Zwei Möglichkeiten, SU(2)SU(2)SU(2)-Singlets zu bilden?

Ich denke, es entsteht Verwirrung, weil der metrische Tensor darin versteckt ist$SU(2)$, also werde ich einarbeiten$SU(p,q)$und sich dann darauf spezialisieren$SU(2)$. Die inäquivalenten definierenden Wiederholungen der allgemeinen linearen Gruppe$GL(m,C)$auf den vier Vektorräumen getragen$V_{m},\tilde{V}_{m}, V^{*}_{m}, \tilde{V}^{*}_{m}$Vektoren wie folgt transformieren.

$$v'^{a}=\,[D(g)]^{a}_{\ \ b}v^{b}\\ v'_{a}=\,[D(g^{-T})]_{a}^{\ \ b}v_{b}\\ v'_{\bar{a}}=[D(g^{*})]_{\bar{a}}^{\ \ \bar{b}}v_{\bar{b}}\\ v'^{\bar{a}}=[D(g^{-\dagger})]^{\bar{a}}_{\ \ \bar{b}}v^{\bar{b}}$$ $SU(p,q)$mit $p+q=m$ist definiert als die Untergruppe, unter der der hermitische metrische Tensor $I^{\bar{a}}_{\ \ b}$verwandelt sich trivial. Der metrische Tensor kann verwendet werden, um gewöhnliche Indizes in gesperrte Indizes umzuwandeln. $$v^{\bar{a}}=I^{\bar{a}}_{\ \ b}v^{b}$$ Der metrische Tensor ist invariant unter $SU(p,q)$es pendelt also mit den Gruppenmatrizen und damit dem rep $D(g)$entspricht dem rep $D(g^{-\dagger})$. Eine durch Zustände dargestellte physikalische Größe $v^{a}$ist die gleiche Art von physikalischer Größe, wie sie durch Zustände dargestellt wird $v^{\bar{a}}$.

Spezialisieren Sie sich jetzt darauf$m=2$so ist die Gruppe$SU(2)$oder$SU(1,1)$. Der Levi-Civita-Tensor$\epsilon_{ab}$kann verwendet werden, um kontravariante Indizes in kovariante Indizes umzuwandeln.

$$v_{a}=\epsilon_{ab}v^{b}$$ Der Levi-Civita-Tensor ist auch unter der Gruppe invariant und daher die Rep $D(g^{-T})$entspricht dem rep $D(g)$.

Das Unterhemd$\epsilon_{ab}v^{a}w^{b}=v^{a}w_{a}$. Dies sind zwei äquivalente 1-d Irreps, die weitergeführt werden$V_{2}\otimes V_{2}$Und$V_{2}\otimes\tilde{V}_{2}$. Sie stellen dieselbe Art von physikalischer Größe dar: einen Spin-0-Zustand. Also, wenn man zwei Spinhalbzustände hat$\psi^{a}$Und$\phi^{a}$, der Spin-Null-Zustand ist$\epsilon_{ab}\psi^{a}\phi^{b}$oder gleichwertig$\psi^{a}\phi_{a}$. In der zweiten Form braucht man einen Zustand$\phi_{a}$das ist die gleiche Art von physikalischer Größe (eine Spin-Hälfte) wie$\phi_{\bar{a}}$. A$\phi_{\bar{a}}$verwandelt sich als$D(g^{*})$also wenn man eine hat$\phi^{a}$dann der natürliche Weg, um etwas zu verwandeln, wie$D(g^{*})$ist zu verwenden$(\phi^{a})^{*}$. Auf diese Weise entsteht auch eine Spin-Null$\psi^{a}(\phi^{a})^{*}$.

Die beiden Methoden von OP sind isomorph. Im Allgemeinen ist man nur daran interessiert, Darstellungen modulo isomorph zu klassifizieren. Der Punkt ist der für die Lie-Gruppe$SU(2)$, die Spinordarstellung${\bf 2}$und die komplex konjugierte Spinordarstellung$\bar{\bf 2}$sind äquivalente Darstellungen${\bf 2}\cong \bar{\bf 2}$. Die Äquivalenz ergibt sich genau durch Multiplikation mit dem Epsilon-Zeichen.

Im Gegensatz dazu die Repräsentation${\bf 3}$und komplexe konjugierte Darstellung$\bar{\bf 3}$der Lie-Gruppe$SU(3)$sind nicht gleichwertig.