Exponential oder Logarithmus einer dimensionsbehafteten Größe?

Question

Exponential oder Logarithmus einer dimensionsbehafteten Größe?

Einheiten
Physik
Dimensionsanalyse

Jika

Ich habe eine Maßeinheit, sagen wir Sekunden, $s$ . Nehmen wir außerdem an, ich habe eine dimensionale Menge $r$ das ist in Sekunden gemessen, $s$ . Was ist die Maßeinheit von $e^r$ ? ( $1/r$ ist in $Hz$ .)

Meine Frage ist allgemein, wie man das Einheitsmaß einer Transformationsfunktion findet $y=f(x)$ Wo $x$ nimmt eine bekannte Maßeinheit an. Ich gebe oben zwei Funktionen an $f(\cdot)=e^\cdot$ Und $f(.)=1/\cdot$ .

Kyle Kanos

Es sei denn

r (s)

$r(s)$ ist einheitenlos,

e^{r}

$e^r$ macht nicht viel Sinn (siehe zum Beispiel seine Definition in Bezug auf die Potenzreihe )

MüllcontainerDoofus

@Jika: Wie Kyle erwähnt hat, ist es in der Physik unmöglich, etwas von der Form zu haben

e^{r}

$e^r$ , es sei denn

r

$r$ ist einheitenlos. Wenn Sie etwas von dem Formular erhalten

e^{r}

$e^r$ Wo

r

$r$ ist nicht einheitenlos, das heißt, Sie haben irgendwo einen Fehler gemacht. Versuchen Sie, Ihre Mathematik auf Fehler zu überprüfen.

Dhruv Chadha

ln(42m)= ln(42)+ln(m) also beim Teilen von ln(10km/1km) = ln(10)+ln(km)-(ln(1)+ln(km)) = ln(10) -ln(1) = ln(10) Es wird immer noch dimmisionLess sein. Daher ist Kevins Argument ungültig.

Antworten (3)

Exponential oder Logarithmus einer dimensionsbehafteten Größe?

Es sei denn $r(s)$ ist einheitenlos, $e^r$ macht nicht viel Sinn (siehe zum Beispiel seine Definition in Bezug auf die Potenzreihe )
@Jika: Wie Kyle erwähnt hat, ist es in der Physik unmöglich, etwas von der Form zu haben $e^r$ , es sei denn $r$ ist einheitenlos. Wenn Sie etwas von dem Formular erhalten $e^r$ Wo $r$ ist nicht einheitenlos, das heißt, Sie haben irgendwo einen Fehler gemacht. Versuchen Sie, Ihre Mathematik auf Fehler zu überprüfen.
ln(42m)= ln(42)+ln(m) also beim Teilen von ln(10km/1km) = ln(10)+ln(km)-(ln(1)+ln(km)) = ln(10) -ln(1) = ln(10) Es wird immer noch dimmisionLess sein. Daher ist Kevins Argument ungültig.

Nephente · Answer 1

Die einzig sinnvolle Regel beim Arbeiten mit Einheiten ist, dass Sie nur Begriffe addieren können, die die gleiche Einheit tragen. Sagen $[x]=[y]$ , Dann $x+y$ ist einheitenweise eine gültige Aussage. Sie können auch beliebige Einheiten miteinander multiplizieren. Ob das physikalisch sinnvoll ist, ist eine andere Frage. Natürlich kann man zB Meter und Sekunden nicht addieren, sondern zur Form multiplizieren $m/s$ als Einheit für die Geschwindigkeit ist eine gültige Operation.

Daraus folgt, dass das Argument der Exponentialfunktion keine Einheit tragen darf, da die Exponentialfunktion als Potenzreihe definiert ist.

e^{X} = \sum_{N = 0}^{\infty} \frac{X^{N}}{N!}

$e^x =\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}$ Wenn

x

$x$ würde man eine Einheit tragen, sagen wir Meter, würde man hinzufügen (schematisch)

m + m^{2} + m^{3} + \dots

$m+m^2+m^3+\cdots$ , was unsinnig ist.

Wenn Sie einem Exponential, einem Sinus/Kosinus, einem Logarithmus, ... in der Physik begegnen, werden Sie fast immer feststellen, dass sein Argument, das dimensionslos sein muss, ein Produkt von oft zwei konjugierten Variablen ist. Beispiele sind Zeit und Frequenz oder Distanz und Impuls.

Leute schreiben manchmal Dinge wie $\log E$ und so weiter, mit $E$ eine Größe mit Einheiten ist, aber das wird als Abkürzung für verstanden $\log\frac{E}{E_0}$ für einen Referenzwert $E_0$ dessen Wert unerheblich ist. (Und was mich betrifft, ist es im Allgemeinen besser, es aufzuschreiben $\log\frac{E}{E_0}$ ausdrücklich.)
Ich würde sagen immer, nicht fast immer, auch wenn es vielleicht nicht ohne weiteres ersichtlich ist. Vielleicht hast du $(e^r)^k$ , Wo $k$ hat Einheiten von inversen Metern. Mit Protokollen, die Sie haben könnten $(\ln{r} - \ln{k})$ . Ein Autor könnte sich dafür entscheiden, den zweiten Begriff zu streichen, wenn er keine Rolle spielt, aber das trägt nur zur Verwirrung bei.
Eine andere gebräuchliche Notation (insbesondere in Achsenbeschriftungen) ist so etwas wie $\log(d/\mathrm{m})$ (in diesem Fall die $E_0$ David Z erwähnt, ist nur "ein Meter"), oder $\log(v/c)$ (Die " $E_0$ " ist eine Dimensionskonstante mit denselben Dimensionen wie die interessierende Größe).

linksherum · Answer 2

Siehe "Was ist der Logarithmus eines Kilometers" für eine Diskussion darüber. Wie David Z auch hier im Kommentar sagte, ist die Verwendung des Logarithmus einer dimensionsbehafteten Größe eigentlich ganz vernünftig.

Dies gilt nicht für die Exponentialfunktion. Die Potenzreihendefinition „beweist“ das, allerdings würde das gleiche Argument auch für den Logarithmus funktionieren. Ich persönlich mag es nicht, die Taylor-Reihe als etwas anderes als ein nützliches Berechnungswerkzeug zu behandeln. Die "grundlegendere" (natürlich gibt es keine solche Metrik) Definition ist eine Lösung der Differentialgleichung $\tfrac{\mathrm{d}\exp}{\mathrm{d}x} = \exp(x)$ . Was Ihnen sofort sagt

\frac{[\exp]}{[X]} = [\exp] \Rightarrow [X] = 1.

$\tfrac{[\exp]}{[x]} = [\exp] \qquad \Rightarrow\quad [x] = 1.$ Beachten Sie, dass dies nicht herauskommt, wenn Sie die analoge Definition des Logarithmus verwenden:

\frac{D \ln}{D X} = \frac{1}{X} \Rightarrow \frac{[\ln]}{[X]} = \frac{1}{[X]} \Rightarrow [X] = ?

$\frac{\mathrm{d} \ln}{\mathrm{d}x} = \frac{1}{x} \qquad \Rightarrow \quad \tfrac{[\ln]}{[x]} = \tfrac{1}{[x]} \qquad \Rightarrow \quad [x] =\:?$ Beide Gleichungen definieren natürlich nur die Funktionen bis zur Eichung eines Anfangswertes. Für

\ln (1) = 0

$\ln(1) = 0$ Um Sinn zu machen, muss das Argument auf jeden Fall dimensionslos sein. Aber solange Sie nur Differenzen zwischen Logarithmen berücksichtigen, bricht die Lehre sowieso ab!

Kevin Viel · Answer 3

Halten:

Konz. = 100 mg/ml

Log10(Konz) = 2

Was ist, wenn ich Conc als mg/dL ausdrücke? Dann Conc2 = 1 mg/dL (beachten Sie, dass dies dasselbe ist, nur unterschiedliche Einheiten mit unterschiedlicher Menge):

Log10( Conc2 ) = 0.

Log10( Conc ) ne Log10( Conc2 ) und wir haben ein Problem, es sei denn, wir behalten Einheiten bei. Warum wäre log10 mg/ml nicht weniger vernünftig als mg/ml?

Zweitens, betrachten Sie dieses Argument aus dem Internet: Um den Logarithmus zu nehmen, muss die Größe dimensionslos sein, also durch die Einheit dividieren (mit welcher Begründung?):

Log10 ( 10 km / 1 km )

Das Problem ist:

Log10( 10 km / 1 km ) = Log10( 10 km ) - Log10( 1 km )

- Kevin

"Betrachten Sie dieses Argument aus dem Internet"? Quelle wäre hilfreich.

Exponential oder Logarithmus einer dimensionsbehafteten Größe?

Jika

Kyle Kanos

MüllcontainerDoofus

Dhruv Chadha

Antworten (3)

Nephente

David z

Garyp

Kyle Oman

Neil G

linksherum

Kevin Viel

tusky_mcmammut

Wie kann ich kontraintuitive Einheiten wie s2s2\text{s}^2 verstehen?

Warum wird die Lichtgeschwindigkeit verwendet, um die vierte Achse der Raumzeit zu definieren?

Was sind die Einheiten oder Dimensionen der Dirac-Delta-Funktion?

Warum ist die Wirkung in natürlichen Einheiten dimensionslos?

Unterschied zwischen theoretischen Gleichungen und empirischen Gleichungen

Sollen auf Null Einheiten folgen? [Duplikat]

Warum setzen wir x0=ctx0=ctx^0 = ct statt x0=tx0=tx^0 = t?

Einheit einer logarithmischen Normalwahrscheinlichkeitsdichtefunktion

Überprüfen Sie die Dimensionen des Integrals einer Funktion

Merkwürdige Beziehung zwischen der Abhängigkeit in ℏ von Planck-Einheiten und Einheitendimensionen