert die Standardgeschichte, die im Wesentlichen der Erzählung von Max Born in seinem Nobelvortrag von 1954 folgt, aber die Details sind etwas komplizierter. Wenn man zum Beispiel sagt, dass Schrödinger bei der Ableitung seiner Gleichung einfach der Wellenidee von de Broglie gefolgt ist, so würde man die Grundlage seiner ursprünglichen Herangehensweise an einen kryptischen Satz verlieren, der seine gesamte Logik beseitigt. Und dann bleibt uns das Mysterium der Schrödinger-Gleichung, die unintuitiv „aus dem Nichts auftaucht“.

In gewisser Weise ist Schroedinger selbst teilweise für diese Ansicht verantwortlich, aufgrund der Art und Weise, wie er seine vier wegweisenden Arbeiten von 1926, "Quantization as a Problem of Proper Values", Teile I-IV (für englische Nachdrucke siehe z Beispiel Stephen Hawkings Sammlung „ The Dreams That Stuff Is Made Of “."). Seine berühmte Gleichung taucht erstmals, als zeitunabhängige Version für ein Elektron in einem zentralen elektrischen Feld, in Gl.(5) von Teil I auf. Entgegen gängigen Standards ist die dort gegebene Begründung tatsächlich auf das Wesentliche reduziert : eine Variationsformulierung, Gl. (2), basierend auf einer Hamilton-Jacobi-Gleichung, Gl. (1). Wahrscheinlich wird deshalb die "Ableitung" gemeinhin mit mehr oder weniger verherrlichtem Handwinken gleichgesetzt. Aber die detaillierte Grundlage für Schrödingers Ansatz - sowohl formal als auch intuitiv - ist in der Tat das Thema von Teil II, wo der erklärte Zweck ist

„um mehr Licht auf die allgemeine Entsprechung zu werfen, die zwischen der Hamilton-Jacobi-Differentialgleichung eines mechanischen Problems und der „verwandten“ Wellengleichung besteht, dh Gleichung (5) von Teil I […]“

Wie Schrödinger selbst betont,

„Bis jetzt haben wir diese Entsprechung auf ihrer äußerlich analytischen Seite nur kurz beschrieben durch die an sich unverständliche Transformation (2) und durch den ebenso unverständlichen Übergang von der Gleichsetzung mit Null eines bestimmten Ausdrucks zur Behauptung, dass das Raumintegral des besagten Ausdrucks soll _stationary_ sein$^1$." (Fußnote$^1$erklärt weiter, dass „das Verfahren […] nur dazu gedacht war, einen vorläufigen, schnellen Überblick über den äußeren Zusammenhang zwischen der Wellengleichung und der Hamilton-Jacobi-Gleichung zu geben“, wobei „$\psi$ist eigentlich nicht die Aktionsfunktion einer bestimmten Bewegung in der in (2) von Teil I angegebenen Beziehung", aber "Andererseits ist der Zusammenhang zwischen der Wellenfunktion und dem Variationsproblem natürlich sehr real: der Integrand des Stationären Integral ist die Lagrange-Funktion für den Wellenprozess.")

Um die Frage zu beantworten :

Der zweite Absatz von Teil II fährt dann damit fort, Schrödingers Ausgangspunkt zu skizzieren, von dem er sagt, dass er in der Tat Hamiltons eigener „Ausgangspunkt für seine Theorie der Mechanik war, die aus seiner [Hamiltons] Optik nicht-homogener Medien hervorgegangen ist “:

„Hamiltons Variationsprinzip kann gezeigt werden, dass es dem Fermat- Prinzip für eine Wellenausbreitung im Konfigurationsraum (q-Raum) entspricht, und die Hamilton-Jacobi-Gleichung drückt das Huygens- Prinzip für diese Wellenausbreitung aus. Leider wird diese kraftvolle und bedeutsame Vorstellung von Hamilton beraubt , in den meisten modernen Reproduktionen, seiner schönen Kleidung als überflüssiges Accessoire zugunsten einer farbloseren Darstellung der analytischen Korrespondenz.

Diese Analogie zwischen Dynamik im Konfigurationsraum und Wellenoptik in inhomogenen Medien ist durchaus die leitende Intuition hinter Schrödingers Ansatz.

Was er technisch macht, ist, Hamiltons Ansatz mit Hilfe einer von Hertz entwickelten Methode neu zu formulieren. Letztere stattet den Konfigurationsraum im Grunde mit einer nicht-euklidischen Metrik aus, die durch die kinetische Energie definiert ist,$ds^2 = 2 {\bar T}(q_k, {\dot q}_k) dt^2$(Eine weitere Fußnote zeigt, dass das Problem bereits 1891 von Felix Klein gründlich untersucht wurde und Sommerfeld wohlbekannt war). Die Dynamik wird nun nicht durch Pfade im (mehrdimensionalen) Konfigurationsraum beschrieben, sondern durch die "wellenartige Ausbreitung" von gleichwirkenden Flächen senkrecht zu diesen Pfaden. Diese "Ausbreitung" ist analog zu der von optischen Wellenfronten in einem inhomogenen Medium, wo "Pfade" der Strahlenoptik entsprechen, während Wellenfronten offensichtlich der Wellenoptik ("undulatorisch") entsprechen. Schrödinger stellt dann die Vermutung auf, dass diese Analogie vollständig sein muss. Das heißt, er geht davon aus, dass ebenso wie die Notwendigkeit der Wellenoptik aus dem Zusammenbruch der Strahlenoptik für kurze Wege großer Krümmung (Interferenz und Beugung an Hindernissen kleiner oder vergleichbar mit der Wellenlänge) folgt, genauso der Zusammenbruch der klassischen -Mechanik, auch für kurze Wege mit großer Krümmung, erfordert eine Wellenmechanik, die auf gleichwirkenden Wellenfronten basiert. Er leitet dann die einfachste "Wellenmechanik" auf den Konfigurationsraum ab, der als "Strahlengrenze" die übliche klassische Mechanik hat.

Aber er beruft sich dabei nicht auf de Broglie . Eigentlich muss er das nicht. Er leitet zunächst die Beziehung von de Broglie zwischen Teilchengeschwindigkeit und (Konfigurationsraum) Wellengruppe ab, indem er die Planck'sche Beziehung verwendet$E = h\nu$in der Gleichung für die Wirkungswellenfronten. Dennoch betont er die Übereinstimmung seines Ansatzes mit de Broglies Hypothese der "Phasenwellen".

Bezüglich der statistischen Interpretation ist bemerkenswert, dass Schrödinger Teil IV mit Abschnitt §7, Über die physikalische Bedeutung des Feldskalars (Wellenfunktion), abgeschlossen hat. Das hat er beobachtet$\psi\psi^*$muss "eine Art Gewichtsfunktion im Konfigurationsraum des Systems" sein, die angibt, wie wahrscheinlich es ist, dass das System in dieser bestimmten Konfiguration gefunden wird. Er kommt der Aussage der statistischen Interpretation sogar sehr nahe:

„[…] wir können sagen, dass das System gewissermaßen gleichzeitig in allen kinematisch denkbaren Positionen existiert, aber nicht in allen „gleich stark“.“

Darüber hinaus stellt Schrödinger fest, dass im Einklang mit der Gewichtsinterpretation das Konfigurationsraumintegral der Gewichtsfunktion erhalten bleibt und die Gewichtsfunktion selbst eine Kontinuitätsgleichung mit der uns allen bekannten Stromdichte erfüllt. Daraus schließt er, dass auch die Ladungsdichte einer Kontinuitätsgleichung genügen muss und somit die elektrische Ladung erhalten bleibt.

So blieb Max Born am Ende nur noch die bekannte Schlussfolgerung zu ziehen.

''warum genau die Realität so organisiert ist, dass die Lösung der Schrödinger-Gleichung nur funktioniert, wenn sie als Wahrscheinlichkeitsamplitude betrachtet wird.''

Dass es sich nicht um eine gewöhnliche Welle handeln kann, zeigt die Betrachtung von N Elektronen. Dann ist die Wellenfunktion eine Gleichung in$3N$-dimensionaler Konfigurationsraum statt im physikalischen 3-Raum. Die Interpretation als Welle im 3-Raum funktioniert also nur im 1-Teilchen-Sektor. Schrödinger akzeptierte das, war aber (wie Einstein) nie ganz zufrieden mit der probabilistischen Interpretation.

Dass die Wahrscheinlichkeitsinterpretation jedoch stichhaltig ist, lässt sich daran erkennen, dass die darauf basierende statistische Mechanik fast die gleiche Form annimmt wie die klassische statistische Mechanik. Eine Ableitung der Born-Regel aus der statistischen Mechanik findet sich in Kapitel 10.5 meines Online-Buches .

Die Schrödinger-Gleichung ist keine Gleichung, die eine Wahrscheinlichkeitsdichte beschreibt. Es ist eine vollständig deterministische Gleichung, die als Eingabe einen Quantenzustand | annimmt$\Psi$> und sagt Ihnen, wie sich dieser Zustand mit der Zeit entwickelt. Wenn Sie das Bundesland kennen |$\Psi (t)$> zu einem bestimmten Zeitpunkt$t$und dem Hamilton-Operator des Systems, dann wissen Sie (zumindest formal) genau, was der Zustand | ist$\Psi (t')$> wird auf einmal sein$t' > t$.

Die Tatsache, dass die Menge <$\Psi$|$\Psi$> beschreibt die Wahrscheinlichkeitsdichte, irgendwann ein Teilchen zu finden$x$im realen Raum (oder äquivalent bei einem Impuls$p$im reziproken Raum, je nach verwendeter Darstellung) erzählt eine andere Geschichte. Es hängt mit der Tatsache zusammen, dass die meisten Informationen, die Sie im Quantensystem kennen können, die Wellenfunktion | ist$\Psi$>, im Gegensatz zur klassischen Mechanik, wo man die Flugbahn eines Teilchens verfolgen kann (also seinen Impuls kennt$p$und Stellung$x$in jedem Moment).

Die „Unsicherheit“, die Sie in der Quantenmechanik haben, bedeutet nicht, dass uns einige Informationen über das System fehlen oder dass die Evolution nicht deterministisch ist. Es bedeutet nur, dass der Quantendeterminismus anders ist als der klassische Determinismus.

Bearbeiten: Um Ihren Kommentar zu bestätigen, ja, er sagt Ihnen genau, wie das System zu diesem Zeitpunkt sein wird$t'$. Dieses „genau“ bedeutet, dass Sie wissen, was der Quantenzustand |$\Psi$> wird irgendwann sein$t'$, vorausgesetzt, Sie wussten, was es zu diesem Zeitpunkt war$t$. Das bedeutet nicht, dass Sie die genaue Position und den Impuls zu diesem Zeitpunkt kennen$t'$: Dies ist durch die Gesetze der Quantenmechanik (nämlich die Unschärferelation ) verboten. Das Beste, was Sie wissen können, ist die Wellenfunktion. Keine Sorge, all dies wird klarer, wenn Sie in Ihrem Studium der Quantenmechanik Fortschritte machen!