Warum geben größere Schwarze Löcher weniger Hawking-Strahlung ab als kleinere Schwarze Löcher?

Die Newtonsche Gravitationsbeschleunigung für ein Massenobjekt$M$wird durch den bekannten Ausdruck gegeben:

$$a = \frac{GM}{r^2} \tag{1}$$

Und der Radius des Ereignishorizonts eines Schwarzen Lochs ist gegeben durch:

$$r_s = \frac{2GM}{c^2} \tag{2}$$

Angenommen, wir berechnen die Newtonsche Gravitationsbeschleunigung am Ereignishorizont. Machen wir uns vorerst keine Sorgen, ob dies physikalisch realistisch ist, wir machen einfach weiter und tun es trotzdem. Wenn wir Gleichung (2) umstellen, erhalten wir:

$$GM = \frac{c^2r_s}{2}$$

dann können wir ersetzen$GM$in Gleichung (1) erhalten:

$$a(r_s) = \frac{c^2}{2r_s} \tag{3}$$

Und was wir finden ist, dass die Gravitationsbeschleunigung am Ereignishorizont proportional zu ist$1/r_s$Kleinere Schwarze Löcher haben also eine höhere Oberflächenbeschleunigung als größere Schwarze Löcher. Die Temperatur der Hawking-Strahlung hängt mit dieser Oberflächenbeschleunigung zusammen. was intuitiv Sinn macht. Wenn das Gravitationsfeld stärker ist, würden Sie erwarten, dass die Hawking-Strahlung stärker ist. Und das bedeutet:

Kleinere Schwarze Löcher sind heißer als größere Schwarze Löcher

Um dies rigoros zu machen, ist viel Arbeit erforderlich, daher werde ich nicht ins Detail gehen. Wir definieren eine Eigenschaft namens Oberflächengravitation ,$\kappa$, das ist effektiv die Gravitationsbeschleunigung am Ereignishorizont und wir finden für ein statisches Schwarzes Loch, dass dies gegeben ist durch:

$$\kappa = \frac{1}{2r_s} \tag{4}$$

Dies ist die richtige allgemeine relativistische Version der Newtonschen Oberflächengravitation, die ich in Gleichung (3) herleite. Die Hawking-Temperatur ist dann einfach:

$$T_H = \frac{\hbar c}{2\pi k_B} \kappa$$

Genau wie bei unserer ungefähren Berechnung finden wir also, dass die Temperatur proportional ist$1/r_s$dh kleinere Schwarze Löcher sind heißer als größere Schwarze Löcher.

Hier ist eine Antwort, die eher auf Thermodynamik basiert. Es läuft alles darauf hinaus: Die Entropie eines Schwarzen Lochs ist proportional zu seiner Oberfläche, aber seine Masse = Energie zum Radius.

Man kann sich das so vorstellen: Alle Zustände innerhalb des Schwarzen Lochs sind für Beobachter außerhalb gleich. Informationen über das Innere sind auf der Oberfläche kodiert, weil man damit Randwertprobleme lösen kann. Je größer also die Oberfläche, desto größer die Entropie. Dies ist weit entfernt von einem Beweis, aber Sie können dies rigoros machen.

Was sind nun Wärme und Temperatur? Wärme ist die spontane Übertragung von Energie, ohne dass Arbeit verrichtet wird. Der zweite Hauptsatz der Thermodynamik besagt, dass die Entropie niemals abnehmen kann. Da die Energie erhalten bleibt, gilt für zwei Systeme im Gleichgewicht:

$$\frac{\Delta S_1}{\Delta U} = \frac{\Delta S_2}{\Delta U}$$ das heißt, die Änderung der Entropie $S_1$des Systems 1 aufgrund der Änderung seiner Energie um $\Delta U$ist gleich der Entropieänderung $S_2$von System 2 aufgrund der Änderung seiner Energie um den gleichen Betrag. Daher definieren wir $$\beta = \frac{\partial S}{\partial U}$$ und das kannst du erkennen $\beta = 1/T$Wo $T$ist die Temperatur . (Wärme fließt von unten $\beta$zu hoch $\beta$, aber von oben $T$zu tief $T$.)

Aus der allgemeinen Relativitätstheorie haben wir die Masse$M$und Radius$r$eines Schwarzen Lochs sind proportional,$r = 2GM/c^2$. Wenn wir die Energie zu sein nehmen$U = E = Mc^2$, Dann$U \propto r$, So$S \propto U^{2}$was gibt$\beta \propto U$oder$T \propto 1/r \propto 1/M$. Daher ist ein kleineres Schwarzes Loch heißer und strahlt folglich mehr.

Wenn wir die Beziehung zwischen Entropie und Energie umkehren, erhalten wir$U \propto \sqrt S$. Parzelle$\sqrt S$. Es ist sehr steil für kleine$S$, und ziemlich flach für große$S$. Das bedeutet, dass die Hawking-Strahlung bei kleinen Schwarzen Löchern nur wenig Entropie haben muss, selbst wenn die Intensität groß ist, damit der Prozess thermodynamisch zulässig ist.

Sie können mehr aus diesen Vorträgen von Hawking selbst lernen. Hawking verwendet einige technische Konzepte, aber ich hoffe, sie sind einigermaßen zugänglich. (Sie sind es zumindest viel mehr als die Originalpapiere.)

Wie kommt es, dass Hawking-Strahlung schwarzen Löchern überhaupt entkommen kann, wenn sichtbares Licht (von dem ich weiß, dass es eine andere Form von Strahlung ist) dies nicht kann?

Wissen Sie zunächst, was Schwarzkörperstrahlung ist?

Einfach ausgedrückt ist ein schwarzer Körper einer, der alles Licht absorbiert, dem er ausgesetzt ist, und wenn ein solcher Körper eine bestimmte Temperatur erreicht$T$wird fortfahren, Strahlung irgendwo im elektromagnetischen Spektrum zu emittieren.

Nun, klassischerweise absorbiert ein Schwarzes Loch mit Sicherheit das gesamte Licht, dem es ausgesetzt ist. Er erreicht aber nicht unbedingt eine Temperatur, bei der er Strahlung abgeben kann? Können wir also ein Schwarzes Loch tatsächlich als Schwarzen Körper klassifizieren?

Nun, Schwarzkörperstrahlung ist ein Quanteneffekt. Danke an Planck und seine berühmte Konstante. Betrachten Sie als Nächstes Quantenfluktuationen und die mit QM verbundene Unsicherheit, die hier ausführlich diskutiert wird .

Die mit dem quantenelektromagnetischen Feld verbundenen negativen Energiequantenfluktuationen sind harmlos und verschwinden oft genauso schnell, wie sie erscheinen. Wenn man jedoch vor dem Ereignishorizont eines Schwarzen Lochs auftaucht, kann es ihn überqueren. Einmal über dem Ereignishorizont ist es möglich, dass das Photon negative kinetische Energie hat (Nebenbei bemerkt, dies kann zu einer verbotenen Region führen und die Möglichkeit des Quantentunnelns ermöglichen, was in Maulik K. Parikh und Frank Wilczek diskutiert wird ) . Das zugehörige Photon mit positiver Energie verbleibt auf der Außenseite des Horizonts, das sich weiter nach außen bewegt.

Wenn Schwarze Löcher im Wesentlichen Masse ansaugen und in Hawking-Strahlung umwandeln, warum würde dann ein massereicheres Schwarzes Loch nicht mehr Hawking-Strahlung emittieren?

Es ist wichtig anzumerken, dass nichts tatsächlich vom Horizont hinein oder hinaus geht, es ist eher die Tatsache, dass das Photon mit negativer Energie einen negativen Beitrag zur Masse des Schwarzen Lochs leistet. Dieser Beitrag ist die Hawking-Strahlung.

Wenn Sie nun akzeptieren, dass Schwarze Löcher mit dem positiven Photonenpartner strahlen, folgt die Antwort auf Ihre nächste Frage, indem Sie einfach etwas Thermodynamik auf die Physik der Schwarzen Löcher anwenden.

Die Formel für die Leuchtkraft der Strahlung von Schwarzen Löchern ist umgekehrt proportional zum Quadrat der Masse des Schwarzen Lochs und wird daher kleiner, wenn die Masse zunimmt. Einige Referenzen für Formeln finden Sie hier und hier .