Zweiter Hauptsatz der Thermodynamik von Schwarzen Löchern

Der Beweis ist sehr einfach, Hawking sah es blitzartig. Während ich dies schrieb, fand ich den Beweis auf der Wikipedia-Seite für die Raychoudhuri-Gleichung. Um es zu verstehen, gibt es drei Hintergrundergebnisse, mit denen Sie sich wohl fühlen müssen.

Der Horizontbereich ist physikalisch sinnvoll

Bei drei nahezu parallelen, infinitesimal getrennten Lichtstrahlen im Minkowski-Raum, die sich senkrecht zu ihrer Trennebene bewegen, können Sie die Fläche definieren, die sie überspannen, indem Sie sie mit einer Raumzeitebene schneiden und fragen, welche Fläche in dem Dreieck enthalten ist, das sie bilden . Anders als in der euklidischen Geometrie, wo dies für keine Fläche gilt, hängt in der Minkowski-Geometrie die Fläche dieses Dreiecks nicht von der Ausrichtung der Ebene ab. Mit anderen Worten, Sie können jeden der drei Schnittpunkte auf dem Lichtstrahl nach oben und unten verschieben, ohne die Fläche des Dreiecks zu verändern.

Um dies zu sehen, beachten Sie zunächst, dass, wenn Sie zwei parallele Lichtstrahlen l, l' haben, deren Trennung senkrecht zu ihrer Bewegungslinie ist, und Sie eine Linie zwischen zwei Punkten auf l bzw. l' haben, die Länge dieser Linie dies nicht tut hängt davon ab, welche zwei Punkte es verbindet. Die Länge s im Minkowski-Raum ist definiert durch

$s^2= A\cdot A$

und wenn Sie einen Nullvektor N zu A hinzufügen, bleibt das Ergebnis unverändert, weil$A\cdot N$und$N \cdot N$sind beide Null. Das bedeutet, dass Sie, wenn Sie drei Lichtstrahlen haben, die sich alle in die gleiche Richtung bewegen und senkrecht zur Bewegungsrichtung getrennt sind, drei beliebige Punkte dieser Strahlen verbinden und die drei Seitenlängen des resultierenden Dreiecks gleich sind. Seite-Seite-Seite-Kongruenz gilt auch im Minkowski-Raum (wenn die Seitenlängen ungleich Null sind).

Die Fläche eines Schwarzen Lochs ist also gut definiert – schneiden Sie die Oberfläche in unendlich kleine Dreiecke auf, die nahe an einer raumähnlichen Oberfläche liegen, die den Horizont schneidet, und egal, welche Ausrichtung diese Dreiecke mit den Lichtstrahlen haben, Sie erhalten die gleiche Antwort . Dies ist ein wichtiger Punkt, der in üblichen Behandlungen nicht gut erklärt wird.

Abweichungsgleichung

Wenn sich zwei parallele Geodäten entlang einer gemeinsamen Richtung mit einem Abstand bewegen$\Delta$, können Sie sich ihre relative Dynamik als durch ein Newtonsches Gesetz bestimmt vorstellen. Parametrisiert man die Raumzeit in einer Nachbarschaft von einem von ihnen mit lokalen Koordinaten, wird die Abweichung des anderen durch Erweitern der Bogenlängenformel auf zweite Ordnung bestimmt. Das Ergebnis ist eine Bewegung mit einer linearen Rückstell-/Ausstoßkraft.

Die Federkonstante der Rückstell-/Ausstoßkraft ist eine der äquivalenten bestimmenden Eigenschaften der Riemann-Krümmung:

${d^2 \Delta^\mu\over d\tau^2} = R^\mu_{\nu\sigma\lambda} \Delta^\nu \dot{x}^\sigma\dot{x}^\lambda$

Stellen Sie sich einen Simplex vor, der aus nahegelegenen Punkten besteht, die auf einer bestimmten unendlich kleinen raumähnlichen Ebene liegen, und lassen Sie diese Punkte sich entlang der zeitähnlichen Richtung senkrecht zur Ebene bewegen. Die Rate, mit der der Logarithmus ihres Volumens als Funktion ihrer gemeinsamen Eigenzeit s zunimmt, wird als Expansion bezeichnet$\theta$. Die Ableitung von$\theta$ist interessant, weil es die Ricci-Spur des Riemann-Tensors nimmt, wenn Sie es in Bezug auf die obige geodätische Abweichung auswerten:

${d\theta \over ds} = - {1\over 2}\theta^2 - \sigma^2 - R_{\mu\nu} \dot{x}^\mu \dot{x^\nu}$

Wo$\sigma$ist nicht wichtig, weil es immer einen negativen Beitrag leistet. Dies ist die Raychoudhuri-Gleichung (für verschwindende Vorticity – die Vorticity verschwindet für diese parallelen, infinitesimal getrennten Geodäten für alle Zeiten, weil die Krümmungskräfte Hooke-Federn sind, die nach innen und nach außen gerichtet sind). Für Nullpfade wird das Volumen zu einer Fläche (zwei der senkrechten Spannrichtungen des Simplex werden parallel), und die Eigenzeit wird zum affinen Parameter.

Beachten Sie, dass bei einem Nullvektor wie$\dot{x}$,$T_{\mu\nu}$ist gleich$R_{\mu\nu}$, wenn also die schwache Energiebedingung gilt, ist diese Größe immer positiv. Dies sagt Ihnen, dass die Divergenz, sobald sie negativ ist, in einer endlichen Zeit auf minus unendlich abstürzen muss. Wenn die Fläche eines kleinen Dreiecks paralleler Lichtstrahlen zu irgendeinem Zeitpunkt entlang ihres affinen Parameters abnimmt, wenn die schwache Energiebedingung erfüllt ist, dann wird diese Fläche nach einem endlichen affinen Parameter auf eine Nullfläche zusammenbrechen. Dies bedeutet, dass etwa zwei benachbarte Geodäten in der Kongruenz kollidiert oder "fokussiert" sind.

Fokussierungssatz

Wenn zwei benachbarte Geodäten kollidieren, können sie aus einem einfachen Grund nicht die "kürzesten" Wege zwischen ihren Endpunkten sein: Erstens sind die Abweichungen zwischen ihnen immer in der ersten infinitesimalen Ordnung, so dass sie die gleiche Bogenlänge haben (aus dem gleichen Grund wie Partikel die sich langsam relativ zueinander bewegen, stimmen über ihre gemeinsame Newtonsche Zeit überein, und dieser Begriff erstreckt sich auf affine Parameter durch Grenzen). Wenn die Geodäten 1 und 2 am Punkt P begonnen haben, für eine Weile parallel verlaufen und sich dann schneiden, können Sie 1 von P bis zum Schnittpunkt folgen, dann 2 bis zum Ende folgen, und dies ist die gleiche Länge wie 2 bis zum Ende P bis zum Ende. Aber der erste Weg biegt um eine Ecke. Wenn Licht um eine Ecke biegt, ist es möglich, es mit einem zeitähnlichen Pfad einzuholen, also am Schnittpunkt vorbei,

Dies gilt für zwei Geodäten, die in einer Richtung senkrecht zu einer bestimmten raumähnlichen Ebene beginnen, genauso gut wie für diejenigen von einem gemeinsamen Punkt, wobei "Entfernung vom Punkt" durch "Entfernung von der Ebene" ersetzt wird.

Der Flächensatz

Der Ereignishorizont eines Schwarzen Lochs ist definiert als jene Lichtpfade, die gerade noch nicht entkommen. Wenn die Lichtstrahlen nur ein wenig nach außen gedrückt werden, entweichen sie ins Unendliche, und wenn sie nur ein wenig nach innen gedrückt werden, werden sie in das Schwarze Loch gesaugt. Das bedeutet, dass jedes massive Objekt, das auf diese Lichtstrahlen trifft, diese Lichtstrahlen niemals einholen kann, es muss in das Schwarze Loch fallen.

Hawkings Erkenntnis war, dass, wenn die Fläche in einem beliebigen kleinen Dreieck an diesem Horizont zu irgendeinem Zeitpunkt abnimmt, sie in einem endlichen affinen Parameter auf Null fallen muss. Dies bedeutet, dass sich zwei nahegelegene Null-Geodäten auf die Verlängerung dieses Simplex-Vorwärts-in-affinen Parameters konzentrieren werden. Aber das bedeutet, dass ihre Verlängerung durch einen zeitähnlichen Pfad mit dem ursprünglichen Simplex verbunden sein kann, sodass ihre Verlängerung innerhalb des Schwarzen Lochs sein muss, was bedeutet, dass sie nicht auf der Grenze sein können.