(Die Idee zu dieser Frage kam aus meiner Antwort auf die Einzigartigkeit der Quantenleiter für den harmonischen Oszillator. )
Der Hamiltonian für harmonische Quantenoszillatoren können in Form von Leiteroperatoren geschrieben werden Und als
Jeder Betreiber so dass , Wo eine Zahl ist, erzeugt den gleichen Effekt und erhält neue Eigenwerte und Eigenzustände:
Können Operatoren mit nicht ganzzahligem Grad definiert werden?
Zum Beispiel, wenn der Betreiber kann dann definiert werden
Ein Operator wie der obige würde ein anderes Spektrum erzeugen, und es ist allgemein bekannt, dass dies in den folgenden Fragen nicht möglich ist:
Die Antwort auf die obige Frage ist also negativ, aber alle oben zitierten Antworten greifen auf das tatsächliche Spektrum zurück, um einen Beweis zu erhalten, und meine eigentliche Frage lautet:
Ist es möglich, diese nicht ganzzahligen Potenzen der Operatoren zu beweisen? Und gibt es nicht ohne Rückgriff auf das Spektrum?
Ich meine, ein solcher Beweis, dass Leiteroperatoren keine Umkehrung für endlichdimensionale Vektorräume haben: wenn der Leiteroperator hat dann umgekehrt , aber die Spur der linken Seite ist Null, während die Spur der rechten Seite es nicht ist, ein Widerspruch.
Bei der Ortsdarstellung stellt sich die Frage, ob Differentialoperatoren wie z existieren. Ich suche viel nach gebrochenen Differentialoperatoren, aber ich habe nichts gefunden, was mir helfen könnte. Ich dachte beim Ausdrücken des Operators als und Entwicklung der zweiten Quadratwurzel als Potenzreihe, aber es gibt einige Mehrdeutigkeiten wie Und pendeln nicht.
Die Antwort ist negativ. Angenommen, Ihre Operatoren könnten auf einer Domäne definiert werden, die die natürliche Domäne von enthält (gleichgültig aus schnell verschwindenden glatten Funktionen oder allen möglichen endlichen Linearkombinationen von Vektoren ). Und nehmen Sie an, dass sie dort die "anomale" Kommutierungsbeziehung erfüllen, auf die Sie hinweisen.
Infolgedessen würden sie, wie Sie bemerken, ein anderes Spektrum für erzeugen auf der besagten Domäne. Folglich auch jede selbstadjungierte Erweiterung von würde ein anderes Spektrum gewinnen.
Seit auf seinem natürlichen Bereich im Wesentlichen selbstadjungiert ist , gibt es nur eine selbstadjungierte Erweiterung von und das Spektrum dieser einzigartigen Erweiterung ist das bekannte. Das Spektrum ist daher starr festgelegt und Ihre Operatoren können nicht existieren: Jeder Versuch, sie zu definieren, würde auf der Ebene der Domänen auf einige Hindernisse stoßen.
Betrachten wir der Einfachheit halber die Quadratwurzel als Beispiel für eine nicht ganzzahlige Potenz. Quadratwurzeln von Operatoren werden normalerweise nur für semipositive Operatoren definiert, aber sind nicht einmal normale Operatoren , vgl. die CKR
Wenn wir diese Tatsache jedoch ignorieren, müssen wir Konsequenz fordern
Wenn wir jedoch bereit sind, auch dies zu ignorieren, sollten wir als nächstes eine konsistente Formel für finden
Wir vermuten, dass die entsprechende Formel (3) eine unendliche Reihe ist
Eine nicht-triviale Konsistenzprüfung von Gl. (4) (was wir nicht durchgeführt haben) ist, ob die Operatorzusammensetzung mit der Regel (4) assoziativ bleibt.
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Benutzer135626
Valter Moretti