Mercator versus zylindrische Projektionen

Ich bin mir nicht sicher, was es bedeutet, sich "wie eine Blase auszudehnen", aber es stimmt, dass sich die Mercator-Projektion von der zentralen zylindrischen Projektion unterscheidet. Das folgende Bild zeigt einen Querschnitt der Mercator-Projektion, wobei der Kreis die kugelförmige Erde und die beiden vertikalen Linien den Zylinder darstellen. Die blauen Linien zeigen die Projektion von Punkten auf dem Kreis auf Punkte auf dem Zylinder:

Ich habe diese Definition der Mercator-Projektion noch nie gesehen, aber vielleicht macht sie Sinn. Nehmen wir an, dass mit dem Blasenbild physikalisch gemeint ist, dass, sobald die Blase den äußeren Zylinder berührt, der Teil der Oberfläche, der den Zylinder berührt, fixiert bleibt; es rutscht nicht herum. Die Form, die es im Moment vor dem Kontakt hatte, bleibt also erhalten.

Dann können wir sehen, dass der verbleibende Teil der Blase, der freie Teil, die Form einer Kugelblase annehmen muss, weil der Druck innerhalb der Blase nur dann ausgeglichen ist, wenn die Haut gleichmäßig gedehnt wird, wie es nur eine Kugelform kann. Daher muss der gleichmäßig gedehnte freie Teil der Blase die Formen aller physikalischen Merkmale, die auf seiner Oberfläche gezeichnet sind, genau bewahren.

Da der äußere Zylinder die lokale Form der Blase in dem Moment erfasst, in dem er Kontakt aufnimmt, behält die resultierende Projektion Formen in genau der Weise bei, für die Mercator entwickelt wurde. Übrigens muss der einschränkende Zylinder nicht tangential zur anfänglichen Sphäre sein. Dies ist natürlich offensichtlich, da die Blase als Kugel wächst, bis sie den ersten Kontakt herstellt.

EDIT: Ich hatte wirklich keine Ahnung, worauf ich mich mit diesem Problem einlasse. Ich denke, es ist ein sehr gutes Mathe-Physik-Problem und wenn ich mich nicht irre, ist es viel schwieriger, als ich gedacht hätte. Also werde ich ein oder zwei Vereinfachungen vornehmen, ein paar Beobachtungen machen und ein paar Vermutungen anstellen.

Erstens wird die Physik etwas einfacher zu visualisieren, wenn wir damit beginnen, eine Region in der Nähe des Nordpols zu betrachten. Auf diese Weise beginnen wir mit einem flachen Blatt. Dann können wir das lange Rohr durch einen einfachen Ring ersetzen. Die Blase wird aufgeblasen, bis sie den Ring berührt. In diesem Moment kann der Teil der Leiter innerhalb des Rings, zunächst fast ein flaches Blatt, als an seinem Umfang fixiert angesehen werden und wird als Blase nach außen wachsen. Irgendwann werden die Wände der Blase senkrecht. Das ist der Moment, in dem es an der Rohrwand befestigt würde (wenn das Rohr vorhanden wäre). Das Problem besteht nun darin, einfach zu zeigen, dass in der Nähe des Rings in dem Moment, in dem die Blase vertikal wird, die lokale Verformung der Blase verzerrungsfrei ist.

Diese Vereinfachung ändert das Problem weniger, als man meinen würde. Wenn es für einen beliebigen Ring in der Nähe des Nordpols gilt, gilt es für alle Ringe, insbesondere für eine Reihe von Ringen, die übereinander gestapelt sind. Das gilt also für die Pfeife – zumindest in den nördlichen Breiten. Die Frage, ob die Physik in den mittleren bis niederen Breiten zu den gleichen Ergebnissen führt, sei vorerst beiseite gelassen. (Obwohl es fast trivial garantiert ist, dass es in der Nähe des Äquators wahr ist.)

Zurück zum Ring. Wir betrachten die Blase als aufgeblasen, bis sie den Ring berührt, und zu einem solchen Zeitpunkt ist sie im Vergleich zum Ring groß genug, dass der eingezwängte Abschnitt im Wesentlichen eine flache Platte ist. Es sollte ziemlich klar sein, dass die Dehnung bis zu diesem Punkt verzerrungsfrei ist. Wir möchten zeigen, dass die Blase, wenn sie sich in den Ring verformt, in der Nähe des Rings verzerrungsfrei bleibt, bis die Wände der Blase vertikal werden. Da das Blech seitlich am Ring fixiert ist, erzwingt dies den scheinbar merkwürdigen Effekt, dass die Längsdehnung in Ringnähe gleich Null ist – dass es nach dem Aufsetzen einfach ohne weitere Dehnung nach oben kippt!

Irgendwo muss sich das Blatt doch dehnen: Kann es sein, dass die Dehnung in der Nähe der Mitte maximal ist, aber am Rand gegen Null geht?

Dies steht im Widerspruch zu dem, was ich in meiner anfänglichen Antwort behauptete, wie nur eine Kugelform mit einem konstanten Druck im Gleichgewicht sein kann. Anscheinend lag ich falsch. Ich werde nun vorschlagen, dass in diesem Fall die Physik erfüllt werden kann, wenn die Krümmung überall lokal sphärisch ist, sich aber kontinuierlich ändern kann. In diesem Fall muss das Produkt aus Krümmung und Spannung konstant sein, damit der Druck überall ausgeglichen ist. Ich habe ihr eine Reihe verschachtelter Kugeln gezeichnet, von denen ich glaube, dass sie der wahren Form der sich zu einem Ring ausdehnenden Blase nahe kommen:

Sie können sehen, dass die Krümmung in der Nähe der Kuppel abnimmt, was bedeutet, dass die Spannung (und Dehnung) der Blase in der Nähe des Nordpols am größten ist. In der Nähe des Zwangspunkts. Dies macht Sinn, wenn wir uns vorstellen, dass die Blase versucht, das maximale Volumen für die geringste Menge an Dehnungsenergie aufzunehmen. In zwei Dimensionen ist die Lösung natürlich eine ständige Streckung überall, was zu einem kreisförmigen Profil führt. Da sich die Fläche dreidimensional nach außen hin vergrößert, ist es wirtschaftlicher, wenn sich die Blase in der Mitte etwas mehr dehnt. (Die resultierende Kurve sieht so etwas wie eine Zykloide aus, aber ich glaube nicht, dass sie es ist.)

Das Interessante ist auf jeden Fall, dass wenn dieses Modell stimmt, die Streckung überall verzerrungsfrei ist. An dem Punkt, an dem sich die Blase auf die Innenseite des Rohrs legt, bleiben Formen in ihrer ursprünglichen Form erhalten.

Bleibt noch ein wunder Punkt: Ich kann mich nicht davon überzeugen, dass die Dehnung überall verzerrungsfrei sein muss ... dass die Blase überall lokal kugelförmig ist. Für ein kleines Quadrat, das irgendwo auf der Blase gezeichnet wird, gibt es zwei Krümmungen und zwei Spannungen: längs und quer. Es ist mir nicht klar, warum diese beiden gleich sein müssen. Der Druckwiderstand ergibt sich aus dem Produkt von Spannung und Krümmung, und ich kann mir vorstellen, dass der Druck durch den Durchschnitt von Längs- und Breitenwiderstand ausgeglichen werden könnte, ohne dass diese Größen notwendigerweise gleich sind.