Gibt es einen Zusammenhang zwischen dem Virialsatz und dem Prinzip der kleinsten Wirkung?

Wie dieser schöne Artikel, der von dfan verlinkt ist, sagt, kommt der Virialsatz aus der Variation der Aktion$S[x]$durch$x\rightarrow(1+\epsilon)x$

Dies ist eine Variation der Aktion und muss daher bis auf einige Randbedingungen verschwinden, wenn$x$ist eine Lösung der Bewegungsgleichungen. Aber die Gleichung$\delta S=0$ist nur der Virialsatz :

wobei die spitzen Klammern den Zeitdurchschnitt bedeuten.

Das einzige verbleibende Problem ist die Vernachlässigung der Randbedingungen. Dies erzwingt die Bedingung des Virialsatzes, dass die Bewegung begrenzt ist und dass ich einen ausreichend langen Zeitmittelwert nehme. Wenn diese beiden Bedingungen zutreffen, dann kann ich nehmen$T\rightarrow \infty$. Da alles beschränkt ist, bleiben die Randterme als endlich$T\rightarrow \infty$und daher dort Beitrag zu$\frac{\delta s}{T}$geht auf null. Bleiben wir beim Virialsatz.

1. Es gibt ein interessantes hamiltonsches Gegenstück zu BebopButUnsteadys schöner Lagrange-Antwort: Eine infinitesimale kanonische Transformation (CT)

   $$\begin{align} \delta q~=~&\varepsilon q, \cr \delta p~=~&-\varepsilon p,\end{align}\tag{1}$$ [mit Typ-2-Generator $F_2 = (1+\varepsilon)q\cdot P$] der Hamiltonschen Wirkung $$\begin{align} S_H~=~&\int\! dt~ L_H,\cr L_H~=~&p\cdot \dot{q}-H,\end{align} \tag{2}$$ führt zum Hamiltonschen Virialsatz für lange Zeitmittel:

   $$\langle q\cdot \frac{\partial H}{\partial q}\rangle~=~\langle p\cdot \frac{\partial H}{\partial p}\rangle,\tag{3}$$

   unter der üblichen Annahme einer beschränkten Bewegung.

2. Das Virialtheorem (3) in der Hamiltonschen Mechanik hat die gleiche Form wie das entsprechende Virialtheorem in der klassischen statistischen Mechanik, mit dem Verständnis, dass die Langzeitmittelwerte$\langle\cdot \rangle$werden durch statistische Mittelwerte ersetzt$\langle\cdot \rangle$. Letztere folgt aus dem (verallgemeinerten) Gleichverteilungssatz

   $$\langle F(z)\frac{\partial H(z)}{\partial z}\rangle ~=~k_BT \langle \frac{\partial F(z)}{\partial z}\rangle, \tag{4}$$ vgl. eine (derzeit gelöschte) Antwort von Nikolaj-K.

3. Der (verallgemeinerte) Gleichverteilungssatz (4) in der klassischen statistischen Mechanik wiederum ist ein Analogon der Schwinger-Dyson (SD)-Gleichungen

   $$\langle F[\phi]\frac{\delta S[\phi]}{\delta \phi}\rangle~=~i\hbar\langle \frac{\delta F[\phi]}{\delta \phi} \rangle\tag{5}$$ im QFT.

Auf diese Frage gehe ich wie folgt ein:

Ich werde zuerst Hamiltons stationäre Wirkung diskutieren und zeigen, dass es zwar den Anschein haben mag, als ob Hamiltons stationäre Wirkung eine Mittelung von Energien über die Zeit beinhaltet, dies jedoch tatsächlich nicht der Fall ist. Ich werde erörtern, wie man erkennen kann, dass es bei Hamiltons stationärer Aktion wirklich nicht um Mittelung geht.

Nachdem ich Hamiltons stationäre Wirkung besprochen habe, werde ich den Virialsatz diskutieren, wobei ich Gebrauch von einer Diskussion des Virialsatzes von John Baez mache .

John Baez zeigt, dass sich der Kern des Virialtheorems bereits im Fall eines gebundenen Systems manifestiert, das aus zwei Objekten besteht, wobei das primäre so viel schwerer ist als das sekundäre, dass die Bewegung des primären vernachlässigbar ist. Das heißt: Um den Austausch von kinetischer/potentieller Energie zu verstehen, reicht es aus, nur die Bewegung eines einzigen Objekts zu betrachten: des sekundären. Von dort aus können Sie Stufen der Verallgemeinerung durchlaufen. Das heißt: Die Form des Virialsatzes mit Mittelung über mehrere Bewegungszustände ist ausgehend von einer Kerneigenschaft als Verallgemeinerung zu verstehen .

Hamiltons stationäre Aktion
die Frage der Mittelung von Energien über die Zeit.

Vorbesprechung:
Wie wir wissen, gibt es Situationen, in denen die Integration verwendet werden kann, um einen Wert zu erhalten, den wir als Darstellung eines Durchschnitts verwenden können . Zum Beispiel Leistungsabgabe von Wechselstrom. Wir können das Integral der Sinusfunktion in Bezug auf die Zeit berechnen und diesen Wert dann durch die Gesamtzeit dividieren, um einen Wert für die durchschnittliche Leistung zu erhalten.

Die Definition von Hamiltons Aktion:

wir können das als zwei Integrale schreiben:

Und die Frage ist dann: Ist der folgende Ausdruck, der das Integral über die Zeit durch die Gesamtzeit dividiert, ein sinnvoller Ausdruck:

Die folgende Diskussion hat die logische Implikation, dass (1.3) kein sinnvoller Ausdruck ist.

In den folgenden zwei animierten GIFs geht es darum, die Energieänderung zu verfolgen, wenn sich ein Objekt entlang einer Bahn bewegt.

(Diese beiden animierten GIFs sind aus Screenshots eines interaktiven Diagramms zusammengesetzt. Sie wurden für eine Antwort hochgeladen, die ich im Oktober 2021 für eine Frage mit dem Titel „ Motivation für den Lagrange-Formalismus “ gepostet habe. )

Vergleich von Differentialrechnung und Variationsrechnung:
In der Differentialrechnung ist die Operationseinheit ein Paar Punkte, die Linie durch diese beiden Punkte ist tangential zu der Kurve, nach der Sie suchen.

In der Variationsrechnung ist die Operationseinheit ein Punktetripel .

Diagramm 1

In Diagramm 1 ist die intermittierende Linie eine Parabel. Diese Parabel stellt die Höhe als Funktion der Zeit eines nach oben geworfenen Objekts dar. Eine gleichmäßige Kraft wirkt nach unten. Um eine möglichst einfache Parabel zu erhalten, wird der Wert der (gleichförmigen) Beschleunigung auf 2 gesetzt$m/s^2$

Die äußeren Punkte ($t_1$und$t_3$) werden als fest behandelt; Variation wird durch Variieren der Positionskoordinate des Mittelpunkts ausgeführt.

Im Diagramm werden zwei benachbarte Zeitintervalle ausgewertet;$t_{1,2}$und$t_{2,3}$

Der Sweet Spot ist der Punkt, an dem die Geschwindigkeitsänderung so ist, dass der Unterschied in der kinetischen Energie dem Unterschied in der potentiellen Energie entspricht.

(In diesem Diagramm wird eine gleichmäßige Beschleunigung verwendet, was bedeutet, dass in diesem Diagramm das Potenzial linear mit der Höhe zunimmt, daher$\Delta E_p$ist in diesem Diagramm konstant. Im allgemeinen Fall ändert sich die Kraft als Funktion der Ortskoordinate. Dann ist das Potential nicht linear, und der Wert von$\Delta E_p$ändert sich als Funktion der Positionskoordinate.)

Diagramm 2 - gültig bis in unendlich kleine Intervalle

Diagramm 2 veranschaulicht, dass die Logik dieser Operationseinheit auf jeder Skala gültig ist, bis hinunter zur Skala von unendlich kleinen Zeitintervallen.

Entscheidend:
Es ist auch so, dass Hamiltons stationäre Wirkung selbst unendlich klein ist . Dies kann auf mehrere Arten erkannt werden.

Nehmen wir an, wir haben die stationäre Aktion verwendet, um die wahre Flugbahn zwischen den Punkten A und D aufzulösen. Wir können dann alle Punkte B und C nehmen, die auf der Kurve liegen, die die wahre Flugbahn darstellt (in dieser Reihenfolge entlang der Flugbahn: A, B, C, D), behandeln Sie die Punkte B und C als feste Endpunkte und verwenden Sie eine stationäre Aktion, um die wahre Trajektorie für die Bewegung von B nach C zu finden.

Wenn die Aktion entlang der Trajektorie von A nach D stationär ist, dann ist die Aktion auch entlang des Unterabschnitts B nach C stationär. Wir können den Unterabschnitt B-zu-C irgendwo entlang der Trajektorie positionieren, und wir können den Abstand B-zu-C willkürlich klein machen: die Begründung bleibt die gleiche. Die Argumentation gilt für jeden Maßstab, bis hin zum unendlich kleinen Maßstab.

Referenz:
Die Tatsache, dass Hamiltons stationäre Wirkung auf unendlich kleinem Maßstab gilt, wird in dem folgenden Artikel diskutiert, der 2004 veröffentlicht wurde:
" Deriving Lagrange's equations using elementary calculus ", Jozef Hanc, Edwin F. Taylor und Slavomir Tuleja. Amerikanisches Journal für Physik, Bd. 72, Nr. 4, April 2004, Seiten 510-513.

Da jedoch die stationäre Eigenschaft im unendlich kleinen Maßstab gilt, wird erklärt, dass die Integration überflüssig ist .

Dass die Integration nichts bringt, sieht man auch so:
Die Euler-Lagrange-Gleichung ist eine Differentialgleichung . Die eigentliche Natur einer Differentialgleichung besteht darin, dass ihre Operation in Bezug darauf definiert ist, die Grenze des Operierens auf unendlich kleinem Maßstab zu nehmen .

Zur Ableitung der Euler-Lagrange-Gleichung:
Der Prozess der Ableitung der Euler-Lagrange-Gleichung muss einiges leisten, unter anderem muss die Integration entfernt werden . Es ist nicht so, dass die Integration vorübergehend etwas Nützliches getan hat und erst entfernt wurde, nachdem sie ihre Arbeit getan hatte. Nichts dergleichen: Das Integral war bei jedem Schritt auf dem Weg überflüssig.

Zu Beginn habe ich die Frage gestellt: Ist dieser Ausdruck sinnvoll?

(1.3) ist nicht sinnvoll, weil die Integration nie etwas tut.

Für weitere Informationen: Ich wiederhole den Link zur Antwort vom Oktober 2021 über Hamiltons stationäre Aktion

Der Virialsatz

Bekanntlich gibt es zwei Kraftgesetze mit der Eigenschaft, dass sie bei umlaufender Bewegung in zwei Raumdimensionen periodische Bahnen hervorrufen: Hookesches Gesetz und Abstandsquadratgesetz.

Hookesches Gesetz

Ein Beispiel für eine Umrundungsbewegung, die dem Hookeschen Gesetz unterliegt, ist ein Aufbau, der als "Flüssigspiegelteleskop" bezeichnet wird. Wenn sich eine mit Quecksilber gefüllte Schale dreht, nimmt die Oberfläche eine Form mit einem parabolischen Querschnitt (Rotationsparaboloid) an.

Wenn die Oberfläche der Flüssigkeit eine parabolische Form erreicht hat, hat die Flüssigkeitsmasse einen Zustand erreicht, der als „ Festkörperrotation “ bezeichnet wird.

Der dynamische Zustand der Festkörperrotation hat die folgende Eigenschaft: Wenn Sie sich von nahe an der Rotationsachse zu weiter weg bewegen, steigen sowohl die kinetische Energie der Umrundung als auch die potentielle Energie quadratisch als Funktion des Abstands zur Rotationsachse. Die kinetische Energie steigt quadratisch, weil der Umfang linear mit dem Abstand zur Rotationsachse zunimmt, und die potentielle Energie quadratisch, weil bei einem parabolischen Querschnitt die Höhe quadratisch mit dem Abstand zur Rotationsachse zunimmt.

Tatsächlich stehen in jedem Abstand zur Rotationsachse kinetische und potentielle Energie im Verhältnis 1:1.

Als nächstes untersuchen wir, ob sich dieses Verhältnis von 1:1 auf eine Kreisbewegung verallgemeinern lässt.

Aus dem Arbeits-Energie-Theorem folgt, dass beim Austausch von kinetischer und potentieller Energie die Änderungsraten einander entsprechen müssen. Also: Im Fall einer nicht kreisförmigen Bewegung (unterliegt dem Hookeschen Gesetz): Während das Verhältnis von kinetischer zu potentieller Energie zu keinem Zeitpunkt 1: 1 beträgt, sehen Sie, wenn Sie die kinetische Energie und die potentielle Energie mitteln das Verhältnis 1:1, in jedem Abstand zur Rotationsachse.

Gesetz des umgekehrten Quadrats

Die Mechanik der Umlaufbewegung, die einem umgekehrten quadratischen Gesetz unterliegt, ist in vielerlei Hinsicht kontraintuitiv.

Wenn Sie sich in der Umlaufbahn befinden und Triebwerke zum Absenken Ihrer Umlaufbahn verwenden, ist die Schwerkraft in dieser geringeren Höhe so viel stärker, dass eine höhere Geschwindigkeit erforderlich ist, um die Umlaufbahn aufrechtzuerhalten. Nicht nur schnellere Winkelgeschwindigkeit : schnellere Geschwindigkeit allgemein.

Angenommen, Sie befinden sich in einer Umlaufbahn und möchten ein anderes umlaufendes Raumschiff vor Ihnen überholen. Der Weg, dies zu erreichen, besteht darin, nach hinten zündende Triebwerke abzufeuern, damit Sie in eine niedrigere Umlaufbahn absteigen. Während dieses Abstiegs wird potentielle Gravitationsenergie in kinetische Energie umgewandelt. Jetzt sind Sie schneller als das Raumschiff vor Ihnen und Sie schließen den Abstand.

Umgekehrt, wenn Sie Triebwerke so abfeuern würden, dass sie Ihre Geschwindigkeit erhöhen, dann erhöht sich dadurch die Höhe Ihres Raumfahrzeugs. Der Prozess des Aufstiegs in eine höhere Höhe wandelt kinetische Energie in potentielle Gravitationsenergie um. Auf der Zielhöhe ist Ihre Geschwindigkeit langsamer als auf der Starthöhe.

Als nächstes:
Herleitung des Virialsatzes für den Fall eines einzelnen Objekts, das sich um eine viel schwerere Primärfarbe bewegt.

Gravitationspotentialenergie als Funktion der Entfernung$R$zum Schwerpunkt des Primärteils

Größe der Gravitationskraft:

Größe der erforderlichen Zentripetalkraft:

Kombination von (2.2) und (2.3):

(2.4) lässt sich in eine Gleichung umformen, die auf der linken Seite den Ausdruck für kinetische Energie hat. Multiplizieren Sie beide Seiten mit$R$, teilen Sie beide Seiten durch 2.

(2.5) ist die aufschlussreiche Gleichung. (2.5) drückt eine Beziehung der Bahngeschwindigkeit zum Abstand zum Anziehungszentrum aus.

(2.5) kann auch in der folgenden Form ausgedrückt werden, aber (2.5) ist die Form, die tatsächlich in Berechnungen verwendet wird, weil (2.5) die Geschwindigkeit und den Abstand zum Mittelpunkt explizit angibt, während diese in (2.6) implizit sind.

(Das Minuszeichen ist da, weil Sie beim Aufstieg von einer Höhe in eine höhere Höhe Ihre potenzielle Gravitationsenergie erhöhen und Ihre kinetische Energie verringern .)

Zurück zu (2.5)

Während bei der Festkörperrotation kinetische Energie und potentielle Energie in jedem Abstand zum Anziehungspunkt im Verhältnis 1:1 stehen, ändert sich beim umgekehrten quadratischen Kraftgesetz das Verhältnis von kinetischer Energie zu potentieller Energie als Funktion der Entfernung zum Anziehungspunkt.

Gesetz des umgekehrten Quadrats:
kinetische Energie: je niedriger die Umlaufbahn, desto höher die kinetische Energie
potentielle Energie: je höher die Umlaufbahn, desto höher die potentielle Energie

Astronomen wenden das Virialtheorem folgendermaßen an: Astronomen erhalten Profile der Geschwindigkeitsverteilung der Sterne einer Galaxie. Aus dem Geschwindigkeitsprofil als Funktion der Entfernung zum Anziehungspunkt kann auf das Potential geschlossen werden. Wenn eine Galaxie als Ganzes ein solches Geschwindigkeitsprofil hat, dass die Bewegung der Sterne im Durchschnitt der Rotation eines Festkörpers ähnlich ist, dann folgt daraus, dass die Verteilung der Gravitationsmasse so sein muss, dass die galaktische potentielle Energie dem Hookeschen Gesetz entspricht.

Was auch immer das Geschwindigkeitsprofil ist, es kann daraus auf das Potential als Funktion des Abstands zum Anziehungszentrum geschlossen werden.

Wie bereits erwähnt, sind das Hookesche Gesetz und das Abstandsquadratgesetz die einzigen beiden Kraftgesetze mit der Eigenschaft, dass sie eine Umlaufbewegung hervorrufen, die in sich selbst zurückkehrt. Die erste Stufe der Verallgemeinerung von (2.5) ist die Verallgemeinerung von Kreisbahnen auf Mittelwerte von Bewegungsenergien entlang exzentrischer Bahnen.
Eine weitere Verallgemeinerung bezieht sich auf ein Kontinuum von Kraftgesetzen, wobei das Kraftgesetz eine beliebige Polynomfunktion des Abstands zum Anziehungszentrum sein kann (einschließlich gebrochener Potenzen).

In diesem allgemeineren Fall schleift sich die Bewegung um das Anziehungszentrum nicht auf sich selbst zurück, aber die Mittelwerte der kinetischen Energie bzw. der potentiellen Energie befinden sich immer noch in einem Verhältnis, das sich als Funktion des Abstands zum Anziehungszentrum ändert . So verwenden Astronomen das Virialtheorem.

Mit dem oben Gesagten: Gibt es eine Verbindung zwischen Hamiltons stationärer Aktion und dem Virialsatz?

Nun, beide sind Teil des Wissens der klassischen Mechanik, und beide werden in Form von kinetischer Energie und potentieller Energie ausgedrückt, aber ansonsten gibt es keine Verbindung.