Kräfte als Vektoren in der Newtonschen Mechanik

In 3 Dimensionen funktioniert das Verschieben der Kräfte auf der Angriffslinie, bis sich die Kräfte treffen, nicht immer, da die beiden Angriffslinien schief sein können.

Um die Wirkungslinie zu erfassen, ist es gut, mit Paaren von Kräften und Momenten zu arbeiten. (Sie können die Angriffslinie einer Kraft transformieren, indem Sie ein auf den starren Körper wirkendes Drehmoment addieren. Auf diese Weise finden Sie einen Repräsentanten, dessen Angriffslinie durch den Ursprung geht.) Es gibt eine Algebra von Linienvektoren, die für solche Paare funktioniert von Kräften und Momenten.

Eine Beschreibung dieser Dinge finden Sie in:

R. Featherstone: Die Berechnung der Roboterdynamik unter Verwendung von Gelenkkörperträgheiten. Das internationale Journal of Robotics Research, Vol. 2, Nr. 1, Frühjahr 1983.

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In den Kommentaren unten habe ich erwähnt, dass die verallgemeinerten Kräfte (Kraft und Drehmoment) auf den starren Körper eine Folge der Einschränkungen des starren Körpers sind und dass Linienkräfte für die Newtonsche Mechanik nützlich, aber nicht erforderlich sind. Im Folgenden skizziere ich, wie die Starrkörperzwänge zu den verallgemeinerten Kräften führen. (Beachten Sie noch einmal, dass dies nur eine vereinfachte Skizze ist.)

Starrkörperbeschränkungen können als die Anforderung angegeben werden, dass die Platzierung des Starrkörpers im (euklidischen) Raum eine orientierungserhaltende Isometrie ist:

$$\begin{align} \def\l{\left}\def\r{\right}\def\rmL{{\rm L}}\def\rmS{{\rm S}}\def\ph{{\varphi}}\def\SO{{\rm SO}} \def\nR{{\mathbb{R}}} r^\rmL\mapsto r(r^\rmL) = r^\rmS + R\cdot r^\rmL \end{align}$$ Wo $r^\rmL$sind lokale Koordinaten, $r^\rmS$ist ein Verschiebungsvektor (3d) und $R$ist eine Rotationsmatrix (3x3, orthogonal). Die entsprechende virtuelle Verschiebung wird durch eingeschränkt $$\begin{align} \delta r &= \delta r^\rmS + (\delta R)\cdot r^\rmL\\ &=\delta r^\rmS + \delta\ph \times (R\cdot r^\rmL) \end{align}$$ Wo $\delta r^\rmS$ist die virtuelle Verschiebung des starren Körpers und $\delta\ph$ist seine virtuelle Winkelverschiebung. Angenommen, es gibt eine Kraftdichte (Volumendichte). $f$auf den starren Körper aufgebracht. Die verallgemeinerten Kräfte $F$Und $T$für die verallgemeinerten Koordinaten $r^\rmS$Und $R$(mit der Dimension der Mannigfaltigkeit $\SO(\nR^3)$gleich drei) ergeben sich aus der Gleichung $$\begin{align} \int_{r\in r^\rmS+R\cdot (B)} \delta r \cdot f d V &= \int_{r^\rmL\in B} \l(\delta r^\rmS\r) \cdot f dV + \int_{r^\rmL\in B} \l(\tilde\ph \times (R\cdot r^\rmL)\r)\cdot f dV\\ &= \l(\delta r^\rmS\r) \cdot \int_{r^\rmL\in B} fdV + \delta\ph \cdot \int_{r^\rmL\in B} (R\cdot r^\rmL)\times f dV \end{align}$$ Der Koeffizient $$\begin{align} F := \int_{r^\rmL\in B} fdV \end{align}$$ der virtuellen Verschiebung $\delta r^\rmS$ist die auf den starren Körper ausgeübte Gesamtkraft und der Koeffizient $$\begin{align} T := \int_{r^\rmL\in B} (R\cdot r^\rmL)\times f dV \end{align}$$ der virtuellen Winkelverschiebung $\delta\ph$ist das auf den starren Körper wirkende Gesamtdrehmoment.

Wenn Sie übersetzen und hinzufügen, erhalten Sie den richtigen Vektor. Der Anwendungspunkt ist etwas anderes, nicht Teil der Definition des Vektors. Zusätzliche Informationen, die angegeben werden müssen. Der Zusatz, auf den Sie sich in Ihrem letzten Absatz beziehen, ist nicht "etwas anderes". Es ist eine Vektoraddition.

Ich bin überrascht, dass nicht mehr Menschen die Verwirrung haben, die Sie haben.

Verwandte: Es gibt nichts in der mathematischen Definition eines Vektors, das es erlaubt, ihn zu bewegen. Das ist ein kleiner Trick, den Physiker anwenden, um die Analyse zu vereinfachen. Es ist mathematisch vernünftiger, jeden Punkt im Raum als Ursprung seines eigenen Vektorraums zu betrachten, aber das fügt viel zu viel zusätzliche Analyse hinzu und verschleiert die Physik. Aber der Trick funktioniert sehr gut im euklidischen Raum. Ich denke, Sie spüren vielleicht, dass mit der Verwendung der Vektoren in der Physik etwas nicht stimmt. Die Modellierung des realen Raums als Vektorraum funktioniert, hat aber Nachteile. Zum Beispiel weist es dem Ursprung einen Sonderstatus zu, während es keinem Punkt im realen Raum einen physischen Sonderstatus gibt.

Ich denke, was Sie erreichen, wird Rotationsmechanik sein.

Solange Objekte nur übersetzt werden, können Sie einfach die Erzwungenen zusammenfassen und die Ergebnisse für das Objekt berechnen, wie Sie es verstehen.

Wenn sich ein Objekt frei drehen kann, wird die Geschichte viel komplexer und der Punkt, an dem eine Kraft ausgeübt wird, wird viel wichtiger. Das kannst du ganz einfach mit dem nächsten testen. Versuchen Sie, es zu schließen, indem Sie in die Nähe des Scharniers und dann weiter weg drücken.

Ich kann hier eine ganze Geschichte schreiben, die diese Konzepte erklärt, aber Wikipedia hat einige interessante Artikel für Sie

• Drehmoment - auch Moment der Kraft. Berücksichtigt diesen Abstand.
• Drehimpuls - wie linearer Impuls, aber dann für Rotation.

Ich hoffe, das gibt Ihnen einige Antworten auf Ihre Fragen.

tl; dr: Sie können Kräfte nicht überlagern, wenn sie auf verschiedene Dinge einwirken.

Ein Objekt ist nicht dasselbe wie sein Massenmittelpunkt. Unter bestimmten Bedingungen (starrer Körper, Kraft direkt am Massenschwerpunkt usw.) können Sie davon ausgehen, dass das Objekt ein Punktteilchen am Ort seines Massenschwerpunkts ist, und Sie können die Kraftvektoren addieren, weil sie es sind wirkt auf dasselbe Teilchen. Aber wenn das nicht der Fall ist, können Sie die Kräfte nicht einfach addieren – sie wirken auf verschiedene Teilchen. Das kann zu Drehmomenten, Elastizitätseffekten usw. führen, die Sie jetzt berücksichtigen müssen, da das System nicht mehr auf ein einfaches Punktteilchen reduziert werden kann.

Kräfte sind keine Vektoren. Kräfte sind 3D-Linien mit einer Größe und einer Steigung.

• Eine Kraft wirkt durch eine Linie im Raum. Aus der Geometrie benötigen Sie 4 Größen, um eine 3D-Linie vollständig zu definieren. Deshalb können Sie einen Kraftvektor entlang seiner Richtungslinie verschieben .
• Eine Größe beschreibt, wie viel Kraft entlang dieser Linie und Sie benötigen 1 Größe, um dies zu beschreiben (duh!), Für insgesamt 5 Größen bis zu diesem Punkt.
• Für eine reine Kraft sind 5 Größen ausreichend, es ist aber auch ein Drehmoment parallel zur Wirkungslinie möglich. Das Verhältnis von Drehmomentgröße zu Kraftgröße wird als Steigung bezeichnet und beschreibt eine 3D-Schraube im Raum (siehe oben erwähntes Buch von Roy Featherstone). Eine Kraftschraube (auch Schraubenschlüssel genannt) benötigt also 6 Parameter, um vollständig definiert zu werden.

Diese werden normalerweise als Kraft- und Drehmomentvektoren an einem Punkt A im Raum angegeben. Hier ist, wie Sie 3 Mengen einer Kraft nehmen können$\vec{F}$und die 3 Größen eines Drehmoments bei$\vec{\tau}_A$und leiten Sie die Schraubeneigenschaften dieses äquivalenten Systems ab.

1. Größe (skalar) $$F = |\vec{F}|$$
2. Richtung (Vektor) $$\vec{e} = \frac{ \vec{F}}{F}$$
3. Position auf der Linie, die Punkt A am nächsten liegt (Vektor) $$\vec{r} = \vec{r}_A + \frac{ \vec{F} \times \vec{\tau}_A }{ F^2 }$$
4. Tonhöhe (skalar) $$h = \frac{\vec{F}\cdot\vec{\tau}_A}{F^2}$$

Weitere Informationen finden Sie in dieser Antwort .