Warum unterscheidet sich die Analogie zwischen Elektromagnetismus und allgemeiner Relativitätstheorie, wenn man sie als Eichtheorien oder Faserbündel betrachtet?

Hier ist eine zusätzliche Struktur im Spiel. Je nachdem, welche Ebene Sie betrachten, ist dies entweder die Tatsache, dass die tangentiale Verbindung$\nabla$erlaubt den Austausch von Argumenten (falls$\nabla_XY$gut definiert ist, dann ist es auch$\nabla_YX$) oder dass es eine Lötform gibt$\theta$auf dem Hauptpaket von Rahmen für GR, während es für den Anschluss in EM keine solche Lötform gibt.

Beides bedeutet jedenfalls, dass es einen Unterschied zwischen den Eichsymmetrien gibt.

• Bei lokalen Lorentz-Symmetrien besteht der Unterschied darin, dass die lokale Lorentz-Symmetrie eine "externe" Symmetrie ist, während die$U(1)$Symmetrie ist eine innere. Wir können die "äußere" Symmetrie in eine innere umwandeln, indem wir genau die vielbeins verwenden:$A^a=A^\mu\theta^a_\mu$. Aber dann müssen wir eine Dynamik für das Vielbein finden$\theta^a_\mu$auch. Dieses Vielbein ist genau das örtliche Erscheinungsbild der oben erwähnten Lötform.

• Bei diffeomorphen Symmetrien ist dies völlig anders. Die lokale Lorentz-Symmetrie und die$U(1)$Symmetrie sind beide lokalisierbar. Sie können eine LL-Transformation oder eine machen$U(1)$Verwandlung an einem Punkt . Sie können an einem bestimmten Punkt kein Diffeo machen . Ich bin kein Experte in diesem Bit, ehrlich gesagt, ich habe es immer nicht gemocht, wenn Leute sagen, dass GR eine Eichtheorie mit ist$\text{Diff}(M)$die Gauge-Gruppe sein. Sicher, man kann es so sehen, aber das wird einen unüberbrückbaren Unterschied zu dem schaffen$U(1)/SU(2)/SU(3)$Eichtheorien des Standardmodells.

Die einzige einigermaßen einheitliche Sprache ist, wenn Sie die Eichgruppe als die Lorentz-Gruppe betrachten. Darüber hinaus scheint auch die Existenz von Spinorfeldern die Interpretation der Lorentz-Gruppe zu bevorzugen.

Wenn Sie eine tiefgründige Antwort wünschen, kann ich Ihnen keine geben. Es liegt eine Verletzung dieser Eichanalogie vor, gerade weil die Lorentz-Symmetrie eine externe Raum-Zeit-Symmetrie ist.

Eine innere Symmetrie mit Eichgruppe$G$wird dir eine Verbindung geben$D$die auf Abschnitte der zugeordneten Vektorbündel wirkt (die dem Prinzipal zugeordnet sind$G$-bundle wo die Verbindung wohnt).

Die Tatsache, dass dies ein$G$-Verbindung statt a$GL(k,\mathbb{C})$-Verbindung besteht darin, dass die Form des Lagrange für das Materiefeld normalerweise eine Fasermetrik beinhaltet (für skalare QED ist dies das "innere Produkt")$q(\phi,\phi)=\phi^\dagger\phi$), normalerweise eine hermitesche Metrik, was, weil wir wollen, dass die Verbindung metrisch kompatibel ist, ergibt$GL(k,\mathbb{C})$auf eine einheitliche Gruppe reduzierbar.

Danach spezifizieren wir auch für die Verbindung einen Lagrange, weil es ein dynamisches Feld sein muss (für unitäre Verbindungen ist dies der Yang-Mills-Lagrange), und dann haben wir unsere klassische Eichtheorie.

Für die Schwerkraft brauchen wir zuerst ein Vielbein, um die äußere Symmetrie innerlich zu machen. Das Vielbein muss Dynamik haben, denn wie würden Sie es sonst spezifizieren? Aber ignorieren wir das jetzt mal. Jetzt haben wir eine interne Lorentz-Symmetrie mit Fasermetrik$\eta$, also haben wir eine$\eta$-kompatible Verbindung.

Wir müssen die Dynamik von beiden spezifizieren$\theta^a_\mu$und$\omega^{\ a}_{\mu\ \ b}$. Metrische Kompatibilität und Torsionsfreiheit erzwingen dies$\omega$muss nichtdynamisch sein, also müssen wir eine Lagrangedichte für erfinden$\theta$. Aber die Ostrogradsky-Instabilität zwingt uns, nach Feldgleichungen zweiter Ordnung zu suchen, sodass die Krümmung (Ausdruck zweiter Ordnung) keine dynamische Variable sein kann$^*$(im Gegensatz zu Yang-Mills, wo die Ostrogradsky-Instabilität dies nicht verhindert, da dort die Krümmung erster Ordnung ist).

Auch wenn Sie nicht versuchen, Kompatibilität und Torsionsfreiheit durchzusetzen, wird es nichts ändern. Wenn Sie Torionsfreiheit, aber keine Kompatibilität erzwingen, erhalten Sie den Palatini-Formalismus, der gleichwertig ist. Wenn Sie die Torsionslosigkeit nicht erzwingen, erhalten Sie Unterschiede (Einstein-Cartan-Theorie), die nur Spinoren spüren. Selbst dann kann man nicht loswerden$\theta$als das "Potenzial" für die Theorie.

Die Schlussfolgerung ist , dass das Vielbein ein notwendiges dynamisches Objekt ist, um die Schwerkraft zu erreichen, und es ruiniert die Analogie.

*: Wenn ich sage, dass die Krümmung nicht dynamisch sein kann, meine ich, dass sie nicht in differenzierter Form in den Feldgleichungen auftreten kann.

Die in der Frage präsentierten Analogien sind meines Erachtens fehlerhaft. Ich stimme Weinberg zu, wie in @tparkers Antwort erwähnt, dass die Analogie zwischen den Christoffel-Symbolen ($\Gamma^\nu_{\mu\sigma}$) und das und das Eichpotential ($A_\mu$). Diese Parallele wird deutlicher, wenn wir die Schwerkraft mit nicht-abelschen Eichtheorien vergleichen und die Gruppenindizes nicht unterdrücken. Vergleichen Sie insbesondere die kovarianten Ableitungen (aus Gründen der Konkretheit auf "Rang 1" -Tensoren angewendet):

$$\begin{align} [D_\mu]^i_{\hphantom{i}j} &= \delta^i_{\hphantom{i}j} \partial_\mu - i g [A_\mu]^i_{\hphantom{i}j} \\ [\nabla_\mu]^\nu_{\hphantom{\nu}\sigma} & = \delta^\nu_{\hphantom{\nu}\sigma} \partial_\mu + [\Gamma_\mu]^\nu_{\hphantom{\nu}\sigma}. \end{align}$$ Beachten Sie, dass ich die Standardnotation für beide Elemente geändert habe. Ich habe die Yang-Mills-Notation modifiziert, um eine Unterscheidung zwischen steigenden und fallenden Indizes aufzunehmen. Ich habe die kovariante GR-Ableitung geändert, um den Index zu trennen, der die Richtung definiert, in der der parallele Transport stattfindet ( $\mu$) von denen, die die Transformation des Vektors entlang des Pfads beschreiben ( $\nu$, $\sigma$).

Anders ausgedrückt, die Basisvektoren der Vektorräume an einem Punkt in der Raumzeit,$x^\mu$, steht in einem Punkt mit den Basisvektoren in Beziehung$x^\mu + \operatorname{d}x^\mu$Erstbestellung per:

$$\begin{align} \delta^i_{\hphantom{i}j} & + ig [A_\mu(x)]^i_{\hphantom{i}j} \operatorname{d}x^\mu \\ \delta^\nu_{\hphantom{\nu}\sigma} & - [\Gamma_\mu]^\nu_{\hphantom{\nu}\sigma} \operatorname{d}x^\mu. \end{align}$$ Beachten Sie, wie sich die Basen in entgegengesetzter Richtung von den Vektoren transformieren. Wichtig ist, dass dies impliziert, dass jeder zweite Term oben ein infinitesimaler Generator von Transformationen im relevanten Symmetrieraum ist, was bedeutet, dass sie in ihren offenen Indizes insgesamt antihermitesch sind. Die obigen kovarianten Ableitungen sind offensichtlich die Verallgemeinerung für die Übersetzung einer ganzen vektorwertigen Funktion im Gegensatz zu einem einzelnen Vektor. Das Übersetzen um eine endliche Distanz erfordert den Aufbau einer Struktur, die in nicht-abelschen Eichtheorien als Wilson-Linie bezeichnet wird (siehe Peskin & Schoeder, Seite 495 und Umgebung).

All dies gesagt, hier sind die nicht notierten Unterschiede zwischen gewöhnlichen Eichtheorien und der Schwerkraft:

1. die Metrik in Yang-Mills Theorien ist konstant,
2. der Gruppenraum in der Schwerkraft tangiert die Raum-Zeit-Mannigfaltigkeit,
3. die Freiheitsgrade der Schwerkraft umfassen Diffeomorphismen der Raum-Zeit-Mannigfaltigkeit und
4. die Lagrange-Schwerkraft ist in der Krümmung linear statt quadratisch.

Die Metrik in Yang-Mills-Theorien wird normalerweise nicht einmal diskutiert, da sie normalerweise isomorph zu einer konstanten euklidischen Metrik ist. Sogar die abelsche Yang-Mills-Theorie, Elektromagnetismus, hat eine Metrik. Die bestimmende Darstellung der$U(1)$Gruppe sind zum Beispiel die Transformationen, die die Norm komplexer Zahlen bewahren,$\rho^2 = z^\star z$. Das Schreiben dieser Norm in Form einer Metrik ergibt einen Vektor$z = x + iy$, a$2$-dimensionaler Vektor ($[z]^i$), und die Metrik ordnet dies dem Covektor zu$z^\star = x - iy$($[z]_i$). Angesichts der Multiplikationsregeln komplexer Zahlen ordnet dies die Metrik a zu$2$-$d$Identitätsmatrix,$g_{ij} = \delta_{ij}$.

Der Punkt ist: Soweit ich weiß, wurde nicht untersucht, ob eine Yang-Mills-Theorie eine Metrik hat, die eine Funktion der Raumzeit ist.

Die Schwerkraft ist in gewissem Sinne auch etwas Besonderes für die Gruppe, die eine Transformation darstellt, die die Mannigfaltigkeit berührt. Mit anderen Worten, es ist wichtig, dass sich die Gruppenindizes (Indizes außerhalb der eckigen Klammern oben) im selben Raum befinden wie die Symmetrien auf der Mannigfaltigkeit, wodurch sie den Raum so tangieren, dass sogar eine Gruppe, die nur isomorph zu diesen ist Symmetrien nicht. Dies hängt in gewisser Weise mit der Idee zusammen, dass die Schwerkraft an Diffeomorphismen der Raum-Zeit-Mannigfaltigkeit selbst gebunden ist und mehr als nur eine Messung ist$\operatorname{SL}(1,3)$Gruppe.

Aus diesem Grund fordern wir, dass die Verbindung "metrisch kompatibel" in der Schwerkraft ist. Durch Hinzufügen der torsionsfreien Bedingung werden alle Freiheitsgrade von der Verbindung in die Metrik verschoben. Deshalb erscheint dort das Newtonsche Gravitationspotential.

Als Folge all dessen wird die Krümmung in der Metrik quadratisch statt linear in der Verbindung. Von besonderer Bedeutung ist, dass es zwei Ableitungen anstelle von einer hat. Dies ist einer der Hauptgründe für die Verwendung eines Lagrange-Operators, der in der Krümmung linear ist – es gibt ungelöste theoretische Schwierigkeiten mit Theorien, die mehr als zwei Ableitungen im Lagrange-Operator haben; Diese Übersicht von Woodard (2007) gibt einen guten Überblick über die damit verbundenen Schwierigkeiten$f(R)$Gravitationstheorien.

Ich wünschte, ich könnte dies mit Beispielen deutlicher machen, aber meine Erfahrung mit Yang-Mills-Theorien ist tiefer und ich habe meine Gedanken zu diesem Thema und die Auswirkungen noch nicht vollständig herauskristallisiert.

Weinberg diskutiert diese Analogien ein wenig in Vol. II seiner QFT-Reihe:

Die Analogie bricht in einer wichtigen Hinsicht zusammen: In der allgemeinen Relativitätstheorie wird die affine Verbindung selbst aus ersten Ableitungen des metrischen Tensors konstruiert, während in Eichtheorien die Eichfelder nicht in Form von fundamentaleren Feldern ausgedrückt werden ... [S. 7]

also scheint er an die Christoffel-Verbindung zu denken, nicht an die Metrik, als Eichfeld, als zweite Analogie. Aber dann auf S. 13, sagt er$J_\mu$ist analog zu$T_{\mu \nu}$, wie in der ersten Analogie.

Es scheint, dass die beiden obigen Analogien entgegen meinem ersten Eindruck wirklich nur Analogien sind, und keine der Korrespondenzen ist besonders eng. Yang-Mills-Theorie und GR sind wirklich qualitativ unterschiedliche Arten von ,,Eichtheorien'', weil in der Yang-Mills-Theorie der eichinvariante Feldstärketensor$F_{\mu \nu}$wird aus ersten Ableitungen der Grundfelder gebildet, während in GR der eichinvariante Feldstärketensor$R_{\mu \nu \rho \sigma}$wird aus zweiten Ableitungen der Grundfelder gebildet. Die beiden obigen Analogien sind also in verschiedenen Kontexten nützlich, aber bei weitem nicht perfekt.

Wir können jedoch die zweite Analogie straffer machen, indem wir den Palatini-Formalismus von GR betrachten, wo wir die Metrik und die Verbindung als unabhängige Felder behandeln und die Aktion in Bezug auf jedes separat variieren. Unter diesem Formalismus ist die Faserbündelverbindung selbst ein grundlegendes Feld, genau wie in der Yang-Mills-Theorie. (Aber es gibt immer noch einen großen Unterschied zwischen den Theorien, der darin besteht, dass Abschnitte des Faserbündels explizit in GR als erscheinen$g_{\mu \nu}$aber nicht im klassischen Elektromagnetismus.)

Bearbeiten: Der allgemeine Konsens scheint zu sein, dass dies die "beste" Analogie ist, bei der nach unten zeigende Pfeile Ableitungen und nach rechts zeigende Pfeile Tensorkontraktionen bezeichnen:

Das Merkwürdige an dieser Analogie ist, dass die Gleichungen, die den „Feldstärketensor“ mit dem „Materiequellfeld“ in Beziehung setzen, in beiden Fällen sehr unterschiedlich sind: die Yang-Mills-Bewegungsgleichung$d(*F) = J$ist eine dynamische Differentialgleichung, während die analoge allgemeine Relativitätsgleichung der Bewegung$R^\rho_{\ \, \mu \rho \nu} - \frac{1}{2} g^{\sigma \lambda} R^\rho_{\ \, \sigma \rho \lambda} g_{\mu \nu} \propto T_{\mu \nu}$ist nur eine algebraische Beziehung ohne Ableitungen. Ich bin mir nicht sicher, was ich davon halten soll.