In Büchern wird die Ableitung des Drucks, der von einem Gas auf einen geschlossenen Behälter ausgeübt wird, für eine kubische Geometrie abgeleitet, aber da sie eine Anzahl von Molekülen pro Volumen enthält (bezeichnen Sie es mit ) Die Bücher sagen, dass es unabhängig von der Geometrie ist. Meine Frage ist, wie sie sagen, dass es unabhängig von der Geometrie ist, weil wir das bekommen Wie können wir nur für Würfel so sicher sein, dass dies für jedes superkomplizierte und verzerrte Volumen gilt?
Hier ist eine Version einer Ableitung von JH Jeans. Es berücksichtigt keine bestimmte Kastenform, sondern konzentriert sich auf die Moleküle, die kurz davor stehen, auf einen kleinen Wandfleck zu treffen.
Betrachten Sie die Moleküle, die einen kleinen Bereich treffen, , der Wand eines Behälters beliebiger Form in der Zeit . Diejenigen mit einer Geschwindigkeitskomponente senkrecht zur Wand und zur Wand hin in einem Volumen enthalten sein . Also ist der Gesamtimpuls normal zu der Wand, die in dieser Zeit zu diesem Bereich gebracht wird
Nun ist der mittlere Impuls, der von den an der Wand reflektierten Molekülen getragen wird, gleich und entgegengesetzt zu denen, die sich nähern, und so wird es auch sein
Die gesamte Momentumänderung wird also sein
in dem die Summation beendet ist Werte von . ist die mittlere quadratische Geschwindigkeitskomponente senkrecht zur lokalen Wandfläche und ist die Gesamtzahl der Moleküle pro Volumeneinheit, mit anderen Worten, .
Dies lässt sich leicht mit Hilfe der Isotropie zeigen
Wir finden also, dass der Druck gegeben ist durch
Anmerkung 1: Die Annahme der Isotropie ermöglichte es uns, eine beliebige Orientierung des Oberflächenflecks zu wählen, um den Druck zu bewerten, und zu behaupten, dass der Druck unabhängig von der Oberflächenorientierung ist. Dies ist gleichbedeutend mit der Aussage, dass der Druck bei einem gegebenen Behältervolumen unabhängig von der Form des Behälters ist. Man könnte also – was nicht sehr elegant wäre – die Druckgleichung für einen würfelförmigen Kasten aufstellen und daraus schließen, dass sie für jede Kastenform gilt.
Anmerkung 2 Es ist nicht unbedingt erforderlich, sich den Gasdruck als Wechselwirkung zwischen dem Gas und den Wänden eines Behälters vorzustellen. Wir können uns stattdessen eine kleine Oberfläche vorstellen, die beliebig ausgerichtet ist, mitten im Gas. Wir können dann Druck in Form von Impulsübertragungen zu und von dieser Oberfläche definieren. Offensichtlich gelten genau die gleichen Argumente, als ob die Oberfläche Teil der Behälterwände wäre. Und natürlich können wir uns nur die Oberfläche vorstellen . Wir werden also dazu gebracht, Druck als (1) eine Masseneigenschaft des Gases (im Gegensatz zu einer Eigenschaft, die nur an der Behälterwand sinnvoll ist) und (2) eine Eigenschaft zu betrachten, die von der Richtung unabhängig ist (weil keine Richtung speziell ist). – Isotropie).
Ich vermute, dass dies irgendwo in der Nähe von Cyberax 'Standpunkt ist. Zweifellos wird mir gesagt, wenn ich hier falsch liege.
Sie haben es selbst gesagt, es hängt von der Anzahl der Moleküle pro Volumen ab, nicht von der Gesamtzahl der Moleküle. Und wenn Sie dies sagen, bedeutet dies, dass Sie nur über die Dichte des Gases nachdenken, das in dem geschlossenen Objekt enthalten ist, was auch immer es sein mag. Und auch die Gasdichte ändert sich nicht, wenn die Form des Behälters geändert wird. Auch die Hauptformel für den Nettodruck hat die Gesamtmasse und das Gesamtvolumen als letzte Faktoren, die sich je nach Form des Behälters ändern können.
Philipp Holz