Warum können die Navier-Stokes-Gleichungen nicht aus der First-Principle-Physik abgeleitet werden?

Keine der interessanten Gleichungen in der Physik kann aus einfacheren Prinzipien abgeleitet werden, denn wenn sie es könnten, würden sie keine neuen Informationen liefern. Das heißt, diese einfacheren Prinzipien würden das System bereits vollständig beschreiben. Jede neue Gleichung, seien es die Navier-Stokes-Gleichungen, Einsteins Gleichungen, die Schrödinger-Gleichung oder was auch immer, muss mit den bekannten einfacheren Prinzipien übereinstimmen, aber sie muss auch etwas Neues enthalten.

In diesem Fall scheinen Sie den Eindruck zu haben, dass ein Versuch, die Navier-Stokes-Gleichungen herzuleiten, auf eine unüberwindbare Hürde stößt und daher scheitert, aber das ist nicht der Fall. Wenn Sie nach Ableitungen der Navier-Stokes-Gleichungen suchen, werden Sie Dutzende solcher Artikel finden, darunter (wie üblich) einen auf Wikipedia . Dies sind jedoch keine Ableitungen in dem Sinne, dass Mathematiker aus einigen anfänglichen Axiomen Theoreme ableiten, weil sie einige zusätzliche Annahmen erfordern, zum Beispiel, dass der Spannungstensor eine lineare Funktion der Dehnungsraten ist. Ich nehme an, das meint Putterman.

Später:

Phil H stellt mich in einem Kommentar zur Rede , und er hat recht damit. Mein erster Absatz überzeichnet den Fall erheblich, da die Anzahl der Gleichungen, die ein grundlegend neues Prinzip einführen, sehr gering ist.

Meine Antwort zielte darauf ab zu erklären, warum Putterman sagt, dass die Navier-Stokes-Gleichungen nicht abgeleitet werden können, aber tatsächlich können sie es sein, wie dies bei den meisten Gleichungen der Fall ist. Die Physik basiert auf Reduktionismus , und obwohl ich zögere, mich in tiefe philosophische Gewässer zu wagen, meinen Physiker damit im Grunde, dass alles aus einer kleinen Anzahl von Grundprinzipien erklärt werden kann. Das ist der Grund, warum wir (einige von uns) glauben, dass es eine Theorie von allem gibt. Wenn eine solche Theorie existiert, könnten die Navier-Stokes-Gleichungen im Prinzip, wenn auch nicht in der Praxis, daraus abgeleitet werden.

Eigentlich könnten die Navier-Stokes-Gleichungen im Prinzip aus einer statistisch-mechanischen Behandlung von Fluiden abgeleitet werden. Sie erfordern keine neuen Prinzipien (zB Relativitätstheorie oder Quantenmechanik), die nicht bereits in einer theoretischen Behandlung idealer Fluide enthalten sind. In der Praxis sind sie nicht ableitbar, da diese Ableitungen eher auf einem Kontinuumsansatz als auf einer wirklich fundamentalen Behandlung beruhen.

Sie sind aus der klassischen Mechanik unter Verwendung des Kontinuums oder der molekularen Sichtweise ableitbar.

Beginnend mit einer Kontinuumsansicht wendet man die Erhaltung von Masse, Impuls und Energie auf ein Kontrollvolumen an und das Ergebnis sind die Navier-Stokes-Gleichungen. Die Navier-Stokes-Gleichungen gelten in der üblichen Form für Newtonsche Flüssigkeiten, das heißt Flüssigkeiten, deren Spannung und Dehnungsgeschwindigkeit linear zusammenhängen. Man könnte dies als Annahme ansehen, aber es kann auch als erster Term in einer Erweiterung des Potenzgesetzes angesehen werden.

Aus mikroskopischer Sicht kann man die Navier-Stokes-Gleichungen ableiten, indem man Momente der Boltzmann-Gleichung nimmt. Bei diesem Ansatz erscheint die lineare Beziehung zwischen Spannung und Dehnungsrate natürlicherweise als erster Term in der Chapman-Enskog-Erweiterung.

Viele Lehrbücher über Fluide für Studenten enthalten eine Ableitung aus der Sicht des Kontinuums. Die Herleitung aus molekularer Sicht erfolgt in Erstsemesterlehrbüchern wie Introduction to Physical Gas Dynamics von Vincenti und Kruger.

Ich habe Putterman einmal nach einem ähnlichen Kolloquium gefragt, was er mit dieser Aussage meinte, und seine Antwort war "Long Time Tails". Long Time Tails sind gebrochene Potenzen, die im Langzeitverhalten von Korrelationsfunktionen auftreten, siehe zum Beispiel hier und hier . Diese gebrochenen Potenzen werden in der Molekulardynamik gesehen (sie sind experimentell schwieriger zu sehen), aber sie werden nicht von der Navier-Stokes (NS)-Gleichung berücksichtigt, und es ist nicht ganz offensichtlich, wo diese Effekte in den Standardableitungen von versteckt sind die NS-Gleichung aus der kinetischen Theorie.

Lange Zeitschwänze hängen mit Schwankungen zusammen und spiegeln somit letztendlich die Tatsache wider, dass jede grobkörnige Beschreibung von einer Skala abhängen muss und dass die allgemeinste Theorie von Nichtgleichgewichtskorrelationsfunktionen bei großen Entfernungen und langen Zeiten mehr als beinhalten muss eine deterministische, kontinuierliche partielle Differentialgleichung wie die Navier-Stokes-Gleichung.

Die Rolle von Rauschtermen wurde von einer Reihe von Personen untersucht, beginnend mit Landau und Lifschitz. Die grundlegenden Schlussfolgerungen sind:

1) Es gibt eine systematische Niederenergietheorie (Langzeittheorie) von Korrelationsfunktionen, die eine Gradientenerweiterung der konservierten Ströme und eine Mittelung über Rauschterme beinhaltet, die durch Fluktuations-Dissipations-Beziehungen festgelegt sind. Die Navier-Stokes-Näherung entspricht linearen Ableitungen im Spannungstensor und keinen Rauschtermen. Dies ist eine konsistente Annäherung in drei Dimensionen (aber nicht in zwei).

2) Bei höherer Ordnung müssen Rauschterme eingeschlossen werden, und kinetische Koeffizienten werden maßstabsabhängig. Die hydrodynamischen Gleichungen erfordern einen Grenzwert, und das Beste, worauf wir hoffen können, ist, dass Niedrigenergie-(Langzeit-)Vorhersagen in der Niedrigenergieausdehnung Reihenfolge für Reihenfolge grenzwertunabhängig sind.

Die erste Frage ist, welche Grundprinzipien man erwarten würde, um die Navier-Stokes-Gleichungen abzuleiten.

Diese Frage ist einfach. In der Physik spricht man von einer Berechnung nach den ersten Prinzipien oder ab initio, wenn sie direkt auf der Ebene etablierter physikalischer Gesetze beginnt und keine Annahmen wie empirische Modelle und Anpassungsparameter trifft.

Und die zweite und wichtigste Frage lautet: Warum schlägt eine Ableitung fehl?

Das Hauptproblem in Turbulence ist die Skalierung. Wir müssen empirische Faktoren verwenden, um die Ergebnisse zu korrigieren, wenn die Abmessungen des Systems geändert werden. Aufgrund der Komplexität von 3D-Strömungsgleichungen hat dieses Schlüsselproblem zu einer Situation geführt, in der praktisch alle Problemlösungsbemühungen versuchen, die Verbindung zwischen gemessenen Daten und den Gleichungen selbst mathematisch zu finden.
Dies muss fehlschlagen, weil die aktuellen Gleichungen FALSCH sind. ( Feynman, Key to Science )
Dies kommt von der einfachen Tatsache, dass es mit dem Experiment nicht übereinstimmt.

Vermissen wir einige noch zu entdeckende Grundprinzipien in diesem Bereich der Physik?

Dies muss offensichtlich der Fall sein. Und da die Gleichungen offensichtlich nicht einfacher gemacht werden können, als sie es bereits sind, müssen sie im Moment zu einfach sein. Irgendein Aspekt muss fehlen.

Ich habe persönlich eine Erfindung gemacht, die ich patentiert und auch in vollem Umfang in einem Labor getestet habe . Diese Erfindung basierte auf meiner Idee über die Ursache von Turbulenzen; und ich habe es tatsächlich geschafft, die [ lauteste Turbomaschine aller Zeiten ] 5 zu einer hocheffizienten und vibrationsfreien Laufmaschine zu machen.

Ich habe die Turbulenzen wirklich getötet. Dies führte dazu, dass wir im Labor ein 3-Loch-Pitotrohr aufgrund einer laminarähnlich schwankenden Strömung zerstörten. Die Strömung war einfach nicht turbulent, wie man es erwarten würde.

Die Lösung basierte auf der Idee, dass ich verhindern muss, dass die Flüssigkeit aufgrund eines plötzlichen Schocks "in Stücke zerbricht". Dies bedeutete in meinen Augen, dass die viskosen Kräfte nicht durch das Fluid übertragen werden können, da es interne Oberflächen gibt, die nur durch Kollision und Reibung interagieren können.

Wenn Sie sich jetzt die Navier-Stokes-Gleichungen ansehen, stellen Sie sofort fest, dass die Viskosität einfach nicht so gehandhabt wird. Obwohl diese Idee ziemlich einfach ist und ich sofort einen gewissen Erfolg vorhersagen konnte . Es ist einfach ein mathematischer Horror, diese Aspekte zu den 3D-Navier-Stokes-Gleichungen hinzuzufügen. Zuerst brauchen wir eine maßstabsfreie Grenze und Definition, die uns sagt, wann genau wir die Viskosität berechnen sollten und wann Reibung und Kollision. Stellen Sie sich eine kinetische Gastheorie vor, bei der Sie eine von der Partikelgeschwindigkeit abhängige Partikelgröße hätten?

Aber ich habe tatsächlich den Weg gefunden, und ich konnte diese modifizierten Navier-Stokes-Gleichungen in einer solchen Angelegenheit herleiten, dass dieses "Durcheinander" statistisch wie in der kinetischen Gastheorie behandelt werden kann. Nachdem ich die Idee des Weges bekommen hatte, ging es einfach geradeaus; Die Gleichungen waren relativ einfach , und die mathematischen Ergebnisse passten perfekt zu alten Messdaten .

Nur um zu überprüfen, ob dies funktioniert, habe ich mit diesem neuen Modell auch einige turbulente Rohrströmungsverluste erfolgreich berechnet.

ANTWORTEN; Ja. Die Navier-Stokes sind unvollständig. Universelle kontinuierliche und reibungslose Lösungen gibt es nicht, da die Flüssigkeit aufgrund der Beschleunigungsbedingungen, die mit der Froude-Zahl definiert werden können, in Stücke bricht$\sqrt3$. Die Energiedissipation dieses Zusammenbruchs kann statistisch behandelt werden, und dies liefert eine perfekte Übereinstimmung mit experimentellen Daten auf allen Skalen.