Was sind Beispiele für Lagrangianer, die nicht die Form T−UT−UT-U haben?

Für ein relativistisches freies Teilchen würden Sie denken, dass die Lagrange-Funktion ähnlich wäre

und sind nicht gleich. Diese Wahl (2) des kinetischen Begriffs ergibt einen kanonischen Impuls

so wie es sein sollte.

Nur ein paar Bemerkungen. Der zweite ist meiner Meinung nach der interessanteste.

(1) Der Lagrange-Operator eines geladenen Teilchens in einem zugewiesenen elektromagnetischen Feld hat immer noch einen Lagrange-Operator${\cal L}= T-U$, Aber hier$U$ist keine standardmäßige positionsabhängige Funktion, da sie im Allgemeinen auch davon abhängt$\dot{q}$Und$t$bekanntlich (siehe zum Beispiel Jacksons Lehrbuch).

Der Unterschied zwischen der Struktur von$T$Und$U$ist nun, dass die Abhängigkeit von$U$An$\dot{q}$ist von erster Ordnung statt von zweiter wie in$T$. Andernfalls könnte der Determinismus („Normalität“ der Euler-Lagrange-Gleichungen) verletzt werden. Daran kann man aber nicht denken$U$als potentielle Energie. Die gleiche Struktur von$U=U(t,q, \dot{q})$entsteht, wenn man einschließt${\cal L}$Trägheitskräfte beim Arbeiten in einem generischen nicht-trägheitsbezogenen Bezugssystem.

(2) Betrachten Sie ein klassisches Teilchen auf der realen Linie, das in eine Flüssigkeit eingetaucht ist und eine Reibungskraft erzeugt$-\gamma v$, mit$\gamma>0$Konstante. Wir können auch annehmen, dass es eine Positionskraft mit potentieller Energie gibt$U=U(x)$.$m>0$ist die Masse des Teilchens und wir verwenden seine Koordinate$x$als Lagrange-Koordinate. Dieses System ist unter Zeitumkehr nicht invariant, es gibt jedoch eine Lagrange-Funktion für dieses System:

Tatsächlich erzeugt es sofort die korrekte Newtonsche Gleichung:

In einem seiner klassischen Mechanik-Vorträge (ich glaube der neueste Satz) beantwortete Leonard Susskind eine ähnliche Frage, indem er sagte (und ich kann nicht direkt zitieren, weil ich das Video nicht vor mir habe), dass Lagrange-Funktionalitäten einfach Funktionen sind, die zu führen die richtigen Bewegungsgleichungen. Ich werde hinzufügen, dass diese Bewegungsgleichungen gelöst und das resultierende Verhalten mit der Natur als Korrektheitstest verglichen werden kann. Susskind fuhr fort, dass es keine Regel gibt, dass die Lagrangedichte eines Systems T - U sein muss und dass es "Kreuzbegriffe" geben kann, die bestimmte Wechselwirkungen beschreiben. Er ging noch weiter, um etwas zu sagen, das mir wirklich im Gedächtnis geblieben ist, und das heißt, wenn wir Kalkül lernen, fragen wir nie: "Woher bekommen wir die Funktionen, die wir zu analysieren lernen?" Wir erfinden sie im Grunde oder erraten sie oder leiten sie aus beobachteten Verhaltensweisen ab (zumindest in der Physik). Diese Aussage schien mir ziemlich tiefgreifend.

Der Punkt ist für einen nicht mathematisch bewanderten Physiker ziemlich subtil, da die Unterscheidung ziemlich technisch ist. Gemäß Arnold (siehe Referenzen) geben wir die folgenden Definitionen.

Definition. Lassen$M$sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit,$TM$sein Tangentenbündel und$L : TM \to M$eine differenzierbare Anwendung. Eine Bewerbung$\gamma : \mathbb R \to TM$ist eine Bewegung in einem Lagrange-System mit Konfigurationsmannigfaltigkeit TM und Lagrange-Funktion$L$dann und nur dann, wenn$\gamma$ist extremal für das Funktionale

$$\begin{equation} \Phi(\gamma) = \int_{t_0}^{t_1} \mbox{dt} \, L(\dot{\gamma}). \end{equation}$$ $\dot{\gamma}$ist der Geschwindigkeitsvektor , $\dot{\gamma}(t) \in TM_{\gamma(t)}.$

Lokale Koordinaten$q_1, \dots, q_n$des Punktes$\gamma(t)$entwickeln sich nach der Euler-Lagrange-Gleichung

Nun, nehme an$M$ist eine Riemannsche Mannigfaltigkeit , also ein Paar$(M, g)$, mit$M$differenzierbare Mannigfaltigkeit u$g$eine positiv-definite quadratische Form, normalerweise angegeben als$\langle \cdot , \cdot \rangle$. In diesem Fall, und nur in diesem Fall , können wir eine kinetische Energie definieren, wie sie normalerweise gemeint ist:

Definition Let$M$sei eine Riemannsche Mannigfaltigkeit. Eine quadratische Form$K = \frac{1}{2}\langle v, v \rangle$, Wo$v \in TM_x$, definiert auf allen Tangentialbündeln , heißt kinetische Energie . Das sagen wir$U$ist eine potentielle Energie genau dann, wenn$U : M \to \mathbb R$ist eine differenzierbare Funktion.

Definition. Ein Lagrangsches System auf einer Riemannschen Mannigfaltigkeit heißt natürlich genau dann, wenn$L = K - U$, für einige$K$Und$U$zuvor definiert.

In der klassischen Mechanik beschäftigt man sich ständig mit Riemannschen Mannigfaltigkeiten (abgesehen von "pathologischen" Situationen), also kümmert ihn die Unterscheidung nicht. In der Tat, in Grundkursen, dass nie ein Problem auftritt. Aber es sollte (von Lehrern, meine ich) darauf hingewiesen werden, dass der Minkowski-Raum$\mathcal M^4$der speziellen Relativitätstheorie ist keine Riemannsche Mannigfaltigkeit, sondern eine Pseudo-Riemannsche Mannigfaltigkeit (die Metrik ist nicht positiv-definit), daher muss die Definition von Lagrangian vorsichtig sein. Es ist klar, dass die Situation in der Allgemeinen Relativitätstheorie noch "dramatischer" ist und die Definition eines Lagrangians ein nicht trivales Problem ist.

Das bekannteste Beispiel für einen solchen Lagrangian ist meines Erachtens das eines freien Teilchens in der speziellen Relativitätstheorie:$L = -mc^2 \sqrt{ 1 - \frac{v^2}{c^2} }$. (Siehe Goldstein)

Verweise. VI Arnold, Mathematische Methoden der klassischen und Himmelsmechanik , Kapitel IV.ù H. Goldstein, C. Poole, J. Safko, Klassische Mechanik , 3. Auflage, Par. 7.9.

Definition der Lagrange-Funktion

Die Definition des Prinzips der kleinsten Wirkung enthält nach Landau-Lifchitz natürlich zwei wesentliche Punkte.

• Erstens sagt es uns, dass jedes mechanische System vollständig durch eine Funktion charakterisiert ist, die von verallgemeinerten Koordinaten, von der ersten zeitlichen Ableitung der verallgemeinerten Koordinaten und von der Zeit abhängt. Eine solche Funktion wird als Lagrangefunktion bezeichnet.

• Der zweite Punkt befasst sich mit dem Minimierungsproblem selbst. Die Bewegung des Systems erfüllt das Folgende. Betrachten Sie zwei unterschiedliche Zeitpunkte und die zugehörigen verallgemeinerten Koordinaten, die die Position des Systems zu diesen beiden Zeitpunkten beschreiben. Zwischen diesen beiden Punkten wird die Bewegung so ausgeführt, dass das Integral der Lagrange-Funktion zwischen diesen beiden Zeitpunkten minimiert wird.

Von dort können Sie die Lagrange-Gleichung erhalten. Darüber wird nichts gesagt$L = T-U$.

Ausdruck der Lagrange-Funktion für ein freies Teilchen

In Anbetracht eines freien materiellen Punktes entscheiden wir uns, die Bewegung in einer bestimmten Art von Rahmen zu beschreiben. Ein Rahmen, in dem der Raum als homogen und isotrop angesehen werden kann und in dem die Zeit einheitlich ist, scheint die klügste Wahl zu sein. Angenommen, ein solcher Rahmen existiert (er wird als galiläischer Referenzrahmen bezeichnet), was wäre die Form der Lagrange-Funktion?

Da der Raum homogen ist, kann die Lagrange-Funktion keinen Term enthalten, der die verallgemeinerten Koordinaten betrifft. Mit anderen Worten, die Bewegungsgesetze können nicht davon abhängen, wo sich das System tatsächlich befindet. Da auch die Zeit homogen ist, kommen wir zum gleichen Schluss, die Zeit kann im Lagrange nicht explizit vorkommen.

Der Raum ist auch isotrop, das bedeutet, dass die Bewegungsgesetze nicht von der Richtung der Bewegung im Raum abhängen können. Dann hängt die Lagrange-Funktion nur von der Norm der Geschwindigkeit und damit nicht von der Richtung des Geschwindigkeitsvektors ab. Dann hängt die Lagrange-Funktion nur vom Betrag der Geschwindigkeit oder vom Quadrat des Geschwindigkeitsvektors ab.$L = a v^2$.

Wenn Sie diese Form in die Lagrange-Gleichung einsetzen, erhalten Sie das$v^2$ist eine zeitunabhängige Konstante. Dann erhalten Sie Newtons erstes Gesetz. Die Verfolgung dieser Argumentation mit der Untersuchung von zwei galiläischen Rahmen, die sich von einem zum anderen bewegen, wird bei L enden, das proportional zum Quadrat der Geschwindigkeit ist.

Allgemeiner Ausdruck des Lagrange

Stellen Sie sich ein isoliertes System vor, das aus mehreren Teilchen besteht. Sie können die Wechselwirkungen zwischen allen Teilchen mit einer Funktion beschreiben, die nur von der Position jedes Teilchens abhängt. Sie können diese Funktion aufrufen$-U$.

Es ist wichtig zu sehen, warum diese Funktion nicht von der Zeit abhängen kann. In der klassischen Mechanik gehen wir davon aus, dass sich die Wechselwirkung augenblicklich von einem Teilchen zum anderen ausbreitet. Dann kann die Zeit nicht explizit in dieser -U-Funktion erscheinen.

Daher ist die allgemeine Form der Lagrange-Funktion$L = T-U$. Unter Verwendung der Gleichmäßigkeit der Zeit und der Lagrange-Gleichungen können Sie feststellen, dass eine bestimmte Größe nicht von der Zeit abhängt:

Das Aktionsintegral kann in der Form "Jacobi-Aktion" vorliegen, die wie folgt aussieht:

wo normalerweise$E$ist konstant,$V=V(x)$ist die potentielle Energie, und$T=2m$ist die kinetische Energie.

Mehr dazu siehe:

1. Brown, JD und JW York (1989). "Jacobis Aktion und die Wiederherstellung der Zeit in der allgemeinen Relativitätstheorie". Körperliche Überprüfung D40 , 3312–3318. doi:10.1103/PhysRevD.40.3312 .
2. Lanczos, C. (1970). Die Variationsprinzipien der Mechanik . University of Toronto Press, Toronto.

Es gibt viele andere Versionen zur Ableitung der Bewegungsgleichungen aus der Variationsrechnung, siehe:

1. Spivak, M. (2010). Physik für Mathematiker, Mechanik I . Veröffentliche oder untergehe.

I) Es ist interessant zu beobachten, dass der Hamiltonoperator$H=\frac{p^2}{2m}+U$von der Form kinetische plus potentielle Energie ist, dann die sogenannte Hamiltonsche Lagrangedichte

hat auch die Form kinetische minus potentielle Energie , wenn wir eine von Hamiltons Gleichungen verwenden$p\approx m \dot{q}$. Off-Shell ist eine solche Interpretation schwieriger. (Hier beziehen sich die Wörter on-shell und off-shell darauf, ob die Bewegungsgleichungen (eom) erfüllt sind oder nicht.)

II) Ein allgemeinerer Hamiltonian Lagrangeian ist von der Form

Wo$z^I$sind die grundlegenden Variablen in der Theorie,$\theta=\theta_I(z) \mathrm{d}z^I$ist eine (prä)symplektische potentielle Einsform,$H=H(z)$ist der Hamiltonoperator,$\lambda^a$sind Lagrange-Multiplikatoren und$\chi_a=\chi_a(z)$sind Einschränkungen. Es gibt mehrere Mechanismen in der Hamiltonschen Formulierung, die eine Interpretation als kinetische minus potentielle Energie für die Hamiltonsche Lagrangefunktion erschweren oder sogar verhindern könnten$L_H$:

• a) Der Hamiltonoperator$H$hat nicht die Form kinetische plus potentielle Energie.

• b) Einschränkungen$\chi_a$sind nur mit der Schale zufrieden . Off-Shell, der Begriff$\lambda^a \chi_a$hat keine Interpretation als kinetische oder potentielle Energie.

• c) Die Zweierform$\omega= \mathrm{d}\theta$kann entartet sein, dh der Phasenraum kann eher präsymplektisch als symplektisch sein. In solchen Fällen gibt es keinen Satz von Darboux , um dies sicherzustellen$\theta$ist lokal von der Form$p_i \mathrm{d}q^i$.

III) Wenn OP nur ein einfaches Beispiel möchte, hier ist ein Beispiel eines freien Punktteilchens in zwei Dimensionen [1]

Diese Lagrange-Funktion (C) unterscheidet sich von der kinetischen Energie und der Standard-Lagrange-Funktion

Die Euler-Lagrange-Gleichungen sind jedoch dieselben:

Es ist eine einfache Übung zu überprüfen, ob Lagrange (C) im Sinne von OP 1 & 2 nicht trivial ist, dh dass der Unterschied zwischen$L$Und$L_0$(wobei letzteres mit einer Konstanten multipliziert wird$\alpha$) ist niemals eine Gesamtzeitableitung:

Hinweis zum Beweis von Gl. (F): Es genügt zu prüfen, ob die funktionale Ableitung von$\int \! \mathrm{d}t~(L-\alpha L_0)$ist ungleich Null. Warum?

IV) Ein weiteres elementares Beispiel finden Sie in diesem Phys.SE-Beitrag.

Verweise:

1. M. Henneaux, Bewegungsgleichungen, Vertauschungsbeziehungen und Mehrdeutigkeiten im Lagrange-Formalismus, Ann. Phys. 140 (1982) 45 .

Soweit ich weiß, in der klassischen Mechanik$L$ist genau definiert als Differenz zwischen kinetischer und potentieller Energie. Umgekehrt ist es der Hamilton-Operator , der nicht immer gleich ist$T+U$, und sollte als Legendre-Transformation von Lagrange definiert werden.

In komplizierteren Modellen, wie in der Feldtheorie, könnte die Lagrange-Funktion komplizierter sein. Dies liegt daran, dass Lagrangeoperatoren als Hamiltonoperatoren in der Quantenmechanik nicht durch eine universelle Regel oder durch ein Theorem bestimmt sind. Sie werden nur gewählt , weil sie funktionieren , dh wegen einer Analogie zur klassischen Mechanik, oder weil sie zu physikalisch verifizierten Euler-Gleichungen führen. In diesem Fall gibt es keinen besonderen Grund, warum ein Lagrangian in zwei verschiedene trennbar sein sollte$U$Und$T$Bedingungen.

Um die Feldgleichungen der Allgemeinen Relativitätstheorie (im Vakuum) abzuleiten, ist die Lagrange-Dichte einfach der Ricci-Skalar, der Abweichungen von der flachen Raumzeit misst. Dies ist ein gutes Beispiel für eine Lagrange-Funktion, die keine wirkliche „Energie“-Interpretation hat: Im Vakuum gibt es in der klassischen Mechanik eindeutig keine Energie!

Beachten Sie auch, dass es viele Beispiele in der Strömungsmechanik gibt, wo$L\neq T-V$. Insbesondere wenn der Eulersche Referenzrahmen verwendet wird. Zum Beispiel wird der Lagrangian für drehungsfreie Gravitationswellen an der Tiefwasseroberfläche geschrieben als

$L = \int \left(\int_{-\infty}^{\eta} \phi_t +\frac{1}{2}(\nabla \phi)^2 \ dz \right)+ \frac{g}{2}\eta^2 \ dx$

Wo$\phi$ist das Geschwindigkeitspotential,$g$ist die Erdbeschleunigung und$\eta$ist die Oberflächenhöhe. In diesem Fall,$L\neq T-V$, vielmehr können wir ihn als (minus) Druck an der freien Oberfläche erkennen. Dies ist der Fall, weil die Transformation von Lagrange-Variablen (im Sinne von Partikeln in der Flüssigkeit) zu Euler-Variablen nicht kanonisch ist .

Beachten Sie auch, dass die Lagrange-Dichte bis zur Multiplikation mit Konstanten und der Addition perfekter Gradienten eine einzigartige Dynamik ergibt.

Ich habe das kanonische Beispiel immer als Lagrangian für eine Punktladung (mit Ladung$q$und Masse$m$) in einem externen EM-Feld:$L(\vec{x},\vec{v}) = \frac{1}{2} m v^2 -q \phi + q \vec{A}(\vec{x}) \cdot \vec{v}$, Wo$\phi$ist das skalare Potential für das elektrische Feld, und$\vec{A}$ist das Vektorpotential für das Magnetfeld.

Ich nehme den Fall an, dass Sie schreiben können$L=T-U$hat die Struktur

Die 2+1D-Chern-Simons-Theorie ist ein Beispiel, das in dieser Form nicht geschrieben werden kann.

Für Nicht-Abelianer hat Chern-Simons die Aktion

Sogar für die abelsche Chern-Simons-Theorie hat die Wirkung,

Das Eichfeld der Abelschen 1-Form hat$a=a_0 dt+a_1 dx_1+a_2 dx_2$Wenn Sie sich für eine zeitliche Anzeige entscheiden$a_0=0$, werden Sie sehen, dass die abelsche Chern-Simons-Theorie die Form hat:

Durch Identifizieren$a_1 \sim x$Und$a_2 \sim y$, so effektiv ist Lagrange wie:

Wo$\vec{q}=(x,y)$Und$\vec{A}=(A_x,A_y)=\frac{k}{4\pi}(y,-x)$.

Tatsächlich ist es wie ein quantenmechanisches Problem – ein Teilchen mit Verschiebung$\vec{q}$Bewegung in einem homogenen Magnetfeld:$B=\nabla \times A=-\frac{k}{2\pi} \hat{z}$.

Sie sehen, dass die Chern-Simons-Theorie abgeleitet wird$L=\frac{k}{4\pi} \big( \dot{x}\;y -\dot{y}\;x\big) = \dot{\vec{q}} \cdot \vec{A}(x,y)$folgt dieser Struktur nicht$L=T(\dot{q})-U(q)$.

Ein weiteres Beispiel, das die Antwort von Qmechanic erweitert, kann der harmonische 2D-Oszillator mit dem Lagrange sein:

$L = m\dot{q}_1\dot{q}_2 - m\omega^2q_1q_2$

Dieser Lagrangian hat das gleiche EoM wie der übliche harmonische Standardoszillator, aber er ist ganz anders, das Noether-Theorem bringt die üblichen Symmetrien und die Erhaltungsgrößen, zum Beispiel den Drehimpuls, durcheinander$l = m(q_1\dot{q}_2-q_2\dot{q}_1)$hat eine Quetschsymmetrie, die damit verbunden ist:

es ist irgendwie seltsam, aber eine nette Sache.

Bei skalaren Feldern nimmt die Lagrange-Funktion nicht mehr die Form kinetische minus Potential an, sondern wird verallgemeinert als kinetische Energie minus Gradientenenergie minus potentielle Energie.