Kontext:
Griffiths Buch über Quantenmechanik (QM) versucht in Abschnitt 2.3.1, nach den stationären Zuständen zu lösen eines harmonischen Oszillators durch Lösung der zeitunabhängigen Schrödinger-Gleichung (TISE),
mit der Methode der Leiteroperatoren. Die Methode der Leiteroperatoren geht von einer postulierten Definition von aus Und (Gl. 2.47):
was dann gezeigt wurde, dass es in Bezug auf die Faktorisierung des Hamilton-Operators funktioniert , und somit zum Anheben/Absenken der Energie in diskreten Schritten verwendet. Die Diskussion spitzt sich auf Seite 46 und Fußnote 21 zu, wo der Schluss gezogen wird, dass „ wir alle stationären Zustände konstruieren können “ durch wiederholte Anwendung dieses Operators ausgehend von der niedrigsten Energiestufe (Sprosse) auf der Leiter, , und dass eine solche Leiter einzigartig ist, weil zwei Leitern mit der gleichen Schrittweite ( ) und gemeinsame erste Sprossen vollständig überlappen und daher identisch sein.
Aus logischer Sicht könnte es für den Leser bis zu diesem Punkt jedoch ein kleines Problem geben, da nicht bewiesen (oder diskutiert) wurde, dass solche Operatoren ( , ) und ihre daraus resultierende Leiter (mit Schrittgröße) waren die einzig möglichen, die den Hamilton-Operator darstellen konnten (dh es wurde keine Eindeutigkeit diskutiert), und daher könnte man sich ein Beispiel für einen anderen Satz möglicher Operatoren vorstellen, die Schritte erzeugen, die halb so groß sind wie die diskutierten (also , anstatt ), und produzieren Sie eine andere Leiter, die immer noch mit der ursprünglichen Leiter überlappt, selbst für eine gemeinsame untere Sprosse ( ), aber mit doppelter Sprossenzahl. Durch Erweiterung kann eine unendliche Anzahl solcher Leitern gleicher Schrittweite sein , Wo ganzzahlig ist, könnte man sich in diesem Sinne vorstellen, und sie würden sich trotzdem nicht widersprechen. Eine solche Einzigartigkeit wird nicht streng diskutiert.
Das Thema:
Ich denke, der Schlüssel zur Schlussfolgerung, dass wir nur eine einzigartige Leiter haben, ist:
Punkt (1) ist leicht zu beweisen: alle neuen Operatoren mögen , , oder in der Tat jede Verallgemeinerung davon ( , , für ), teilen sich dieselbe unterste Sprosse mit den ursprünglichen Leiteroperatoren ( Und ). Ich kann dies rigoros wie folgt beweisen: Sagen Sie, dass wir haben , und wir möchten seinen niedrigsten Strompfadzustand finden (nennen wir es für diesen Fall, um ihn vom ursprünglichen Fall zu unterscheiden ), dann finden wir es, indem wir Folgendes setzen:
was beweist, dass alle diese Leitern definitiv dieselbe Sprosse teilen (ich habe die Tatsache verwendet, dass in der obigen Reduktion auf Null). Ähnliche Beweise können für höhere durchgeführt werden .
Punkt (2) erweist sich jedoch als subtiler und spricht die Möglichkeit an, neue Operatoren zu konstruieren, die nicht von der Form sind , , für . Wir stellen fest, dass die gesamte Auswahl an Operatoren , wie gleich: , Wo , basierte ursprünglich einfach darauf, dass sie eine Ableitung zweiter Ordnung ( ), wenn sie miteinander multipliziert werden, um der zeitunabhängigen Schrödinger-Gleichung (TISE) zu entsprechen. Da TISE zweiter Ordnung ist, ist die Wahl von wurde gemacht, um jeden Operator mit einem Ableitungsoperator erster Ordnung zu haben ( ), was eine natürliche Wahl ist. Dann wurde bewiesen, dass ihr Produkt die Form hat:
(hier habe ich mich für letter um die Diskussion zu verallgemeinern und später vom ursprünglichen Operator zu unterscheiden ), die später hineingeschrieben wird in folgender Form
Wo ist etwas konstant. Und dies wird uns später geben
was uns später die wichtigsten Schlussfolgerungen gibt, dass Energie in Schritten wie springt
Nun, ja, klar, wenn wir Operatoren wählen wie zuvor, um eine höhere ganzzahlige Ordnung der ursprünglichen Operatoren zu sein (wie zum Beispiel , mit ), dann haben sie eindeutig GRÖSSERE Stufen auf der Leiter und daher sind die Operatoren mit der feinsten erlaubten Schrittauflösung (kleinster erlaubter Schritt). Und da wir (oben) bewiesen haben, dass die erste Sprosse von allen solchen Operatoren geteilt wird ( , mit ), dann das Original Operatoren sind zweifellos brillant und einzigartig. Aber was wäre, wenn wir Operatoren wählen würden die nicht der Form entsprechen , mit ? Was wäre, wenn ich zum Beispiel gebrochene Derivate wählen würde, wie z oder (die auch formale Operatoren in der angewandten mathematischen Analyse sind --- z. B. siehe Wiki-Seite ), die bei Multiplikation immer noch die zweite Ordnung ergeben ( ) und kann daher faktorisieren und die TISE-Gleichung darstellen? Tatsächlich könnte ihre Anwendung auf dieses Problem besonders bequem sein, weil wir die haben Abhängigkeit der Form , was sich relativ leicht für gebrochene Ableitungsoperatoren eignet.
Griffiths Text diskutiert nicht, ob dies machbar ist oder nicht, und lässt daher die Tür für die Fantasie (oder das Unbehagen) des Lesers bezüglich der Einzigartigkeit hier offen. Was wäre zum Beispiel, wenn wir sagen würden:
oder einige andere ähnliche Definitionen, die uns multipliziert (mit Hilfe von Gamma-Funktionsidentitäten, die normalerweise aus gebrochenen Ableitungen resultieren) wieder zur gesuchten Form führen könnten von:
mit einigen neuen das ist weniger als (das ist ) und daher eine neue Leiter mit "legalen" Energiestufen erzeugen, die KLEINER sind als (nämlich Energieschrittgröße ) ?
Jede Hilfe bei der Klärung dieser Idee der Einzigartigkeit wäre willkommen.
Ihr Argument ist natürlich richtig: Es gibt keine Garantie dafür, dass es nicht noch viele Staaten gibt, die unsere Leiteroperatoren nicht erreichen. Die einfachste Möglichkeit ist eine weitere äquivalente Leiter parallel, aber es können auch Zustände zwischen den Leiterzuständen auftreten.
Im Fall des harmonischen Quantenoszillators gibt es spezifischere Argumente, die Sie vorbringen können. Valter Moretti weist hier darauf hin, dass, wenn man davon ausgeht, der Hilbert-Raum ist , wissen Sie, dass die Standard-Zustandsleiter ausreicht, weil sie eine vollständige Grundlage bietet. Ich denke, das schließt Ihren Vorschlag mit gebrochenen Ableitungen aus, aber Sie können immer noch eine versteckte Leiter bekommen, wenn der Hilbert-Raum tatsächlich größer ist, wie z . Ein explizites Modell sind hier zwei parallele Leitern, beide mit Abstand , wobei der Erhöhungsoperator wir beide gleichzeitig erhöht hat.
Aber aus phänomenologischer Sicht ist das nebensächlich. Natürlich gibt es viele Modelle, die Sie verwenden können; Der Schlüssel liegt darin, herauszufinden, was zum Experiment passt. Wir wissen, dass ein Übergang zwischen Zuständen mit Energieunterschied setzt ein Photon der Frequenz frei . Wir wissen auch, dass ein klassisches Teilchen mit Frequenz oszilliert sendet eine Frequenzstrahlung aus (und Harmonische davon). Das sagt uns, dass unser Quantenmodell Energieabstände von benötigt mit Experiment passen, und nicht kleiner.
Natürlich können Sie andere Zustände postulieren und eine Regel aufstellen, dass sie niemals strahlen können, aber Occams Rasiermesser bedeutet, dass ein solches Modell schlechter ist. Das Experiment drängt uns zum Hilbert-Raum und der Hamiltonian , wo die Leiter fertig ist.
Die Faktorisierung von Operatoren (beobachtbar) in ein Produkt führt nicht unbedingt zu Leiteroperatoren. Angenommen, der Hamilton-Operator wird beispielsweise geschrieben als , Dann
Wie Sie bemerkt haben, nicht nur Und sind Eigenoperatoren für und gleichzeitig für den Zahlenoperator , Wo ist der Zahlenoperator, aber jede Macht von ihnen. Allgemeiner definiert man den Grad eines Monoms als
Operatoren können als Funktion der Positions- und Impulsoperatoren oder äquivalent in Form von ausgedrückt werden Und : Die Transformation zwischen ihnen ist einfach eine Änderung der Koordinaten. Da jeder Operator als Funktion von geschrieben werden kann Und und jeder Eigenoperator für eine Summe oder ein Verhältnis von Monomen gleicher Note ist, kann Ihr Punkt 2) umformuliert werden als: Muss die Note unbedingt eine ganze Zahl sein? Die Antwort ist nein. Der Betreiber (falls vorhanden) ist beispielsweise ein Eigenoperator für :
Inzwischen sollten wir zu dem Schluss kommen, dass neue Lösungen für den einfachen harmonischen Quantenoszillator durch wiederholte Anwendung eines Operators wie z. B. erhalten werden können , mit eine ganze Zahl, auf dem Grundzustand ? Nein, sollten wir nicht, weil:
Betreiber wie z konnte nicht existieren. Zum Beispiel die Matrix hat keine Quadratwurzel. Tatsächlich ist allgemein bekannt, dass das einfache harmonische Oszillatorspektrum ein einzigartiges Spektrum hat, daher sollten Operatoren mit nicht ganzzahligem Grad nicht existieren.
Selbst wenn sie auf irgendeine Weise definiert werden können, könnten (und sollten sie angesichts der Eindeutigkeit des Spektrums) Zustände erzeugen, die nicht quadratintegrierbar sind.
Ich habe nach einer Definition von gesucht , aber ich konnte keinen finden. Der Plan war, diesen Operator auf eine Gaußsche Funktion anzuwenden und zu sehen, ob das Ergebnis die Schrödinger-Gleichung erfüllt.
Zusammenfassend verbietet die Eindeutigkeit des Spektrums für den einfachen harmonischen Oszillator die Existenz von nicht ganzzahligen Operatoren. Trotzdem wäre es sehr aufschlussreich, einen Nichtexistenzbeweis zu haben, der nicht auf das Spektrum zurückgreift.
Okay, Zeit, das alles in einer Antwort zusammenzufassen.
Was zeigt Griffiths in seinem Buch? Zusammengefasst zeigt er, dass es einen Operator gibt so dass:
Der SHO-Hamiltonoperator kann geschrieben werden als
Die Kombination dieser beiden Eigenschaften impliziert, dass der Hamilton-Operator einen Satz von Leiter-Eigenzuständen hat. Diese Eigenzustände sind wie folgt definiert:
Wir definieren ein zufriedenstellender Zustand sein .
Wir definieren
Mit den beiden Eigenschaften von oben können wir das jeweils beweisen ist ein Eigenzustand mit Energie .
Wir wissen, dass es mindestens EINEN solchen gibt , weil Griffiths es ausdrücklich in seinem Buch niederschreibt und zeigt, dass es beiden erforderlichen Eigenschaften gehorcht. Die Frage ist, kann es ZWEI Operatoren mit dieser Eigenschaft geben?
Sagen wir ist ein Operator, und das gehorcht beiden Eigenschaften. Dh wir haben:
Wir folgen dem identischen Verfahren wie oben, um einen neuen Satz von Leiterzuständen zu entwickeln mit Energien . Hier gibt es drei mögliche Fälle: entweder , oder , oder Und aber irgendwie immer noch . Wir müssen zeigen, dass jede dieser Möglichkeiten unmöglich ist.
Die Beweise werden Widerspruchsbeweise sein. In jedem Fall wählen wir einen Zustand aus und zeigen, dass wir, indem wir mit einem Operator auf den Zustand einwirken, einen anderen Zustand mit niedrigerer Energie konstruieren können. Wir werden zeigen, dass dieser Prozess nicht terminiert (nicht zum Nullvektor führt), egal wie oft wir es tun. Wenn wir also lange genug fortfahren, erhalten wir negative Energiezustände. Da wir wissen, dass der einfache harmonische Oszillator keine negativen Energiezustände hat, werden wir auf einen Widerspruch stoßen.
Lass uns beginnen mit . Nehmen Sie ohne Verlust der Allgemeinheit an . Dann für einige , das werden wir haben hat eine Energie, die nicht geschrieben werden kann . Dann, indem Sie mit handeln , können wir eine ganze Leiter von Zuständen mit niedrigeren Energien erzeugen. Der Staat hat Energie . Wir wissen das wird nie gleich sein , Weil hat nie die gleiche Energie wie . Aber seit ist der eindeutige Vektor, der erfüllt , das heißt, dieser Prozess kann niemals enden; jeden ergibt einen Vektor ungleich Null im Hilbert-Raum. Indem groß, können wir machen negative Energie haben. Aber die SHO ist streng positiv, also ist dies unmöglich. Wir kommen zu dem Schluss, dass wir nicht haben können .
Nehmen wir nun an , Aber . WLOG, nehme an . Dann hat Energie , während hat Energie . Insbesondere seit ist der eindeutige Zustand, der erfüllt , Einwirken auf mit erzeugt Zustände willkürlich negativer Energie. Der Staat hat Energie , die beliebig negativ werden kann, wenn wir groß wählen . Daraus schließen wir, dass wir nicht haben können .
Endlich sagen Und . Das wollen wir zeigen Und sind im Wesentlichen gleich.
Wir kennen die Matrixelemente von werden von gegeben
Weil erzeugt die gleiche Leiter von Energien und das Spektrum von ist nicht entartet, verbindet die gleichen Zustände wie , bis Phasen:
Das ist das Beste, was Sie tun können: Sie DÜRFEN einen zufälligen Leiteroperator auswählen, der Ihren Zuständen Phasen hinzufügt, wenn Sie die Leiter hinauf und hinunter gehen. Aber das ist die einzige Freiheit, die Sie haben. Phasen sind für die Geschichte nicht wirklich wichtig, daher sollten Sie die Leiteroperatoren als im Wesentlichen einzigartig betrachten. Insbesondere können Sie keinen Leiteroperator mit einer anderen niedrigsten Sprosse haben (anders ), und Sie KÖNNEN KEINEN Leiteroperator mit einem anderen Abstand haben (anders ).
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QMechaniker
Jahan Claes