Wahrscheinlichkeitsamplitude in Layman's Terms

Ein Teil Ihres Problems ist

"Wahrscheinlichkeitsamplitude ist die Quadratwurzel der Wahrscheinlichkeit [...]"

Die Amplitude ist eine komplexe Zahl, deren Amplitude die Wahrscheinlichkeit ist. Das ist$\psi^* \psi = P$wobei das hochgestellte Sternchen das komplexe Konjugierte bedeutet. ¹ Es mag ein wenig pedantisch erscheinen, diese Unterscheidung zu treffen, weil bisher die "komplexe Phase" der Amplituden überhaupt keine Auswirkung auf die Observablen hat: Wir könnten immer eine beliebige Amplitude auf die positive reelle Linie drehen und dann "die Quadratwurzel" wäre in Ordnung.

Aber wir können nicht garantieren, mehr als eine Amplitude auf diese Weise gleichzeitig drehen zu können.

Darüber hinaus gibt es zwei Möglichkeiten, Amplituden zu kombinieren, um Wahrscheinlichkeiten für die Beobachtung kombinierter Ereignisse zu finden.

• Wenn die Endzustände unterscheidbar sind, addieren Sie Wahrscheinlichkeiten:$P_{dis} = P_1 + P_2 = \psi_1^* \psi_1 + \psi_2^* \psi_2$.

• Wenn der Endzustand nicht unterscheidbar ist, ² fügen Sie Amplituden hinzu:$\Psi_{1,2} = \psi_1 + \psi_2$, und$P_{ind} = \Psi_{1,2}^*\Psi_{1,2} = \psi_1^*\psi_1 + \psi_1^*\psi_2 + \psi_2^*\psi_1 + \psi_2^*\psi_2$. Die Terme, die die mit 1 und 2 bezeichneten Amplituden mischen, sind die "Interferenzterme". Die Interferenzterme sind der Grund, warum wir die komplexe Natur der Amplituden nicht ignorieren können, und sie verursachen viele Arten von Quantenverrücktheiten.

¹ Ich verwende hier eine Notation, die an eine Schrödinger-ähnliche Formulierung erinnert, aber diese Interpretation ist nicht erforderlich. Einfach akzeptieren$\psi$als komplexe Zahl, die die Amplitude für einige Beobachtungen darstellt.

² Das ist nicht präzise, ​​die Zustände müssen "kohärent" sein, aber davon wollen Sie heute nichts hören.

Bevor ich versuche, die eigentliche Quantenmechanik zu verstehen, denke ich, dass es hilfreich ist, zu versuchen, die allgemeine Idee ihrer Statistik und Wahrscheinlichkeit zu verstehen.

Es gibt grundsätzlich zwei Arten von mathematischen Systemen, die einen nichttrivialen Formalismus für die Wahrscheinlichkeit liefern können. Die eine kennen wir aus dem Alltag: Jedes Ergebnis hat eine Wahrscheinlichkeit, und diese Wahrscheinlichkeiten ergeben direkt 100 %. Eine Münze hat zwei Seiten mit jeweils 50% Wahrscheinlichkeit.$50\% + 50\% = 100\%$, hier bitteschön.

Aber es gibt ein anderes Wahrscheinlichkeitssystem, das sich sehr von dem unterscheidet, an das Sie und ich gewöhnt sind. Es ist ein System, bei dem jedem Ereignis ein Vektor (oder eine komplexe Zahl) zugeordnet ist und die Summe der quadrierten Größen dieser Vektoren (komplexen Zahlen) 1 ist.

Die Quantenmechanik arbeitet nach diesem letzteren System, und aus diesem Grund beschäftigen wir uns oft mit den komplexen Zahlen, die mit Ereignissen verbunden sind . Die Wellenfunktion eines Teilchens ist einfach die Verteilung dieser komplexen Zahlen über den Raum. Wir haben uns entschieden, diese Zahlen nur der Einfachheit halber als "Wahrscheinlichkeitsamplituden" zu bezeichnen.

Das Wahrscheinlichkeitssystem, dem QM folgt, unterscheidet sich stark von dem, was die alltägliche Erfahrung uns glauben machen würde, und dies hat viele mathematische Konsequenzen. Sie ermöglicht beispielsweise Interferenzeffekte, die nur direkt mit Amplituden erklärbar sind. Aus diesem Grund sind Amplituden physikalisch signifikant – sie sind signifikant, weil das mathematische Modell für die Wahrscheinlichkeit auf der Quantenskala nicht das ist, woran Sie und ich gewöhnt sind.

Bearbeiten : in Bezug auf "nur zusätzliches Zeug unter der Haube". Hier ist eine konkretere Art, über den Unterschied zwischen klassischer und Quantenwahrscheinlichkeit zu sprechen.

Lassen$A$und$B$sich gegenseitig ausschließende Ereignisse sein. In der klassischen Wahrscheinlichkeit hätten sie assoziierte Wahrscheinlichkeiten$p_A$und$p_B$, und die Gesamtwahrscheinlichkeit ihres Auftretens erhält man durch Addition,$p_{A \cup B} = p_A + p_B$.

In der Quantenwahrscheinlichkeit addieren sich stattdessen ihre Amplituden. Dies ist ein wesentlicher Unterschied. Es gibt eine Gesamtamplitude$\psi_{A \cup B} = \psi_A + \psi_B$. und die quadrierte Größe dieser Amplitude – d. h. die Wahrscheinlichkeit – ist wie folgt:

Es gibt einen zusätzlichen Term , der zu einem physikalisch unterschiedlichen Verhalten führt . Dies quantifiziert die Auswirkungen von Störungen und für die richtigen Entscheidungen$\psi_A$und$\psi_B$, könnten Sie am Ende zwei Ereignisse haben, die individuelle Wahrscheinlichkeiten ungleich null haben, aber die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung ist null! Oder höher als die individuellen Wahrscheinlichkeiten.

In der Quantenmechanik die Amplitude$\psi$, und nicht die Wahrscheinlichkeit$\mid\psi\mid^2$, ist die Größe, die das Superpositionsprinzip zulässt . Beachten Sie, dass die Dynamik des physikalischen Systems (Schrödinger-Gleichung) in Bezug auf die Entwicklung dieses Objekts formuliert ist und linear in der Entwicklung ist. Beachten Sie, dass mit Überlagerung von gearbeitet wird$\psi$erlaubt auch komplexe Phasen$e^{i\theta}$eine Rolle spielen. Im gleichen Sinne wird die Überlappung zweier Systeme durch Untersuchung der Überlappung der Amplituden berechnet.

Ich stimme den anderen gegebenen Antworten zu. Sie finden die Wahrscheinlichkeitsamplituden jedoch möglicherweise intuitiver im Kontext des Feynman-Pfad-Integral-Ansatzes.

Angenommen, an der Stelle wird ein Partikel erzeugt$x_1$zum Zeitpunkt$0$und dass Sie die Wahrscheinlichkeit dafür wissen wollen, es später an irgendeiner Position zu beobachten$x_2$zum Zeitpunkt$t$.

Jeder Weg$P$das beginnt bei$x_1$zum Zeitpunkt Null und endet um$x_2$zum Zeitpunkt$t$ist mit einer (komplexen) Wahrscheinlichkeitsamplitude verbunden$A_P$. Innerhalb des Wegintegralansatzes ergibt sich die Gesamtamplitude für den eingangs beschriebenen Prozess aus der Summe aller dieser Amplituden:

$A_{\textrm{total}} = \sum_P A_P$

Dh die Summe über alle möglichen Wege, zwischen denen das Teilchen gehen könnte$x_1$und$x_2$. Diese Pfade interferieren kohärent, und die Wahrscheinlichkeit für die Beobachtung des Teilchens bei$x_2$zum Zeitpunkt$t$ergibt sich aus dem Quadrat der Gesamtamplitude:

$\textrm{probability to observe the particle at $x_2$ at time $t$} = |A_{\textrm{total}}|^2 = |\sum_P A_P|^2$

Ich sollte anmerken, dass der Feynman-Pfadintegralformalismus (oben beschrieben) eigentlich ein Sonderfall eines allgemeineren Ansatzes ist, bei dem die Amplituden eher Prozessen als Pfaden zugeordnet sind.

Eine gute Referenz dafür ist auch Band 3 der Feynman Lectures .

In der Quantenmechanik wird ein Teilchen durch seine Wellenfunktion beschrieben$\psi$(in räumlicher Darstellung wäre es z.B$\psi(x,t)$, aber ich lasse die Argumente im Folgenden weg). Observables, wie die Position$x$werden durch Operatoren dargestellt$\hat x$. Der Mittelwert der Position eines Partikels wird berechnet als

Seit$\hat x$angewendet$\psi(x,t)$gibt nur die Stelle an$x$mal$\psi(x,t)$wir können das Integral schreiben als

$\tilde \psi$ist das komplexe Konjugat von$\psi$und deshalb$\tilde \psi \psi=|\psi|^2$.

Und schließlich, da ein Mittelwert üblicherweise als Integral über die Variable mal einer Wahrscheinlichkeitsverteilung berechnet wird$\rho$wie

Die Wellenfunktion (die die Lösung der Schrödinger-Gleichung ist, die das betreffende System beschreibt) ist also eine Wahrscheinlichkeitsamplitude im Sinne des ersten Satzes des von Ihnen verlinkten Artikels.

Schließlich zeigt die Hantel den Bereich im Raum, wo$|\psi|^2$ist größer als eine sehr kleine Zahl, also im Grunde die Bereiche, in denen es nicht unwahrscheinlich ist, das Elektron zu finden.

Schauen Sie sich diese vereinfachte Aussage an, um das Verhalten eines Partikels in einem potenziellen Problem zu beschreiben:

In der Quantenmechanik ist eine Wahrscheinlichkeitsamplitude eine komplexe Zahl, deren Modul zum Quadrat eine Wahrscheinlichkeit oder Wahrscheinlichkeitsdichte darstellt.

Diese komplexe Zahl ergibt sich aus einer Lösung einer quantenmechanischen Gleichung mit den Randbedingungen des Problems, meist einer Schrödinger-Gleichung, deren Lösungen die „Wellenfunktionen“ sind.$\psi(x)$, wo$x$stellt die Koordinaten generisch für dieses Argument dar.

Die Werte einer normalisierten Wellenfunktion$\psi$an jedem Punkt$x$sind Wahrscheinlichkeitsamplituden, da$|\psi(x)|^2$gibt die Wahrscheinlichkeitsdichte an der Position an$x$.

Um von den komplexen Zahlen zu einer Wahrscheinlichkeitsverteilung zu kommen, der Wahrscheinlichkeit, das Teilchen zu finden, müssen wir das komplexe Quadrat der Wellenfunktion nehmen$\psi^\ast\psi$.

Die "Wahrscheinlichkeitsamplitude" ist also eine alternative Definition / Identifizierung von "Wellenfunktion", die nach der Tatsache kommt, als experimentell festgestellt wurde, dass dies der Fall ist$\psi^\ast \psi$gibt eine Wahrscheinlichkeitsdichteverteilung für das betreffende Teilchen an.

Zuerst berechnet man ψ und dann kann man die Wahrscheinlichkeitsdichte auswerten$\psi^\ast \psi$, nicht umgekehrt. Die Bedeutung von$\psi$ist, dass es das Ergebnis einer Berechnung ist.

Ich stimme zu, dass es für Nichtphysiker, die Wahrscheinlichkeiten aus Statistiken kennen, verwirrend ist.