Warum ist die gewonnene Energie / am Objekt geleistete Arbeit von seiner anfänglichen Energie / seinem anfänglichen Impuls abhängig? Unterschied zwischen gleichzeitig und getrennt wirkenden Kräften

Question

Warum ist die gewonnene Energie / am Objekt geleistete Arbeit von seiner anfänglichen Energie / seinem anfänglichen Impuls abhängig? Unterschied zwischen gleichzeitig und getrennt wirkenden Kräften

Ewiger Lernender

Angenommen, ein Objekt startet aus der Ruhe und erreicht eine Geschwindigkeit $v_1$ .Seine kinetische Energie (und auch Änderung der kinetischen Energie) ist $(1/2) mv_1^2$ .
Nehmen wir nun an, dass das Objekt mit Geschwindigkeit startet $v_0$ und erreicht eine zusätzliche Geschwindigkeit von $v_1$ . Hier ist die Änderung der kinetischen Energie $(1/2)m((v_0 + v_1 )^2 - v_0 ^2)$ und nicht $(1/2) mv_1^2$ .

Die Impulsänderung ist jedoch in beiden Fällen gleich. Warum hängt die Energieänderung von der ursprünglichen Energie/Geschwindigkeit/Impuls ab, die sie hatte? Mathematisch verstehe ich das:

kinetische Energie ist proportional zu $v^2$ und daher können wir die Energieänderung nicht berechnen als $(1/2)m(\Delta v)^2$
Verrichtete Arbeit ist Kraft mal Verschiebung, und wenn das Objekt mit einer höheren Geschwindigkeit startet, ist seine Verschiebung während der Kraftanwendung höher, daher gibt uns die Mathematik eine höhere "verrichtete Arbeit".

Aber ich möchte die physikalische Bedeutung verstehen. Warum bedeutet die gleiche Impulsänderung nicht die gleiche Energieänderung? Warum hängt die geleistete Arbeit von der Verschiebung des Objekts ab, die nicht ausschließlich durch die Kraft verursacht wurde, sondern durch die anfängliche Geschwindigkeit?
(Bearbeiten: zusätzliche Verschiebung von $v_0\Delta t$ , nicht aufgrund der Kraft F, sondern aufgrund der Anfangsgeschwindigkeit $v_0$ es hatte schon , mit anderen Worten, die Kraft, die Arbeit verrichten soll, ist nicht die Ursache der gesamten Verschiebung, und doch multiplizieren wir sie mit der gesamten Verschiebung 's'!! wäre es nicht logischer, wenn die Verschiebung nur auf die durch die Kraft verursachte beschränkt wäre? und das lässt mich die Definition von F.ds für geleistete Arbeit in Frage stellen!)

Eine weitere Frage, die ich stellen möchte (eine verwandte Frage oder vielleicht konzeptionell derselbe Zweifel nur umformuliert):

sagen wir eine Kraft von $F_1$ kann eine Verschiebung eines Objekts nach rechts bewirken. Eine Kraft $F_2$ in der Lage ist, eine Bewegung nach links zu verursachen (betrachten Sie der Einfachheit halber konstante Kräfte).
Wenn ich die Kräfte separat anwende, sagen wir, die Verschiebungen sind $d_1$ Und $d_2$ (berücksichtigen Sie die Kräfte, die für das gleiche Zeitintervall angewendet werden $\Delta t$ ).
Wenn ich sie gleichzeitig anwende, lass die Verschiebung sein $d_3 < d_1$ Und $d_2$

Arbeit erledigt bis $F_1$ im Fall 1 ist $F_1.d_1$
Arbeit erledigt bis $F_1$ in Fall 2 ist $F_1.d_3$ < $F_1.d_1$
Am Objekt durchgeführte Netzarbeit = $(F_1 - F_2).d_3$ und nicht $F_1.d_1$ - $F_2.d_2$

Ich kann das nicht verdauen und habe das Gefühl, dass irgendwo etwas verloren geht ... warum ist die Arbeit erledigt $F_1$ im zweiten Fall nur wegen der Existenz einer anderen Kraft geringer? sollte es nicht unabhängig sein? Wo ist dieser Unterschied in der geleisteten Arbeit/Energie hingegangen?

Um expliziter zu sein, nehmen Sie an $F_1$ wirkt für ein Zeitintervall von $\Delta t$ und dann nach seiner Arbeit $F_2$ wirkt für das gleiche Zeitintervall $\Delta t$ . Die Momentumänderung wäre $F_1 \Delta t -F_2 \Delta t = (F_1-F_2) \Delta t$ - dasselbe, was passieren würde, wenn beide Kräfte gleichzeitig während des Intervalls wirken würden $\Delta t$ . Doch die geleistete Arbeit (von jeder der Kräfte und sogar das Netzwerk am Objekt) und daher die Energieänderung werden unterschiedlich sein.

Warum so? Was passiert mit diesem Energieunterschied in den beiden Fällen ... - gleiche Kräfte, gleiche Impulsänderung, nur ein kleiner Unterschied im Experiment in Bezug darauf, wann die Kräfte aufgebracht werden ...

(Ich hätte gerne eine Erklärung der physikalischen Interpretation, da die Mathematik bereits ausgearbeitet wurde und die Interpretation das Problem ist)

Ewiger Lernender

In der Sprache des gewöhnlichen Menschen kann ich sagen, dass ich beobachte, dass eine entgegengesetzte Kraft die Energie eines Objekts effektiver verringert, wenn sie die Kraft, gegen die sie wirkt, daran hindert, die Energie des Objekts zu erhöhen, anstatt die Zunahme zuzulassen und dann zu versuchen, sie zu verringern !

Antworten (4)

Warum ist die gewonnene Energie / am Objekt geleistete Arbeit von seiner anfänglichen Energie / seinem anfänglichen Impuls abhängig? Unterschied zwischen gleichzeitig und getrennt wirkenden Kräften

In der Sprache des gewöhnlichen Menschen kann ich sagen, dass ich beobachte, dass eine entgegengesetzte Kraft die Energie eines Objekts effektiver verringert, wenn sie die Kraft, gegen die sie wirkt, daran hindert, die Energie des Objekts zu erhöhen, anstatt die Zunahme zuzulassen und dann zu versuchen, sie zu verringern !

Mark Gulin · Answer 1

TL;DR Es scheint mir, dass Sie versuchen, etwas Grundlegenderes zu finden, um Definitionen für Arbeit und Dynamik abzuleiten. Es gibt nichts Grundlegenderes als das zweite Newtonsche Bewegungsgesetz, das Kraft und Impuls (oder Bewegungsmenge, wie Newton es nennt) direkt in Beziehung setzt.

\vec{F} = \frac{D \vec{P}}{D T} = \frac{D}{D T} M \vec{v}

$\vec{F} = \frac{d \vec{p}}{dt} = \frac{d}{dt} m \vec{v}$

Isaac Newton leitete die obige Gleichung (Gesetz) aus einer Reihe von Beobachtungen (experimentellen Ergebnissen) ab, die ihm damals zur Verfügung standen. Es wird von vielen Wissenschaftlern als wahr bewiesen, nachdem Newton noch mehr Experimente durchgeführt hat. Wenn Sie an Diskussionen wie dieser interessiert sind, dann würde ich auf jeden Fall empfehlen, sich "The Feynman Lectures on Physics" anzuschauen . Das Buch (in 3 Bänden) bietet Kontext für viele Prinzipien, die wir oft für selbstverständlich halten, wie zum Beispiel was Energie eigentlich bedeutet. Kurz gesagt, es ist nur eine Abstraktion, die sich als nützlich erwiesen hat! ( Siehe 4-1 Was ist Energie? in Band 1 )

Hier ist ein interessanter Artikel über die Definitionsgeschichte von Momentum ( vis mortua , tote Kraft) und kinetischer Energie ( vis viva , lebendige Kraft): „D'Alembert and the Vis viva Controversy“ von C. Iltis.

Der Auszug zur kinetischen Energie:

Boscovich schlug vor, dass, wenn die Zeitkoordinate durch den durchquerten Raum und die Druckkoordinate durch die Kraft ersetzt wird, die zu jedem Zeitpunkt die dazu proportionale Geschwindigkeit erzeugt, ein zweiter Aspekt des Phänomens dargestellt wird. Boscovich erklärte jedoch weder diese Substitution noch die Einführung des Kraftbegriffs. Der neue Begriff „Kraft“ muss als eine Einheit interpretiert werden, die proportional zu der in jedem Moment erzeugten Geschwindigkeit ist. Wenn die Druckkoordinate in die Kraft und die Zeitkoordinate in den Raum geändert wird, würde das neue geometrische Bild, das die Geschwindigkeit erzeugt, in moderner Notation als dargestellt $\int F ds$ . Wir würden dann vis viva interpretieren als $\int m v dv = \int F ds$ (Wo $ds = v dt$ ). Boscovich bringt nicht die Masse in diese Analyse ein.

Warum bedeutet die gleiche Impulsänderung nicht die gleiche Energieänderung?

Einfach weil Impuls und kinetische Energie nicht auf die gleiche Weise definiert sind: (i) Impulsänderung ist als Kraft über die Zeit definiert $\Delta p = F \cdot \Delta t$ ( Impuls-Impuls-Theorem ), während (ii) die Änderung der kinetischen Energie als Kraft über Verschiebung definiert ist ( Arbeits-Energie-Theorem ) $\Delta K = F \cdot \Delta s$ .

In Ihrem Beispiel für die gleiche Beschleunigung $a$ (also Kraft $F$ ) Es dauert die gleiche Zeit, um zu beschleunigen $0$ Zu $v_1$ oder von $v_0$ Zu $v_0+v_1$

\begin{aligned} v_{1} & = 0 + A Δ T \\ v_{1} + v_{0} & = v_{0} + A Δ T \end{aligned}

$\begin{aligned} v_1 &= 0 + a \Delta t \\ v_1 + v_0 &= v_0 + a \Delta t \end{aligned}$

Allerdings ist die Verschiebung im letzteren Fall um größer $v_0 \Delta t$

\begin{aligned} Δ S & = \frac{1}{2} A (Δ T)^{2} + 0 Δ T \\ Δ S & = \frac{1}{2} A (Δ T)^{2} + v_{0} Δ T \end{aligned}

$\begin{aligned} \Delta s &= \frac{1}{2} a (\Delta t)^2 + 0 \Delta t \\ \Delta s &= \frac{1}{2} a (\Delta t)^2 + v_0 \Delta t \end{aligned}$

Für die gleiche Kraft $F$ (also Beschleunigung $a$ ), $\Delta t$ ist in beiden Fällen gleich, was bedeutet, dass die Impulsänderung auch gleich sein wird, aber die Verschiebung $\Delta s$ ist um größer $v_0 \Delta t$ im zweiten Fall bedeutet dies, dass mehr Arbeit erforderlich ist, um die Geschwindigkeit zu erreichen $v_1$ .

Warum so? Was passiert mit diesem Energieunterschied in den beiden Fällen ... - gleiche Kräfte, gleiche Impulsänderung, nur ein kleiner Unterschied im Experiment in Bezug darauf, wann die Kräfte aufgebracht werden ...

In Ihrer zweiten Frage versuchen Sie, die Kraft über die Zeit zu integrieren, was die Definition für den Impuls ist $J$ und nicht für die Arbeit $W$ . Wenn Sie die Arbeit dennoch erhalten möchten, indem Sie die Integration im Laufe der Zeit durchführen, müssen Sie Folgendes tun:

W = \int F \cdot D S = \int F \frac{D S}{D T} D T = \int F v \cdot D T

$W = \int F \cdot ds = \int F \frac{ds}{dt} dt = \int F v \cdot dt$

Mit anderen Worten, Sie sollten tatsächlich integrieren $F v$ im Laufe der Zeit statt $F$ . Aus diesem Grund ist es wichtig, wie hoch die Objektgeschwindigkeit ist, wenn Sie Kraft anwenden $F_1$ Und $F_2$ in deinem zweiten Beispiel.

Aber es liegt daran, dass Arbeit so definiert ist. Aber jetzt macht diese Definition von Arbeit für mich keinen Sinn wegen der zusätzlichen Verdrängung $v_0\Delta t$ , wie ich in der Frage erwähnt hatte, ist auf die bereits vorhandene Geschwindigkeit zurückzuführen und nicht auf die später ausgeübte Kraft, die Kraft hat sie nicht verursacht. Also stelle ich wohl am Ende die Gültigkeit (und Bedeutung und Interpretation) der Definition von Arbeit in Frage.
Wie wurde Arbeit abgeleitet, um F.ds zu sein? Wenn es so definiert wurde, muss es auf eine Weise geschehen, die der Änderung der Energie und vielleicht vielen anderen Faktoren entspricht, damit es sinnvoll ist.
@EternalLearner Was ist die wahre Bedeutung von Energie? Bevor Sie diese Frage beantworten – was ist die wahre Bedeutung von Kraft? Dies sind nur abstrakte Konzepte, um die herum wir unsere Modelle der realen Welt aufbauen. Ich weiß nichts Grundlegenderes abzuleiten $W = \int F ds$ aus. Beachten Sie, dass der Arbeit-Energie-Satz $\Delta K = W$ leitet sich direkt aus dem zweiten Newtonschen Bewegungsgesetz ab . Ich würde empfehlen, die "The Feynman Lectures on Physics" Vol. 1 - es hat Diskussionen auf der Leitung, was Sie fragen.
Sicher, danke. Ich werde das Buch in die Finger bekommen. Ich denke, Ihre Antwort hat mich auf den richtigen Weg geführt, um die vollständige Antwort zu erhalten.
@EternalLearner Ich bin froh, dass es geholfen hat. Danke für die Annahme der Antwort ;-)

Claudia Saspinsky · Answer 2

Die von einer Wägezelle gemessene Nettokraft ist zufällig proportional zur Ableitung des Impulses:

F = \frac{D P}{D T}

$\mathbf F = \frac{\mathbf{dp}}{dt}$ Es ist ein experimentelles Ergebnis.

Punktprodukt auf beiden Seiten mit einer infinitesimalen Verschiebung erzeugen $\mathbf{dr}$ :

F . D R = \frac{D P}{D T} . D R = M \frac{D v}{D T} . D R = M D v . \frac{D R}{D T} = M v . D v = M D (\frac{1}{2} v . v)

$\mathbf {F.dr} = \frac{\mathbf{dp}}{dt}\mathbf {.dr} = m\frac{\mathbf{dv}}{dt}\mathbf {.dr} = m\mathbf{dv.}\frac{\mathbf{dr}}{dt} = m\mathbf{v.dv} = md\left(\frac{1}{2}\mathbf{v.v}\right)$

Das bedeutet:

D w = F . D R = D (\frac{1}{2} M | v |^{2})

$dw = \mathbf {F.dr} = d\left(\frac{1}{2}m|v|^2\right)$

„Arbeit“ und „kinetische Energie“ sind also Namen für mathematisch definierte Größen. Während wir es mit der reinen Bewegung von Objekten zu tun haben, gibt es nichts weiter als das.

Die Intuition dahinter ist das Ausmaß des Schadens, den ein Objekt bei einer Kollision anrichten kann. Sie ist (experimentell) proportional zur kinetischen Energie und nicht zum Impuls. Und wenn wir von einer Kollision sprechen, dann bedeutet das, dass etwas in Ruhe ist in dem Rahmen, in dem die Geschwindigkeiten gemessen werden.

Auf diese Weise kann dieselbe Kraft, die den Impuls um einen bestimmten Betrag ändert, die Schadensfähigkeit unterschiedlich erhöhen, abhängig von der Anfangsgeschwindigkeit des Objekts.

Sie meinen in Ihrer ersten Zeile die Änderungsrate des Impulses, richtig? Eine Bearbeitung könnte vielleicht verhindern, dass andere Leser verwirrt werden ...
Die Informationen zu den experimentellen Beobachtungen sind hilfreich, danke.

BowlOfRed · Answer 3

Was passiert mit diesem Energieunterschied in den beiden Fällen ... - gleiche Kräfte, gleiche Impulsänderung, nur ein kleiner Unterschied im Experiment in Bezug darauf, wann die Kräfte aufgebracht werden ...

Probieren Sie ein praktisches Beispiel aus. Suchen Sie eines dieser Karussells auf einem Spielplatz.

Denken Sie daran, mit einer Kraft von 10 N darauf zu drücken. Aus der Ruhe heraus wird das einfach sein. Wenn ich Sie bitte, diese Kraft konstant für eine volle Sekunde anzuwenden, wird das auch einfach sein.

Bringen Sie das Karussell jetzt ganz schnell zum Laufen. Wenn ich Sie bitte, "einfach" dieselbe Kraft von 10 N anzuwenden, werden Sie es schwierig oder unmöglich finden. Die dafür benötigte Energie ist viel größer. Außerdem, selbst wenn Sie es schaffen, werden Sie es nicht für die volle Sekunde aufrechterhalten können.

Bei hoher Relativgeschwindigkeit wird es einfach schwieriger, die Energie zu übertragen.

Ich kann diesem Beispiel zustimmen, denn um Gewalt anzuwenden, muss ich hinter dem sich bereits bewegenden Objekt herlaufen. Das liegt daran, dass es eine Kontaktkraft ist und ich, ein Lebewesen, es offensichtlich schwer haben werde, schneller zu laufen. Das Ganze ist, weil es eine Kontaktkraft ist. Was aber, wenn ich ein geladenes Punktobjekt in einem einheitlichen elektrischen Feld betrachte?
Elektrische Felder treten nicht spontan als rahmenunabhängige Existenz auf. So wie sich die Lichtenergie mit der Rotverschiebung ändert, ändert sich die Gesamtkraft auf das Teilchen, wenn sich die Relativgeschwindigkeit ändert.

Feynmann · Answer 4

Es ist wirklich eine kurze und imaginäre Antwort, aber ich denke, es könnte helfen. Stellen Sie sich vor, Sie beschleunigen durch die Raumzeit. Ihre Geschwindigkeit und kinetische Energie nehmen zu. Aufgrund der Energie und Masse macht ihr Kurven in der Raumzeit. Im Gegensatz zu eurem Impuls steigen die Kurven der Raumzeit exponentiell an. Es bedeutet also, dass Sie mehr Energie benötigen, um die gleiche Kraft zu erhalten.

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