Betrachten Sie den standardmäßigen harmonischen Quantenoszillator. .
Wir können dieses Problem lösen, indem wir die Leiteroperatoren definieren und . Man kann zeigen, dass es einen eindeutigen "Grundzustands"-Eigenvektor gibt mit und außerdem das bei einem beliebigen Eigenvektor von mit Eigenwert , der Vektor ist auch ein Eigenvektor von mit Eigenwert .
Es wird jedoch normalerweise angegeben, dass wir jetzt alle Eigenvektoren von haben indem alle Vektoren der Form betrachtet werden .
Woher wissen wir, dass wir bei diesem Prozess keine Eigenvektoren übersehen haben? zB woher wissen wir, dass Eigenwerte nur von der Form sind ?
Auch eine etwas technischere Frage, woher wissen wir, dass das kontinuierliche Spektrum von ist leer?
Die technischen Details, mit denen ich arbeite, sind die und alle Operatoren ( ) sind im Schwartz-Raum definiert, so dass sie im Wesentlichen selbstadjungiert sind, wobei ihre eindeutigen selbstadjungierten Erweiterungen den tatsächlichen Observablen entsprechen.
Es genügt zu beweisen, dass die Vektoren bilden eine Hilbert-Basis von . Diese Tatsache kann durch die Verwendung der Leiteroperatoren nicht vollständig festgestellt werden. Um zu beweisen, dass die Spanne der oben erwähnten Vektoren im Hilbert-Raum dicht ist, sollte man den expliziten Ausdruck der Wellenfunktionen der besagten Vektoren aufschreiben, wobei man anerkennt, dass sie die wohlbekannte Hilbert-Basis der Hermite-Funktionen sind. Da die Vektoren sind eine Hilbert-Basis, aus Standardergebnissen der Spektraltheorie, der Operator
Ich bin kein Experte, aber ich kann mir zwei Möglichkeiten vorstellen, warum es nicht mehr Eigenwerte als die von Ihnen erwähnten gibt.
1) Die mit den erwähnten Eigenwerten assoziierten Eigenzustände bilden eine vollständige Basis, und daher würde jede Hinzufügung eines neuen Eigenwerts die Hinzufügung eines zusätzlichen Eigenvektors implizieren, der orthogonal zu allen anderen, aber ungleich Null ist, was absurd ist.
2) Konkreter gesagt, wenn Sie einen anderen Eigenwert als diese hätten, könnten Sie den Vernichtungsoperator oft genug anwenden, um einen Eigenwert zu erhalten, der durch die Einschränkungen des Hamiltonian verboten ist
Auf den Kontinuumsteil des Spektrums habe ich keine Antwort und ich würde gerne eine lesen
Ein nettes Argument findet sich im Buch von EECommins, Abschnitt 6.13.1. Ich gebe hier eine kurze Skizze:
QMechaniker
blauvonblau