Hilbert-Raum der (Quanten-) Eichtheorie

Im Fall der Nichtwechselwirkung ist der für eine Eichfeldtheorie eines beliebigen Spins geeignete Hilbert-Raum ein Fock-Raum über dem 1-Teilchen-Raum von Lösungen der klassischen freien Eichfeldgleichungen für denselben Spin. (Für Spin 1 wären die zugehörigen Teilchen nicht-wechselwirkende Gluonen, falls diese existieren würden.) Dieser Raum ist frei von Geisterbildern. Die Unterschiede für verschiedene Spins liegen lediglich in der unterschiedlichen Struktur der klassischen Feldgleichungen.

Dieser Hilbert-Raum kann in vielen verschiedenen, aber äquivalenten Formen beschrieben werden.

Wie in der anderen Antwort erwähnt, wird es normalerweise durch BRST-Kohomologie dargestellt, da dies die am besten nachvollziehbare renormalisierte Störungstheorie ergibt. Hier erscheinen Geister, da der BRST-Hilbert-Raum in einen größeren unbestimmten Inner-Product-Raum eingebettet ist. (Der geisterfreie physikalische Hilbert-Raum wird als Quotient des Kerns der BRST-Ladung wiedergewonnen$Q$nach dem Bild von$Q$. Seit$Q$erfüllt$Q^2=0$, es ist analog zur äußeren Ableitung$d$, was befriedigt$d^2=0$, und führt zu BRST-Kohomologie auf die gleiche Weise wie$d$führt zur traditionellen de Rham-Kohomologie.)

Für eine abelsche Eichfeldtheorie gibt es elementarere Beschreibungen des nichtwechselwirkenden Hilbert-Raums. Beispielsweise befindet sich ein freies quantenelektromagnetisches Feld im Hilbert-Raum quadratisch integrierbarer Funktionen$A(p)$des Lichtkegelimpulses$p$($p^2=0,p_0>0$) in einem entarteten, aber positiv semidefiniten Skalarprodukt, bei dem alle mit funktionieren$A(p)$neben$p$Norm Null haben. Dies ergibt die Standardbeschreibung von Photonen in der Quantenoptik. (Siehe zB den Eintrag „Was ist ein Photon?“ in Kapitel B2: Photonen und Elektronen meiner Theoretischen Physik-FAQ unter http://arnold-neumaier.at/physfaq/physics-faq.html .

Der für eine wechselwirkende Eichfeldtheorie geeignete Hilbertraum ist unbekannt. Dies ist nicht überraschend, da es für jede Wechselwirkungsfeldtheorie in 4D unbekannt ist. Das Wenige, was über die Situation in diesem Fall bekannt ist, kann in einem kürzlich erschienenen Buch von F. Strocchi, An Introduction to Non-Perturbative Foundations of Quantum Field Theory, Oxford Univ. Presse, 2013.

Der Hilbert-Raum einer Eichtheorie wird durch BRST-Symmetrie oder genauer gesagt durch BRST-Kohomologie definiert.

Im Pfadintegral-Formalismus ist es notwendig, Geister einzuführen, um das Maß für eine nicht-abelsche Theorie festzulegen. Diese Theorie enthält nun Zustände negativer Norm, ist also ein Pseudo-Hilbert-Raum. Der Lagrange-Operator dieser Theorie hat eine zusätzliche Symmetrie, dh eine Symmetrie, bei der die Geisterfelder als infinitesimale Parameter wirken. Mit dieser Symmetrie sind sowohl ein Noether-Strom als auch eine Noether-Ladung verbunden, letztere wird als BRST-Ladung bezeichnet. Die BRST-Ladung ist ein nilpotenter Operator, d.h$Q^2=0$. Dieses Verhalten erlaubt es, eine Kohomologie zu definieren, die wie folgt verstanden werden kann:

Da die BRST-Ladung ein Quantenoperator ist, können wir uns fragen, was passiert, wenn wir sie auf einen bestimmten Zustand einwirken lassen$|\Psi\rangle$. Da der Betreiber$Q$ist wirkungslos,$Q|\Psi\rangle=0$wenn$|\Psi\rangle$kann geschrieben werden als$|\Psi\rangle=Q|\Phi\rangle$, dh

Es besteht aber auch die Möglichkeit, dass Staaten unter der Wirkung der BRST-Ladung verschwinden, ohne dass sie dadurch definiert werden$Q|\Phi\rangle$. Solche Zustände sollen in der Kohomologie des Ladungsoperators liegen. Sie werden als die physikalischen Zustände der Theorie identifiziert und enthalten keine Geister oder Antigeister. Darüber hinaus kann man argumentieren, dass sich die Kohomologie unter einheitlicher Zeitentwicklung nicht ändert, da der Hamilton-Operator mit pendelt$Q$.

Der BRST-Formalismus funktioniert auch für die Stringtheorie, die Teilchen mit Spin 2, dh Gravitonen, enthält.