Wie impliziert die Maximierung der Entropie die Minimierung der Energie? [Duplikat]

Betrachten Sie den Wikipedia-Artikel " https://en.wikipedia.org/wiki/Principle_of_minimum_energy ". Es sagt eindeutig

  1. Für ein isoliertes System mit fester Energie ist die Entropie maximiert .
  2. Für ein geschlossenes System mit fester Entropie wird die Energie minimiert .

Das Problem tritt auf, wenn sie unter der Überschrift „Mathematische Erklärung“ (im selben Artikel) eine mathematische Erklärung liefern. Darin steht zunächst

( ∂ S ∂ X ) U = 0 ,     ( ∂ 2 S ∂ X 2 ) U < 0 ,
im Gleichgewicht für ein isoliertes System mit fester innerer Energie. Dann verwendet der Artikel etwas Algebra, um diese Begriffe zu verbinden
− 1 T ( ∂ U ∂ X ) S     &     − 1 T ( ∂ 2 U ∂ X 2 ) S     bzw. .
Dies wird dann verwendet, um die Minimierung von Energie zu beanspruchen.

Meine Verwirrung ist, dass die Entropiemaximierung eine interne Energiekonstante erfordert (Punkt 1 oben). Daher

∂ U ∂ X = ∂ U 2 ∂ X 2 = 0.

Die erste Gleichheit ist in Ordnung, aber für die Minimierung der inneren Energie verlangen wir, dass die zweite positiv ist und nicht 0 .

Mir war kein mathematischer Zusammenhang zwischen der Minimierung der inneren Energie und der Maximierung der Entropie bewusst, bis ich auf dieses Wikipedia-Dokument stieß. Das führt dann zu all dieser Verwirrung. Ich sehe nicht, wo ich falsch liege. Dies ist auch der Beweis, der in den Thermodynamik-Büchern von RH Swendsen gegeben wird. Jede Hilfe wird sehr geschätzt.

@Sam Mein Zweifel hängt mit der verwendeten Mathematik zusammen. Ich habe kein Problem mit dem philosophischen/physikalischen Verständnis von Entropiemaximierung und Energieminimierung
@AcuriousMind Meine Frage bezieht sich nicht auf den Beitrag, den Sie markiert haben. Meine Frage bezieht sich auf die Mathematik, die verwendet wird, um eine Äquivalenz zwischen Entropiemaximierung und Energieminimierung zu erhalten.
Ich denke, die Abbildung in der ersten Antwort hier physical.stackexchange.com/questions/534173/… sollte die mathematische Seite Ihrer Frage verdeutlichen.
@GiorgioP Nein, tut es nicht. Weil der Beitrag sagt, dass das System eine konstante Entropie hat, dann behauptet er, dass die Entropie zunimmt. Verstößt das nicht gegen die Behauptung der konstanten Entropie? Es ist das gleiche Problem, das ich mit der obigen Mathematik habe (wie vom Autor identifiziert).
Ich denke, es sollte. Es zeigt, dass es eine Oberfläche in der gibt S , U , X Raum, der entweder als Graph einer Funktion gesehen werden kann U , X oder einer anderen Funktion von S , X . Je nachdem, welche Funktion durch dieselbe Fläche dargestellt wird, steht man vor einem Maximum- oder einem Minimumproblem. Es verdeutlicht auch den Zusammenhang mit der Größe, die in der partiellen Ableitung konstant gehalten wird.
@GiorgioP, Wenn Sie behaupten, dass Ihre Figur das interessierende System darstellt, haben wir für unterschiedliche X-Werte unterschiedliche Werte von U. Daher ist die innere Energie des Systems nicht konstant. Dies bedeutet, dass es sich nicht um ein isoliertes System mit fester innerer Energie handelt. Dies steht im Gegensatz zu Punkt 1 oben (hervorgehoben). Umgekehrt hat die Figur für verschiedene X-Werte ein variierendes S und ist daher nicht repräsentativ für ein geschlossenes System mit konstanter Entropie. Dies steht im Gegensatz zu Punkt 2 oben (hervorgehoben).
@ShohamSen Sie sollten die Abbildung richtig betrachten. Sie müssen die Linie berücksichtigen, die sich ergibt S als Funktion von X bei fest U und die Linie, die darstellt U bei fest S , immer als Funktion von X . Der erste ist der Graph einer Funktion mit einem Maximum, während der zweite der Graph mit einem gleichzeitigen Minimum ist X .
@GiorgioP, ja, ich denke, du könntest Recht haben. Danke.

Antworten (1)

Ich werde versuchen, darauf eine Antwort zu geben, obwohl ich mir nicht 100% sicher bin, ob ich die Frage verstehe, sehe ich, dass es einige Verwirrung in Bezug auf die Ableitung des Prinzips der minimalen Energie gibt, und ich glaube, ich weiß, woher die Verwirrung kommt.

Was der Artikel zeigt, ist, dass wenn die Funktion S hat an einem Punkt ein Extremum ( U 0 , X 0 ) , für die es den Wert annimmt S 0 = S ( U 0 , X 0 ) dann die Funktion U hat an dem Punkt ein Extremum ( S 0 , X 0 ) , für die es den Wert annimmt U 0 . Dieses Extremum ist ein Maximum für die Funktion S aber ein Minimum für die Funktion U es ist ein Minimum.

Ich denke, Ihre Verwirrung hängt damit zusammen, dass Sie aufschreiben

∂ S ∂ X | U
scheint irgendwie zu implizieren, dass jetzt die andere Funktion, U ist eine Konstante, und wenn Sie ihre Ableitung nehmen, sollte sie verschwinden, aber das ist nicht der Fall, die Verwendung dieser Notation für die Ableitung bedeutet nur das S wird in Abhängigkeit von betrachtet X Und U , und nicht andere Variablen. Eine andere Schreibweise wäre:

∂ S U , X ∂ X
wobei die Subindizes nur als Funktion angeben, von welchen Variablen Sie Ihre Funktion abhängig machen. Unter Verwendung dieser Notation lautet die Ableitung dann für die erste Ableitung etwa so:

∂ S U , X ∂ X = − ∂ S U , X ∂ U ∂ U S , X ∂ X = − T ∂ U S , X ∂ X
Wo ich die zyklische Kettenregel verwendet habe. An dieser Gleichheit können Sie erkennen, dass die Steigungen beider Funktionen verwandt sind, sodass, wenn eine einen kritischen Punkt hat, die andere auch einen hat, und an keinem Punkt habe ich darüber nachgedacht U nur eine Konstante sein.

Edit nach Kommentar:

Es scheint, dass unklar ist, dass die Ableitung

∂ S U , X ∂ U
ist für einen festen Energiewert nicht Null. Vielleicht hilft diese Denkweise weiter:

Wenn Sie eine Funktion haben F ( X , j ) = j X + X 2 zum Beispiel, und Sie leiten nach x ab, dann ist das Ergebnis

∂ F X , j ∂ X ( X , j ) = j + 2 X
. Nehmen wir nun an, dass wir diese Funktion für einen festen Wert von x untersuchen wollen, nämlich X 0 , dann wird unsere Funktion sein
F ( X 0 , j ) = j X 0 + X 0 2
und unser Derivat wird sein
∂ F X , j ∂ X ( X 0 , j ) = j + 2 X 0
was nicht unbedingt gleich null ist.

Ähnliches passiert, wenn Sie die Funktion untersuchen möchten S ( U 0 , X ) und seine Ableitung in Bezug auf U ;

∂ S U , X ∂ U ( U 0 , X )
nicht unbedingt gleich null ist.

Nun, Entropiemaximierung ist, wenn Sie es mit einem System mit konstanter Energie zu tun haben. Also beim Aufschreiben ∂ S ( U , X ) ∂ U , dieser Term sollte 0 sein, da sich S nicht mit U ändert.\\ PS- Ich habe die Frage ein wenig modifiziert. Bitte lassen Sie mich wissen, wenn es immer noch unklar ist, und was ich tun kann, um es zu ändern.
@Shoham Sen Ich habe eine Erklärung hinzugefügt, um zu verdeutlichen, warum diese Ableitung nicht Null ist
Ich weiß das Beispiel zu schätzen, obwohl ich nicht wirklich denke, dass es eine genaue Beschreibung dessen ist, was vor sich geht. Ich denke, meine Zweifel lassen sich auf Folgendes reduzieren. Wenn ich mir die Mathematik ansehe, würde sie behaupten, dass immer dann, wenn Sie die Entropie maximiert haben, Sie auch die interne Energie minimiert haben, da sie als solche verwandt sind, sagt die Mathematik das nicht? Das Prinzip der Entropiemaximierung behauptet jedoch, dass die Entropie bei fester innerer Energie maximiert wird. Energie kann also nicht minimiert werden. PS-Danke für die Hilfe, wirklich zu schätzen wissen.
Wie impliziert die Maximierung der Entropie die Minimierung der Energie? [Duplikat]
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