Es gibt drei Arten von Darstellungen: reell, komplex und pseudoreal. Eine komplexe Darstellung ist nicht gleichbedeutend mit ihrer Konjugierten, und eine reelle ist es, was ziemlich einfach ist. Eine pseudoreale Darstellung ist auch äquivalent zu ihrer Konjugierten, aber die Basiswechselmatrix, die sie in Beziehung setzt, hat einige seltsame Eigenschaften. (Beachten Sie, dass diese Definitionen unabhängig von den Begriffen „reell“ und „komplex“ in der Mathematik sind; alle Darstellungen in der Quantenmechanik sind „komplex“ im mathematischen Sinne.)
Es gibt eine klare physikalische Bedeutung einer komplexen Darstellung, dh dass Teilchen, die sich in diese Darstellungen verwandeln, nicht dieselben sind wie ihre Antiteilchen. Aber ich kann keine einfache physikalische Bedeutung für die Pseudorealität finden, die sie von der Realität unterscheidet; Es scheint mir eine ziemlich willkürliche Unterscheidung zu sein, und ich weiß nicht einmal, warum wir diese Unterscheidung aus mathematischen Gründen treffen sollten. Wie soll ich physikalisch über Realität und Pseudorealität denken?
Die Definition einer reellen Darstellung besteht nicht nur darin, dass sie isomorph zu ihrer Konjugierten ist.
Sowohl reelle als auch pseudoreale Darstellungen sind isomorph zu ihren Konjugierten. Diese Isomorphie erzwingt die Existenz einer äquivarianten antilinearen Abbildung
Eine solche äquivariante Karte quadriert notwendigerweise zu einem Vielfachen der Identität nach Schurs Lemma, dh für einige . Wenn , Dann eine reelle Form ist und die Darstellung reell ist, wenn , Dann eine quaternionische Form ist und die Darstellung pseudoreal = quaternionisch ist.
Auf einem reellen Vektorraum kann man eine reelle Darstellung auf eine wörtliche Darstellung reduzieren, dh die Darstellung auf den Unterraum mit beschränken , dh die komplexe Darstellung spaltet sich natürlich in die direkte Summe zweier reeller Darstellungen auf . Dies sind zB Majorana-Spinoren.
Sie können eine quaternionische Darstellung nicht auf diese Weise reduzieren (obwohl es einige lustige Dinge mit Pseudo-Majoranas gibt, die mir nicht ganz klar sind).
Mosibur Ullah
Kosmas Zachos