Augenblickliche Rotationsachse eines starren Körpers

Question

Augenblickliche Rotationsachse eines starren Körpers

Physik
Drehung
Starrkörperdynamik
Rotationsdynamik

Sorën

Für die Beschreibung der Starrkörperbewegung jeder Punkt $O$ des starren Körpers als Referenz genommen werden könnte, da die Geschwindigkeit eines generischen Punktes $P$ kann als Funktion der Winkelgeschwindigkeit geschrieben werden $\Omega$ und der Geschwindigkeit von $O$ , unabhängig von der Wahl von $O$ .

\begin{matrix} (1) & \dot{P} = \dot{Ö} + Ω \land (P - Ö) \end{matrix}

$\dot{P} = \dot{ O} + \Omega∧(P −O)\tag{1}$

Das bedeutet, dass die Bewegung von $P$ wird als die Zusammensetzung der Übersetzung von gesehen $O$ , plus einer Drehbewegung um eine durchgehende Achse $O$ : Nennen wir diese Achse $\gamma$ .

In welchen Fällen ist es richtig, das zu sagen $\gamma$ ist eine momentane Rotationsachse des starren Körpers?

Dazu muss der Punkt $O$ (auf der Achse $\gamma$ ) haben eine Geschwindigkeit von Null (dh $\dot{O}=0$ )? Oder kann ich definieren $\gamma$ als momentane Drehachse auf jeden Fall wenn ich aufschreibe $(1)$ ?

John Alexiou

Siehe auch: physical.stackexchange.com/a/199838/392

Antworten (1)

Augenblickliche Rotationsachse eines starren Körpers

John Alexiou · Answer 1

Ein Körper kann auf der momentanen Rotationsachse parallele Geschwindigkeit haben. Diese parallele Geschwindigkeit wird manchmal mit einem skalaren Tonhöhenwert bezeichnet $h$ , so dass $\vec{v}_O = h \vec{\omega}$

Betrachten Sie einen Punkt O auf dem IAR und einen Punkt P außerhalb davon. Du hast

{\vec{v}}_{P} = {\vec{v}}_{Ö} + ({\vec{R}}_{P} - {\vec{R}}_{Ö}) \times \vec{ω}

$\vec{v}_P = \vec{v}_O + (\vec{r}_P-\vec{r}_O) \times \vec{\omega}$

Jetzt kann ich das anhand des Antrags beweisen $\vec{v}_P$ eines beliebigen Punktes P und der Rotationsgeschwindigkeit $\vec{\omega}$ . Die Bewegung kann immer in einen Drehachsenpunkt zerlegt werden $\vec{r}_O$ und eine parallele Geschwindigkeit $\vec{v}_O$ .

Lemma gegeben $\vec{v}_P$ Und $\vec{\omega}$ es gibt einen eindeutigen (relativen) Standort $\vec{r}$ so dass

{\vec{v}}_{Ö} = {\vec{v}}_{P} + \vec{ω} \times \vec{R} = H \vec{ω}

$\vec{v}_O = \vec{v}_P + \vec{\omega}\times \vec{r} = h \vec{\omega}$ also die Geschwindigkeit

{\vec{v}}_{O} = h \vec{ω}

$\vec{v}_O = h \vec{\omega}$ ist parallel zu

\vec{ω}

$\vec{\omega}$ nur. Dieser Ort liegt auf der momentanen Rotationsachse am nächsten zu P , so dass

{\vec{r}}_{O} = {\vec{r}}_{P} + \vec{r}

$\vec{r}_O = \vec{r}_P + \vec{r}$ .

Nachweisen

Nehmen $\vec{r}= \frac{\vec{\omega} \times \vec{v}_P}{\| \vec{\omega}\|^2}$ in die Transformation ein und erweitern Sie die Begriffe

{\vec{v}}_{Ö} = {\vec{v}}_{P} + \vec{ω} \times (\frac{\vec{ω} \times {\vec{v}}_{P}}{“ \vec{ω} “^{2}})

$\vec{v}_O = \vec{v}_P + \vec{\omega}\times \left( \frac{\vec{\omega} \times \vec{v}_P}{\| \vec{\omega}\|^2} \right)$

Verwenden Sie nun die dreifache Produktidentität des Vektors $a \times (b \times c) = b (a\cdot c) - c (a \cdot b)$

{\vec{v}}_{Ö} = {\vec{v}}_{P} + \frac{\vec{ω} (\vec{ω} \cdot {\vec{v}}_{P}) - {\vec{v}}_{P} (\vec{ω} \cdot \vec{ω})}{“ \vec{ω} “^{2}} = {\vec{v}}_{P} + \frac{\vec{ω} (\vec{ω} \cdot {\vec{v}}_{P})}{“ \vec{ω} “^{2}} - {\vec{v}}_{P}

$\require{cancel} \vec{v}_O =\vec{v}_P +\frac{\vec{\omega}(\vec{\omega}\cdot \vec{v}_P) - \vec{v}_P (\vec{\omega}\cdot \vec{\omega})}{\| \vec{\omega}\|^2} = \cancel{\vec{v}_P} + \frac{\vec{\omega}(\vec{\omega}\cdot \vec{v}_P)}{\| \vec{\omega}\|^2}-\cancel{\vec{v}_P}$

Definieren Sie nun die Skalartonhöhe als

H = \frac{\vec{ω} \cdot {\vec{v}}_{P}}{“ \vec{ω} “^{2}}

$h = \frac{\vec{\omega} \cdot \vec{v}_P}{\| \vec{\omega} \|^2}$ und das obige wird

{\vec{v}}_{Ö} = H \vec{ω}

$\vec{v}_O = h \vec{\omega}$

Die Geschwindigkeit auf O ist also nur parallel zur Rotation.

Beispiel Ein Körper dreht sich vorbei $\vec{\omega} = (0,0,10)$ und einen Punkt P , der sich bei befindet $\vec{r}_P=(0.8,0.2,0)$ Geschwindigkeit hat $\vec{v}_P = (2,-3,1)$ . Ermitteln Sie den IAR-Punkt O und den Tonhöhenwert. $h$ .

{\vec{R}}_{Ö} = {\vec{R}}_{P} + \frac{{\vec{v}}_{P} \times \vec{ω}}{“ \vec{ω} “^{2}} = (0,8, 0,2, 0) + \frac{(- 30, 20, 0)}{10^{2}} = (0,5, 0, 0)

$\vec{r}_O = \vec{r}_P + \frac{\vec{v}_P \times \vec{\omega}}{\| \vec{\omega} \|^2} = (0.8,0.2,0) + \frac{(-30,20,0)}{10^2} = (0.5,0,0)$

H = \frac{\vec{ω} \cdot {\vec{v}}_{P}}{“ \vec{ω} “^{2}} = \frac{10}{10^{2}} = 0,1

$h = \frac{\vec{\omega} \cdot \vec{v}_P}{\|\vec{\omega}\|^2} = \frac{10}{10^2} = 0.1$

Bestätigung

{\vec{v}}_{P} = H \vec{ω} + ({\vec{R}}_{P} - {\vec{R}}_{Ö}) \times \vec{ω} = (0, 0, 1) + (0,3, 0,2, 0) \times (0, 0, 10) = (2, 3, - 1) ✓

$\vec{v}_P = h \vec{\omega} + (\vec{r}_P - \vec{r}_O) \times \vec{\omega} = (0,0,1) + (0.3,0.2,0) \times (0,0,10) = (2,3,-1) \; \checkmark$

_{ANMERKUNGEN: Siehe auch die verwandte Antwort auf die Frage Warum ist die Winkelgeschwindigkeit eines beliebigen Punktes um jeden anderen Punkt eines starren Körpers immer gleich?}

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Sorën

John Alexiou

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