Wird die Schwarzschild-Singularität als Gerade im Raum gestreckt?

Question

Wird die Schwarzschild-Singularität als Gerade im Raum gestreckt?

Mathematik
Singularität
metrische Räume
Differentialgeometrie

sichere Sphäre

Ich versuche, die Schwarzschild-Geometrie zu visualisieren und würde mich über die Hilfe der Experten freuen. Das geometrisierte Radial ( $\theta=\phi=0$ ) Schwarzschild-Metrik außerhalb des Horizonts ist

\begin{matrix} (1) & D τ^{2} = (1 - \frac{R_{S}}{R}) D T^{2} - {(1 - \frac{R_{S}}{R})}^{- 1} D R^{2} \end{matrix}

$d\tau^2 = \left(1-\dfrac{r_s}{r}\right)\,dt^2\tag{1}-\left(1- \frac{r_s}{r}\right)^{-1} \,dr^2$

Innerhalb des Horizonts wird die Metrik

\begin{matrix} (2) & D τ^{2} = {(\frac{R_{S}}{R} - 1)}^{- 1} D R^{2} - (\frac{R_{S}}{R} - 1) D T^{2} \end{matrix}

$d\tau^2 = \left(\frac{r_s}{r}-1\right)^{-1} \,dr^2 - \left(\frac{r_s}{r}-1 \right)\,dt^2\tag{2}$

Das ist dieselbe Gleichung, nur zur Verdeutlichung anders angeordnet. Die Radialkoordinate $r$ ist außen raumhaft, aber innen zeithaft. Ebenso die $t$ Die Koordinate ist außen zeitlich, innen aber raumartig. Unter Verwendung von Symmetrie können wir diesen Raum in einer reduzierten Anzahl von Dimensionen darstellen, wie unten gezeigt (wobei das Diagrammraster offensichtlich nicht die tatsächlichen Intervalle darstellt, da sie erweitert sind usw.).

Wenn diese Logik und die Handlung richtig sind, $t$ innerhalb des Horizonts stellt eine räumliche Koordinate dar, die nicht auf die Singularität zeigt, wodurch die Singularität im Raum zu einer Linie entlang dieser Koordinate gestreckt wird. Geodäten von frei fallenden Objekten (durchgezogene Kurven unten) und Lichtstrahlen (gepunktete Kurven unten) enden an verschiedenen Punkten dieser Linie (der vertikalen Achse unten).

Ist diese Deutung richtig? Ansonsten, wo ist der logische Fehler und was ist die richtige Interpretation?

Mir ist klar, dass Geodäten bei undefiniert sind $r=0$ , also ist die Singularität kein gewöhnliches raumartiges Intervall. Diese Frage ist jedoch einfach, ob die Singularität „im Raum entlang gespannt ist $t$ “ oder „in allen Dimensionen auf einen Punkt fokussiert“ (wie viele glauben).

Alle Koordinaten liegen im Schwarzschild-Bezugssystem eines entfernten Beobachters. Bei dieser Frage geht es um die Geometrie der Raumzeit. Jegliche Probleme im Zusammenhang mit Materie oder ihrer Dichte in der Singularität fallen nicht in den Geltungsbereich. Ich würde mich über eine Antwort freuen und nicht über einen Kommentar, auch wenn er kurz ist. Vielen Dank für Ihre Hilfe!

BEARBEITEN: Basierend auf Kommentaren erfordert diese Frage eine genauere Definition, also hier ist sie:

Bei $r\ll r_s$ , ist die Hyperfläche $r=const$ raumartig und unendlich lang?

Oder ist es räumlich kompakt und nicht entlang einer Dimension gestreckt?

Giuseppe Negro

Dies ist vielleicht besser geeignet für Physics.SE oder MathOverflow.

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Wird die Schwarzschild-Singularität als Gerade im Raum gestreckt?

Dies ist vielleicht besser geeignet für Physics.SE oder MathOverflow.

Benutzer14972 · Answer 1

Angesichts Ihres Updates, der $r=const$ Scheiben sind einheitlich in $t$ :

D τ = \sqrt{{(1 - \frac{R_{S}}{R})}^{- 1}} D T = (C Ö N S T) \cdot D T

$\mathrm{d}\tau = \sqrt{\left(1- \frac{r_s}{r}\right)^{-1}} \,\mathrm{d}t = (\mathrm{const}) \cdot \mathrm{d}t$

Sie erhalten also eine gewöhnliche euklidische Linie.

Mathequest · Answer 2

Es ist keine leichte Aufgabe, die Topologie zu definieren, und noch schwieriger, die Geometrie Ihrer Singularität zu definieren. Sie können Ihre Singularität als die Menge zeitähnlicher Geodäten betrachten, die in endlicher Zeit enden. Sie möchten wahrscheinlich einige dieser Geodäten mit anderen identifizieren, wenn sie zu "nah" beieinander liegen. Und dann irgendwie eine Topologie auf dieses Set setzen. Aber wie würden Sie das tun?

Mathematik beginnt mit Definitionen. Wenn Sie keine Definition angeben können, die Sie verwenden möchten, ist Ihre Frage für einen Mathematiker zu vage. Tatsächlich kann man Definitionen geben, um beide Antworten zu erhalten: einen Punkt und ein $3$ -dimensionale Oberfläche.

Die Intuition für letzteres ähnelt Ihrer und stammt aus dem Penrose-Diagramm (das sich gut mit Krushkal-Koordinaten zeichnen lässt). Ich kann nicht für alle sprechen, aber meine Intuition für den Punkt kommt von der Tatsache, dass der Ereignishorizont eine zeitähnliche Sphäre von konstanter endlicher Größe ist. Dabei stelle ich mir das Universum nicht als einen einzigen Punkt vor $t=0$ . Aber all das ist ungenau.

Wird die Schwarzschild-Singularität als Gerade im Raum gestreckt?

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Giuseppe Negro

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Benutzer14972

Mathequest

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