Dies ist eine unterhaltsame, qualitativ hochwertige Prüfungsfrage. Die Algebra ist nicht schwer; die physische Einsicht erfordert einige wirkliche Gedanken; Es gibt viele Möglichkeiten, teilweise Recht zu haben. Hier ist meine Meinung dazu.

Beschleunigung

Aus Einsteins Gleichung$E^2 = p^2 + m^2$wir haben für jedes Photon$E = p = hf_0$(im Bezugssystem des Lasers). Wir können die Kraft des Lasers nutzen$P_0$um die Rate zu finden, mit der einzelne Photonen emittiert werden:

$$P_0 = \dot N_0 hf_0.$$ (Entschuldigen Sie, dass ich schreibe$\dot N$statt$dN/dt$.) Die vom Laser ausgeübte Gesamtkraft ist die zeitliche Ableitung seines Impulses, die die zeitliche Ableitung seiner Energie ist, die nur die Leistung ist, $$F = \dot p = \dot E = P_0,$$ und da der Impuls des Lasers von der Rakete kommen muss, haben wir seine Beschleunigung$a = P_0/m_0$. Sie müssen etwas kleben$c$s wieder hinein, damit die Abmessungen richtig herauskommen.

Erhaltene Macht

Wenn sich die Rakete mit konstanter Geschwindigkeit von der Erde entfernt$\beta = v/c$, mit entsprechendem relativistischen Faktor$\gamma = 1/\sqrt{1-\beta^2}$, gibt es drei Faktoren, die die auf der Erde empfangene Leistung beeinflussen:

1. Die Frequenz jedes Photons ist rotverschoben$f = f_0\sqrt{\frac{1-\beta}{1+\beta}}$.
2. Die Zeit auf der Rakete wird verlängert, wodurch die Rate verringert wird, mit der Photonen emittiert zu werden scheinen$\dot N = \dot N_0 / \gamma$.
3. Jedes von der Rakete emittierte Photon muss ein Stückchen weiter zurück zur Erde reisen. Wenn die Zeit zwischen Photonenemissionen (im Erdrahmen) ist$\Delta t = 1 / \dot N$, jedes Photon muss gehen$\Delta x = v \Delta t$weiter als die letzte, was eine zusätzliche Verzögerung hinzufügt$\Delta x / c$zu seiner Reise. Das Intervall zwischen Photonen, die auf der Erde ankommen, ist also $$\Delta t' = \Delta t \cdot (1 + \beta) .$$ Die Geschwindigkeit , mit der Photonen die Erde erreichen, ist daher$\dot N' = 1 / \Delta t'$.

Wenn wir diese kombinieren, haben wir eine Kraft, die auf der Erde empfangen wird

$$P' = \dot N' hf = \frac{P_0}{\gamma(1+\beta)}\sqrt\frac{1-\beta}{1+\beta} % = \frac{P_0}{\gamma^2(1+\beta)^2} = P_0 \frac{1-\beta}{1+\beta} .$$

Bei Relativitätsproblemen ist es immer möglich, identische Ergebnisse zu erzielen, wenn klassische EM-Felder für Licht anstelle von Photonen verwendet werden, wobei Poynting-Vektoren Impuls tragen usw. Ich würde in diesem Fall nicht wissen, wie ich das anstellen soll.

Letzte Ruhemasse

Dieser Teil war für mich nicht sofort ersichtlich. Die unordentliche Option besteht darin, zu versuchen, den Ausdruck aus dem vorherigen Abschnitt zu integrieren. das erfordert wahrscheinlich Annahmen über den zeitlichen Verlauf der Beschleunigung. Normalerweise ist Energieerhaltung eine gute Strategie, wenn Sie nur die Anfangs- und Endbedingungen für ein Problem kennen. Ich habe einige Zeit vergeudet, bevor ich mich daran erinnerte, auch die Impulserhaltung zu verwenden.

Wir wissen, dass der endgültige Schwung der Rakete ist$p_f = \gamma_f v_f m_f$, und dass der kombinierte Impuls der Rakete und ihres Laserausstoßes im anfänglichen Ruhesystem Null ist. Wenn wir dann wieder die Einstein-Gleichung verwenden, haben wir ein Bündel von rückwärts gehenden Photonen mit Gesamtenergie

$$E_{\text{exhaust}} = \left|-p_f\right|$$ und eine Rakete mit totaler Energie $$E_{\text{rocket}}^2 = p_f^2 + m_f ^2.$$ Wenn wir davon ausgehen, dass keine Laserleistung als Wärme verschwendet wurde, müssen sich diese Komponenten zur anfänglichen Ruhemasse der Rakete addieren,

$$\begin{align} p_f + \sqrt{p_f^2 + m_f^2} &= m_0 \\ m_f \left( \gamma_f v_f + \sqrt{\gamma_f^2 v_f^2 + 1} \right) &= m_0 \\ m_f \left( \gamma_f v_f + \gamma_f \right) &= m_0 \\ m_f &= m_0 \sqrt{\frac{1-v_f}{1+v_f}} \end{align}$$

Tatsächlich gilt dieses Ergebnis auch, wenn die Laserstromversorgung ineffizient ist, solange die Rakete so thermisch isoliert ist, dass die thermischen Abfallphotonen alle in die gleiche Richtung wie der Auspuff emittiert werden - Heck der Rakete heiß, Kopf der Rakete kalt. Wenn es nach vorne gerichtete Wärmestrahlung gibt, wird sie auf komplizierte Weise in Vorwärtsrichtung fokussiert, und das Problem wird viel schwieriger.

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Aus den Kommentaren geht hervor, dass ich eine naive klassische Perspektive auf das Momentum eingenommen habe, und dies ist eine falsche Antwort. Ich überlasse es jedoch jedem, der versucht ist, dasselbe zu denken.

Original

Der Rückstoß? Von masselosen Photonen? Wie kommst du darauf?

a) Momentane Beschleunigung:$0\ m/s^2$

b) Leistung:$P_0$

c) Es wird nie erreichen$0.9c$, und wenn ja, hätte es die gleiche Ruhemasse,$m_{rocket}$

Verwenden wir die Tsiolkovski-Raketengleichung:$\Delta v = v_\text{e} \ln \frac {m_0} {m_1}$ https://en.wikipedia.org/wiki/Tsiolkovsky_rocket_equation

Wo:$v$= Abgasgeschwindigkeit (c),$m_0$= Anfangsmasse,$m_1$= Endmasse.

So$\Delta v = c \ln \frac {m_{rocket}} {m_{rocket}} = c \ln 1 = c * 0 = 0$

Oder wie wäre es mit Impulserhaltung?

$\Delta Momentum_{laser beam} = \Delta Momentum_{rocket}$

$m_{laser}*\Delta v_{laser} = m_{rocket}*\Delta v_{rocket}$

$0 * c = m_{rocket}*\Delta v_{rocket}$

$\Delta v_{rocket} = 0$

Wenn es also anfänglich in Ruhe war, würde es in Ruhe bleiben.

Leistung ist nicht gleich Schub - in diesem Fall würde der Laser für die Rakete nur Wärme erzeugen.